Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс лекций и практических занятий по дисциплине «Механика материалов». Растяжение–сжатие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

перечного сечения диаметром d = 20 мм и длиной ℓ = 1,15 м. Определить, какую наибольшую нагрузку F может выдержать конструкция, если для материала стержня [σ] = 160 МПа. Определить опускание узла В. Принять Е = 2·105 МПа.

РЕШЕНИЕ

 Продольная сила в стержне СD равна:

M A

0 :

N sin 30o

1 F 2,5

2,5 F

5F .

sin 30 o

 Из условия прочности стержня СD

определяем силу F:

20F

πd 2

3,14 202 160

10 кН .

 Удлинение стержня равно:

5F 4 5 10 103

1,15 103

0,92 мм .

πd

2 10

3,14 20

 Опускание узла В равно:

ABB *

ACC *

2,5

1 sin 30o

2,5

2,5 0,92

4,6 мм .

1 sin 30o

1 0,5

2.Статически неопределимые задачи

2.1.Жестко защемленные стержни и уложенные с зазором.

Подбор сечений и нагрузки

Задача 18

Стальной ступенчатый стержень (Е = 2·105 МПа) жестко закреплен концевыми сечениями и нагружен силами F1 = 120 кН и F2 = 60 кН, как показано на рисунке. Подобрать площадь сечения стержня А, если для материала [σ] = 160 МПа. Определить перемещение сечения С.

РЕШЕНИЕ

 Раскрываем статическую неопре-

делимость методом деформаций:

Статическая сторона →

Z 0 : RA

RB F1

0 .

(1)

Геометрическая сторона →

полн

0 ;

полн

0 .

(2)

Физическая сторона

(3)

→

F1 1

E 2A

120 10 3 0, 4 10 3

24 10

(мм) ;

E 2A

60 103

0, 4 103

60 103

0,3 10 3

24 10 6

(мм) ;

E 2A E 1,5A

E 2A

E 1,5A

RA 1

RA 2

RA 3

RA 103 0, 4 103

E 2A E 1,5A EA

E 2A

RA 103 0,3 103	RA 103 0, 2 103	0,6 106		RA (мм).
E 1,5A	EA
			EA

Объединяем три стороны задача и определяем реакции опор:

24 106	24 106		0,6 106		RA 0	→	RA	80 кН	.
EA		EA					R B	100 кН
				EA

 Методом сечений определяем продольные силы на участках стержня, строим эпюру продольных сил и устанавливаем, на каком из участков возникают максимальные напряжения:

σ1	N1		100 103		50 103		(МПа);
	2A			2 A
						A
σ2		N2		20 103	13, 3 103			(МПа);

	1,5A			1,5A
						A

N 80 103

σ3 A A (МПа).

По наиболее нагруженному участку подбираем площадь сечения:3

σ3 σmax	σ	80 103		σ	A	80 103	500 мм2 .
			A			160

 Перемещение сечения С определяется изменением длины первого участка:

	N	1	100 103	0, 4 103
С	1				0, 2 мм (влево) .
	E 2A		2 105	2 500

Задача 19

Стальной стержень АВ (Е = 2·105 МПа) длиной ℓ = 4 м и площадью поперечного сечения А = 20 см2, нагруженный силой F, закреплен одним концом, а другим опирается на пружину ВС с коэффициентом податливости δ = 0,015 мм/кН (δ – осадка пружины под действием силы в 1 кН). Определить, при каком

значении силы F пружина сожмется на	пруж	1,5 мм , а также
	пруж

напряжения на участках стержня АВ.

РЕШЕНИЕ

 Раскрываем статическую неопределимость методом сил. Для этого мысленно разрываем связь между стержнем АВ и пружиной и определяем силу взаимодействия между ними:

 Задаем условие по перемещению, которое заключается в том, что сечение В стержня АВ опустится настолько, насколько сожмется пружина:

ж .

(1)

 С другой стороны, перемещение сечения В стержня на основании принципа независимости действия сил определяется суммарным воздействием двух сил – F и RВ:

(F )	(R ) .	(2)
	B

 Так как пружина сжимается силой RВ и ее осадка известна, определяем эту силу:

δ RB

1,5

100 кН .

