Лабораторная работа № 5 КРИПТОСИСТЕМА RSA. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ

шd = ced = c × (cϕ(n ) )k

º c ×1 = c (mod n) . Итак, для нахождения с достаточно найти

остаток от деления

шd на n .

аналогом в соответствии с выше принятым правилом

будет число

c = 190105 .

Возьмем два

простых

числа p = 47 и q = 71.

Тогда открытый

ключ

n = p × q = 3337 .

Находим

j(n) = 46 × 70 = 3220 . Выберем e = 79 ,

такое,

что

НОД (79, 3220) =1. У нас с > n.

Поэтому для шифрования сообщения с разделим

его на блоки c1 , c2 так, чтобы

0 < ci < 3337 , i =1, 2.

Возьмем

c1 = 190; c2 = 105.

Запишем

e = 79

в

двоичной

системе

счисления:

7910 = 10011112 = 26 + 23 + 22

+ 2 + 1 = 64 + 8 + 4 + 2 .

Первый блок шифруется так:

1902

= 36100 º 2730 (mod 3337);

1904

º 27302

= 7452900 º 1379 (mod 3337);

1908

º 13792

= 1901641 º 2888 (mod 3337);

19016

º 28882

= 8340544 º 1381 (mod 3337);

19032

º 13812

= 1907161 º 1734 (mod 3337);

19064

º 17342

= 3006756 º 119 (mod 3337);

19079

º119 × 2888 ×1379 × 2730 ×190 º 742 (mod 3337).

x ≡ b1 (mod m1 ),

.........

всегда имеет решения и все они сравнимы друг с другом по

x ≡ b (mod m

n

)

n

число, кратное

m : x = x + mq для подходящего целого

q. В частности, отсюда

~

следует,

что

в кольце Z mZ число x с данным

набором

(b1 , b2 , ..., bn )

единственно. Таким образом, мы обосновали первое следствие.

Следствие 5.1. CRT-теорема устанавливает взаимно однозначное

соответствие между целыми числами на отрезке от нуля до m −1

включительно

и всеми возможными наборами чисел (b1 , b2 , ..., bn ) для целых bi

на отрезке от

нуля до

mi − 1

включительно: x ↔ (b1 , b2 , ..., bn ).

Следствие 5.2. Если x « (b1 , b2 , ..., bn ), y « (c1 , c2 , ..., cn ),

то

(x ± y) mod m « ((b1 ± c1 ) mod m1 , (b2 ± c2 ) mod m2 , ..., (bn ± cn ) mod mn );

(x × y) mod m « ((b1 × c1 ) mod m1 , (b2 × c2 ) mod m2 , ..., (bn × cn ) mod mn );

(x × y −1 ) mod m « ((b × c

−1 ) mod m , (b × c

−1 ) mod m

, ..., (b × c−1n ) mod m )

1

1

1

2

2

2

n

n

для y U (m).

Из свойств взаимно простых чисел и следствия 1 вытекает следующее.

Следствие 5.3. В условиях следствия 1 класс

обратим в кольце Z mZ

x

тогда и только тогда,

когда в соответствующем числу x наборе (b1 , b2 , ..., bn )

каждая координата

bi

порождает обратимый класс в

Z mi Z .

Теорема 5.2. Если m = m1 × m2 ×...× mn

- разложение натурального числа m в

произведение

попарно

взаимно

простых

множителей,

то

U (m) @ U (m1 ) ´U (m2 ) ´...´U (mn ) - мультипликативная группа U (m) обратимых

элементов

кольца

Z mZ

–

изоморфна

прямому

произведению

мультипликативных групп U (mi )

колец Z mi Z , 1 ≤ i ≤ n.

Напомним, что прямое произведение абелевых групп G1 , G2 , ..., Gn есть

группа G, состоящая из всевозможных элементов

вида g = (g1 ,

g2 , ...,

gn ). В

случае

сомножителей

конечного порядка эта абелева группа имеет порядок

G

=

G1

×

G2

×...×

Gn

,

а

каждый

элемент

группы G

имеет порядок,

равный

наименьшему общему кратному порядков сомножителей

gi .

Согласно теореме Эйлера

g ϕ( m ) = 1 для каждого g U (m). Из теоремы 5.2

вытекает важное для приложений следствие.

Следствие 5.4.

Для

наименьшего общего

кратного τ чисел

ϕ(m1 ), ϕ(m2 ), ..., ϕ(mn )

и для каждого элемента g U (m)

в условиях теоремы 5.2

имеет место равенство:

g τ = 1.

Пример 5.2. Найдем

2317 (mod 35).

Решение. Традиционный путь мы знаем. 232 = 529 = 35 ×15 + 4 º 4(mod 35);

234

º 16(mod 35); 238

º 256(mod 35) = (35 × 7 +11)(mod 35) º 11(mod 35);

2316

º 121(mod 35) º 16(mod 35).

Тогда 2317

= 2316

× 23 º 16 × 23(mod 35) º 18(mod 35).

Попробуем эту же задачу решить через

CRT-представление. Поскольку

35 = 5 × 7

и 23 ≡ 3(mod 5);

23 ≡ 2(mod 7), то

CRT-представлением числа 23

является

пара

(3, 2).

Здесь

ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6.

Поэтому наименьшее общее

кратное

t = 12.

Следовательно,

317 º 35 (mod 5) º 3(mod 5);

по сравнению с тяжеловесностью прямого пути.

Осталось обсудить вопрос о восстановлении элемента x Z mZ

по

известному его CRT-представлению (в примере 5.2 все числа малые, поэтому

х

y1

= b1 mod m1 ;

) + y ;

y

2

= N

2

((C

2

(b − y ))mod m

2

((C

2

1

))mod m

1

y

3

= N

3

(b − y

2

) + y

;

(5.1)

3

3

3

2

..................................................

