Курс лекций и практических занятий по дисциплине «Механика материалов». Растяжение–сжатие

Таким образом, для выполнения указанных условий сварка должна производиться в диапазоне температур от +10 ºС до +20 ºС.

Чтобы наибольшие напряжения растяжения и сжатия при колебаниях температуры были одинаковыми по абсолютной величине,

должно выполняться равенство :

т.е. сварка должна производиться при tº = 0 ºС. Однако сваривание при 0 ºС может вызвать появление трещин в среднеуглеродистых сталях. Поэтому в реальных условиях сварку следует производить при температуре не ниже +10 ºС, для чего рельсы при сваривании необходимо подогревать.

Задача 29

Три пластинки – медная и две стальные – одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения площадью А плотно соединены между собой и подвергаются нагреву на ∆tº = 100 ºС. Определить температурные напряжения в пластинках.

Принять:

Ем = 1·105 МПа, Ест = 2·105 МПа, αм = 165·10−7 град−1 ,

αст = 125·10−7 град−1 .

РЕШЕНИЕ

111

Так как αм > αст, то увеличение температуры вызовет в медной пластинке сжатие, поскольку ее стремление к большему удлинению будет сдерживаться стальными пластинками. Последние же, наоборот, будут растягиваться удлиняющейся медной пластинкой.

 Определяем продольные силы в элементах:

Подставляем (3) → (2), объединяем со статическим уравнением

(1) и получаем систему двух уравнений относительно Nст и Nм :

 Температурные напряжения в пластинках соответственно равны:

Задача 30

112

Конструкция, состоящая из стального стержня, установленного внутри медной втулки, подвергается действию силы F. Определить напряжения в стержне и втулке. Как изменятся внутренние силы, если конструкцию нагреть на 20 ºС? При каком увеличении температуры нагрузка полностью будет передаваться только на медную втулку? На какую температуру следует нагреть конструкцию, чтобы

сделать элементы равнопрочными?

Дано: D = 20 см, d = 10 см, Ем = 1·105 МПа, αст = 125·10−7 град−1 .

РЕШЕНИЕ

Площади сечений равны:

113

Как было указано ранее, для конструкций, работающих под нагрузкой, изменение температурных условий позволяет изменять продольные силы, перераспределяя их необходимым образом между элементами, и даже добиваться равнопрочности последних. Поэтому рассмотрим заданную конструкцию, работающую под нагрузкой, в условиях дополнительного нагрева. В этом случае, возникающие продольные силы Nст и Nм, показанные на рисунке, будут являться результатом совместного действия силы F и температуры. При этом равновесие системы (1) и условие совместности деформаций (2) сохраняются, а изменяется только физическая сторона (3), поскольку деформация элементов теперь определяется суммарным действием силы и нагрева:

 Определяем продольные силы при дополнительном нагреве конструкции на 20ºС. На основании выражений (4) и (2) получаем:

подставляем сюда цифровые значения параметров и получаем дополнительное уравнение к статической стороне (1):

 Определяем, при каком увеличении температуры ∆tº нагрузка полностью будет передаваться только на медную втулку. В этом случае Nст = 0, а Nм = F =400 кН. Тогда выражение (5) принимает вид:

114

 Определяем, на какую температуру следует нагреть конструкцию, чтобы сделать элементы равнопрочными. Условием равнопрочности является равенство напряжений:

Тогда из статического уравнения (1) получаем значения продольных сил, обеспечивающих равнопрочность конструкции:

Nст 100 кН ; Nм 300 кН .

Необходимый для этого нагрев определяем из выражения (5):

Задача 31

Жесткий брус АВ шарнирно укреплен в стене и поддерживается стальным и медным стержнями одинакового поперечного сечения А. Определить температурные напряжения в стержнях, если конструкция нагревается на ∆tº = 30 ºС. Как из-

менятся температурные напряжения, если нагреть только стальной стержень? Принять:

Ем = 1·105 МПа, Ест = 2·105 МПа, αм = 165·10−7 град−1, αст = 125·10−7 град−1.

РЕШЕНИЕ:

Из представленной схемы конструкции длины стержней равны:

 Поскольку на начало решения задачи неизвестно, в каких условиях будут проходить деформации элементов при нагревании системы, предположим, что в обоих стержнях возникают растягивающие продольные силы. Определяем эти силы методом деформаций:

115

и после вычислений получаем дополнительное уравнение к статической стороне (1):

116

Таким образом, расчеты показывают, что деформация медного стержня происходит в стесненных условиях, поэтому в нем возникают сжимающие продольные силы. В стальном стержне, наоборот, продольная сила растягивающая, и это означает, что помимо удлинения от нагрева он дополнительно растягивается удлиняющимся медным стержнем.

Температурные напряжения в стержнях равны:

 Определяем температурные напряжения, если нагревается только стальной стержень. В этом случае, предполагая, что в обоих стержнях возникают растягивающие силы, статическая (1) и геометрическая (2) стороны задачи не изменятся, а физическая (3) принимает вид:

после вычислений получаем дополнение к статической стороне (1):

117

Таким образом, теперь стальной стержень будет деформироваться в стесненных условиях, а медный – растягиваться.

2.4. Монтажные напряжения

Задача 32

Шарнирно закрепленный жесткий брус АD предполагается подвесить на трех стальных стержнях одинаковой длины ℓ = 1 м и одинакового поперечного сечения площадью А = 20 см2. Однако в процессе сборочных работ обнаружилось, что средний стержень выполнен короче проектного размера на ∆ = 0,5 мм.

Определить монтажные напряжения в стержнях, возникающие после сборки конструкции.

Принять Е = 2·105 МПа.

РЕШЕНИЕ:

 Для закрепления среднего стержня на брусе АD его следует растянуть или предварительно нагреть, чтобы обеспечить необходимое удлинение. В результате сборки конструкции в стержнях возникают начальные продольные силы – в стержне 2 растягивающая сила N2, а в крайних стержнях – сжимающие N1 и N3:

Система дважды статически неопределима.

Геометрическая сторона →

118

При построении схемы деформаций брус АD после закрепления на трех стержнях следует располагать таким образом, чтобы его новое поло-

жение AD* проходило в про-

межутке зазора ∆, не доставая до нижнего конца среднего стержня, как показано на рисунке. В противном случае на

деформационной схеме будет потеряно удлинение стержня 2, а это противоречит смыслу задачи: если в элементе есть продольная сила, значит, должна быть и деформация.

Поскольку конструкция два раза статически неопределима, в геометрической части необходимо найти два дополнительных уравнения:

Объединяем уравнения (1), (4) и (5) и получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными силами N1, N2 и N3:

119