Курс лекций и практических занятий по дисциплине «Механика материалов». Растяжение–сжатие

Подставляем (3) → (2) и вместе со статическим уравнением (1) получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными Nст и Nчуг:

 Из условия прочности каждого стержня определяем силу F, которую можно безопасно приложить к конструкции:

Окончательно принимаем меньшее значение – [F] = 1125 кН.

Задача 24

В заданной конструкции, состоящей из пяти стальных стержней одинакового поперечного сечения площадью А = 5 см2 и нагруженной силой F =100 кН, определить опускание узла С. Принять Е = 2·105 МПа.

РЕШЕНИЕ

 Раскрываем статическую неопределимость системы методом деформаций и определяем продольные силы в стержнях:

102

Опускание узла С:

Опускание узла С определяется, с одной стороны, опусканием узла В (3) и плюс удлинение стержня 3, но с другой стороны, его можно выразить через деформацию стержня 1:

103

Объединяем последнее выражение с уравнениями статики (1) и

(2) и, учитывая заданное значение силы F, получаем систему трех

Задача 25

Конструкция, состоящая из трех стержней, выполненных из разных материалов, нагружена силой F = 160 кН, как показано на рисунке. Подобрать сечения стержней, если [σ]1 = 80 МПа, [σ]2 = 60 МПа,

[σ]3 = 120 МПа и Е1 = 0,6Е, Е2 = 0,5Е,

Е3 = Е.

РЕШЕНИЕ

 Определяем продольные силы в стержнях энергетическим способом,

т.е. по принципу наименьшей работы. Для данной конструкции этот метод раскрытия статической неопределимости является наиболее рациональным, поскольку построение деформационной схемы и нахождение уравнения неразрывности деформаций геометрически затруднено и потребует громоздких расчетов:

104

 Отбрасываем в качестве лишней связи стержень 2 и заменяем его действие на систему силой Х. Определяем продольные силы N1 и N3 от действия каждой из приложенных нагрузок:

105

 Определяем значение силы Х из условия минимума потенциальной энергии системы:

 Статическая неопределимость раскрыта. Определяем, какой из стержней является наиболее нагруженным:

 Наибольшие напряжения возникают в стержне 3, поэтому из условия прочности именно этого стержня подбираем сечение А:

Задача 26

Жесткий брус АС, шарнирно укрепленный в стене и поддерживаемый двумя стальными стержнями одинакового поперечного сечения А = 6 см2 и длиной ℓ1 = 1 м и ℓ2 = 1,2 м, нагружен, как показано на рисунке. Проверить прочность стержней и определить, с каким запасом прочности они работают, если для материала

σт = 240 МПа.

Принять Е = 2·105 МПа.

РЕШЕНИЕ

 Раскрываем статическую неопределимость методом сил, для чего от заданной конструкции отбрасываем в качестве лишней связи стержень 1 и заменяем его действие силой Х. Задаем условие по перемещению точки В, которое заключается в том, что в полученной системе перемещение точки В является, с одной стороны, результатом

106

совместного действия нагрузки q и силы Х, а с другой стороны, оно равно удлинению стержня 1, который растягивается той же силой Х:

B B(q) B( X )

Прикладываем к системе поочередно нагрузки q и Х и от каждой силы в отдельности определяем продольную силу в

стержне 2 и его деформацию, а затем по полученному изменению длины находим перемещения точек С и В – и :

От действия распределенной нагрузки q

M A 0 : N2(q) sin 60o 2a q a 1,5a 0

От действия силы Х

107

Прочность стержней обеспечена. Коэффициент запаса прочности для каждого стержня равен:

2.3. Температурные напряжения

Задача 27

Ступенчатый стержень, выполненный из разных материалов, уложен без зазора при температуре t1o 10o C , после чего нагрет до t2o 40o C . Определить температурные напряжения на участках стержня.

Дано:

Ам = 16 см2, Аст = 12 см2, ℓм = 0,5 м,

ℓст = 0,8м, Ем = 1·105 МПа, Ест = 2·105 МПа αм = 165·10−7 град−1 , αст = 125·10−7 град−1

РЕШЕНИЕ

 Стержень нагревается на температуру:

t t2o t1o 40o 10o 30o C

В результате нагрева, стремясь удлиниться, он начинает воздействовать на опоры и возникают реакции опор. Именно эти реактивные силы сжимают стержень и вызывают появление в нем температурных напряжений. Определяем реакции опор методом деформаций:

109

Задача 28

На некоторых железных дорогах сваривают рельсы в одну нитку. В каком интервале температур должна быть произведена сварка, чтобы при перепадах температуры от ─40ºС до +40ºС наибольшие растягивающие напряжения не превышали 150 МПа, а наибольшие сжимающие ─75 МПа? При какой температуре следует сваривать рельсы, чтобы наибольшие напряжения растяжения и сжатия при колебаниях температуры были одинаковыми по абсолютной величине? Принять α = 125·10−7 град−1 и Е = 2·105 МПа.

РЕШЕНИЕ

Каждый отдельный рельс, сваренный с соседними, можно рассматривать как стержень постоянного сечения, уложенный без зазора между двумя плитами и подвергающийся воздействия температуры. В этом случае при нагреве в нем будут возникать сжимающие температурные напряжения, а при охлаждении – растягивающие,

110