0,015

 Определяем слагаемые в выражении (2):

F / 2

F 103 2 103

0,005F (мм) ;

B(F )

2 105

20 102

(3)

100 103 4 103

B(RB )

1 мм .

2 105 20 102

 Приравниваем выражения (1) и (2) с учетом (3) и находим силу F:

0,005F 1 1,5	F 500 кН	.

 Продольные силы и напряжения на участках стержня АВ соответственно равны:


Nнижн	RB	100 кН	нижн	Nнижн		100 103			50 МПа (сжатие) ;
					А		20 102

Nверх	F	RB 400 кН			Nверх			400 103	200 МПа (раст.) .
			верх		А	20 102

Задача 20

Составной ступенчатый стержень, состоящий из двух материалов, уложен с зазором между двумя плитами и нагружается силой F, как показано на рисунке. Определить усилия, напряжения и деформации на участках стержня, построить эпюры.

Дано: F = 450 кН, ℓм = 1 м, ℓст = 2 м, Ам = 50 см2, Аст = 20 см2, = 0,06 мм

Ем = 1·105 МПа, Ест = 2·105 МПа.

РЕШЕНИЕ

 Определяем реакции опор, исполь-

зуя методом деформаций:

Статическая сторона →

	Z 0 : F RA					RB 0		(1)
Геометрическая сторона									→
полн
полн				F	R	B		(2)

Физическая сторона							(3)	→
F		F м			450 103		1 103		0,9 мм ;
		Е	м	А	1 105	50 102

				м

RB м

RB ст

Ем Ам

Ест Аст

RB 103 1 103

103 2 103

0,007RB (мм) .

1 105

50 102

2 105

20 102

Решаем совместно три стороны задачи:

0,9 0,007RB

0,06 →

120 кН

R A

330 кН

 Определяем продольные силы и напряжения на участках стержня и строим эпюры:

Nст

120 кН (сжатие)

σст

Nст

120 103

60 МПа ;

Аст

20 102

Nм

330 кН (раст.)

σм

Nм

330 103

66 МПа .

Ам

50 102

 Определяем деформации участков стержня:

ст

Nст ст

120 103 2 103

0,6 мм (укорочение) ;

Ест Аст

2 105

20 102

Nм м

330 103

1 103

0,66 мм (удлинение) ;

1 105 50 102

м м

полн

ст 0,66

0,6 0,06 мм

 Определяем перемещения сечений, начиная от жесткой заделки , и строим эпюру перемещений:

А	0 ; C	м 0,66 мм ;
B	м	ст 0,66 0,6 0,06 мм

2.2. Статически неопределимые шарнирно-стержневые системы

Задача 21

Три стальных стержня одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения А шарнирно скреплены в одной точке и нагружены силой F = 120 кН, как показано на рисунке. Определить диаметры стержней, если для материала [σ] = 160 МПа. Принять α = 30о.

РЕШЕНИЕ

 Раскрываем статическую неопределимость системы методом деформаций и определяем продольные силы в стержнях:

Статическая сторона →

X	0 :	N2 sin α	N3 sin α	0	N2 N3
Y	0 :	2N2 cosα	N1 F 0		(1)
Геометрическая сторона				→

Строим деформационную схему и уста-
навливаем связь между деформациями стерж-
ней. Получаем уравнение неразрывности де-
формаций:
		2		cosα		(2)
Физическая сторона				→
	N1	;	2		N2	(3)
	EA				EA

Объединяем		(2) и (3) и вместе с уравнением (1) получаем систе-

му двух уравнений с двумя неизвестными N1 и N2:

N	N		2N2 cosα		N1 F	N1	48 кН
2	1	cosα				N2	N3 41,6 кН
EA	EA		N2	N1 cosα

 Так как N1 > N2 = N3, то при одинаковых размерах сечения наиболее нагруженным является стержень 1 (σ1 > σ2 = σ3). Поэтому из условия прочности именно этого стержня подбирается диаметр для всех трех стержней:

σ1

σmax

4N1

4 48 103

20 мм .

πd 2

π σ

3,14 160

Задача 22

Абсолютно жесткий брус, опирающийся на шарнирную опору, поддерживается двумя стальными стержнями и нагружен силой F = 250 кН, как показано на рисунке.

Проверить прочность стержней, если

[σ]1 = 60 МПа и [σ]2 = 160 МПа.

Дано: а = 2,4 м, b = 1,8 м, с = 3 м,

ℓ1 = 2 м, ℓ2 = 1,5 м, А1 = 6 см2, А2 = 8 см2, Е1 = Е2 = Е

РЕШЕНИЕ

Статическая сторона →

M A 0 : N1 sin 30o a N2 sin 45o (b c) F b	0 ;
1, 2 N1 3, 4 N2 1,8 F .	(1)

Геометрическая сторона → Из схемы деформаций получаем:

ABB*	ACC *			, где	B		;	C	2	.
		a	b c			sin 30o			sin 45o

а sin 30o

c)sin 45o

0,35

(2)

Физическая сторона

→

N1 1

EA1

(3)

N2 2

EA2

Подставляем (3) → (2):

N1 1

0,35

N2 2

0,35

0, 2 N

EA1

EA2

1, 2 N1

3, 4N2

1,8 F

0,099F

0,099 250

24,7 кН

0, 2 N2

0, 494F

0, 496 250

123,6 кН

 Для сравнения результатов решения раскроем статическую неопределимость системы энергетическим методом, т.е. по прин-

ципу наименьшей работы:

 Отбрасываем в качестве лишней связи стержень 2 и заменяем его действие на систему силой Х. Определяем продольную силу N1:

От действия силы F →

M A 0 : N1(F ) sin 30o a F b 0

N1(F )	F b	250 1,8		375 кН .

	a sin 30o		2, 4 sin 30o

От действие силы X →
M A 0 : N1( Х ) sin 30o		a Х sin 45o (b	c) 0
N1( X )	Х (b с)	Х sin 45o (1,8	3)	2,83 X (кН) .
	a sin 30o	2, 4 sin 30o

 Окончательно продольные силы в стержнях равны:

N1 N1(F ) N1( X ) 375 2,83 X (кН); N2 X (кН ) .

 Потенциальная энергия деформации, накопленная в системе:

U		N12 1			N22 2			1	N	2		2	A1	N	2		1		(375	2,83 X )	2
U		2EA 1			2EA 2		2EA1		N	1		1	A2	N	2		2EA 1		(375	2,83 X )
										1					2

	1,5 6		X	2		1		140625			2122 ,5 X					8,57 X		2	.
			X					140625			2122 ,5 X					8,57 X			.
	2 8					2EA1

 Определяем значение силы Х из условия минимума потенциальной энергии системы:

U	0 : 2122,5 17,14 X 0	X	N2	123,8 кН	.
X		N1	375	2,83 X 24,7 кН

Таким образом, оба способа решения задачи дают одинаковый результат. Однако вопрос применения того или иного метода необходимо решать отдельно в каждом конкретном случае в зависимости от вида конструкции.

 Завершаем задачу. Определяем напряжения в стержнях и проверяем их прочность:

σ1	N1	24,7 103	41, 2 МПа; σ2	N2	123,6 103		154,5 МПа .
	A	6 102		A		8 102

	1			2

Так как σ1 < [σ]1 и σ2 < [σ]2 , прочность обоих стержней обеспечена.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Культура речи и основы педагогической риторики.pdf
#
24.11.20252.23 Mб2Культурология. История мировой культуры.pdf
#
24.11.20251.48 Mб0Культурология.pdf
#
24.11.20253.06 Mб1Курс лекций и практикум по теории функций комплексного переменного.pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Курс лекций и практических занятий по дисциплине «Механика материалов». Растяжение–сжатие.pdf
#
24.11.20253.82 Mб1Курс лекций по дисциплине Охрана труда.pdf
#
24.11.20252.3 Mб1Курс лекций по дисциплине Экономика природопользования.pdf
#
24.11.2025878.98 Кб0Курс лекций по философии.pdf
#
24.11.20252.54 Mб0Курс стрельб.pdf
#
24.11.20253.1 Mб0Лабараторныя работы (практыкум) па спецкурсу інжынернай геадэзіі для студэнтаў спецыяльнасці 1-70 03 01 Аўтамабільныя дарогі.pdf