= Nn ((Cn (bn

− yn−1 ))mod mn ) + yn−1 .

yn

Здесь

N i = m1 × m2

×...× mi −1 ;

коэффициенты Ci

находятся из условия:

Ci Ni º1(mod mi ) . Число

yn и будет единственным решением системы сравнений

из теоремы 5.2, принадлежащим отрезку

[0; n -1].

Проверим корректность выписанной системы уравнений-сравнений для

наиболее популярного случая

n = 2,

который реализован в криптосистеме RSA.

Будем при

этом пользоваться

соответствующими

обозначениями. Итак,

m = m1 × m2

= p × q -произведение двух простых чисел. Пусть a и b − целые числа,

такие,

что

0 ≤ a < p

и

0 ≤ b < q. Согласно

CRT система сравнений

x ≡ a mod p;

имеет единственное решение на множестве целых чисел от нуля до

x ≡ b mod q

m −1

включительно. В этом случае система (5.1) состоит из первых двух

уравнений.

При этом N2

= m1

= p;

C2 - обратный к

N2 = p в кольце

Z qZ

C

2

= p

−1 mod q. Подставляя в (5.1) при n = 2 эти данные и значения

y = a,

1

b2

= b,

получаем, что это решение находится из следующей формулы:

x = (((b − a)( p−1 mod q))mod q)p + a.

(5.2)

Меняя в этой формуле p

и q

местами, получим формулу

x = (((a − b)(q−1 mod p))mod p)q + b ,

(5.3)

формулам (5.2) или (5.3). Попробуем убедиться в этом.

Для

решения

поставленной

задачи

надо

предварительно

вычислить

13−1 mod11

и 11−1 mod13. Ясно,

что 13 mod11 = 2;

2 × 6 = 12 º 1mod11, поэтому

13−1 mod11 = 6.

Величину

11−1 mod13

найдем

расширенным алгоритмом

Евклида для

НОД (11, 13) = 1: 13 = 11×1 + 2; 11 = 2 × 5 +1.

Следовательно, 1 = 11 ×1 + 2 × (-5) = 11 ×1 + (13 ×1 +11 × (-1))(-5) = 13 × (-5) + 11 × 6.

Отсюда получаем: 11−1 mod13 = 6. Согласно формуле (5.2)

x = ((6 - 8)6 mod13)11 + 8 = (-12(mod13))11 + 8 = 11 + 8 =19.

Согласно

формуле

(5.3)

x = ((8 - 6)6 mod 11)13 + 6 = 13 + 6 = 19.

Формулы

работают правильно.

Задания для аудиторной работы

Задание 1. Зашифровать в системе RSA сообщение c = 51 .

Решение.

Выбираем

число

n , 0 < c < n ,

являющееся

произведением

простых чисел

p

и q

и

взаимно простого

с

c . Например, n = 55 = 5 ×11

p = 5, q =11,

и

НОД(51, 55) = 1.

Находим

функцию j(n) = ( p -1)(q -1) .

j(55) = 40 .

Далее выбираем

e ,

такое, что

НОД(e, j(n)) =1. Например, e = 3.

3) Находим

секретный

ключ

d

из соотношения

Безу:

3u + 40v = 1,

получаемого

обратной

прогонкой

алгоритма

Евклида

для

нахождения

НОД (3, 40) =1. В

данном

случае

алгоритм

Евклида

предельно

краток:

40 = 13 ×3 +1.

Следовательно,

1 = 1× 40 + (-13) ×3 .

Поэтому

в кольце

Z 40Z

−1 =

=

=

d = 27 .

- 13

40 - 13

27.

Таким образом,

3

Следовательно,

e−1

=

=

=

Значит, d = 103.

- 77

180 - 77

103.

4) Находим

шd º c (mod n) ,

то есть 139103 (mod 209).

103

= 1110011

2

= 26 + 25 + 22 + 2

+1 = 64 + 32 + 4 + 3.

10

139 2

≡ 93 (mod 209); 139 4 º 932 º 80 (mod 209); 1398 º 80 2 º 130 (mod 209);

вычислить

ш = ce mod(n) =12141 (mod133).

Найдем

CRT-представление

c =121 « (2, 7). j(n) = 6 ×18 =108 . HOK(6, 18) =18 . Следовательно,

для

всякого

a Î Z 133Z a18

=1. Поэтому 12141 =1215 (mod133).

Найдем пятые

степени

компонент

CRT-представления

числа

c .

25 º 4(mod 7).

75 = 49 × 49 × 7 º11×11× 7(mod19) º11(mod19).

Таким

образом,

ш « (4, 11).

Очевидно, такое CRT-представление имеет число 11.

Значит,

ш =11. Итак,

по

схеме RSA построено сообщение (n, e, ш) = (133, 41, 11).

Задание

6.

Расшифровать сообщение

(n, e, ш) = (133, 41, 11),

используя

китайскую теорему об остатках.

Решение.

Основа стойкости криптосистемы RSA – сложность разложения

n =133

на простые множители здесь преодолевается элементарно:

133 =19 × 7 .

Тогда j(133) = 6 ×18 =108 = 22 × 33 , а

НОК (ϕ(7), ϕ(19)) = 18 . Необходимо

найти

d = e−1 = 41−1

в

кольце

Z 108Z .

j(108) = j(22 )× j(33 )= 2 ×18 = 36 ,

а

НОК (j(22 ), j(33 ))=18. Следовательно, для всякого

a Z 108Z

a18 =1,

в

частности, 4118

=1. Поэтому в кольце Z 108Z 41−1

= 4117 . Вычислим эту величину.

412 =1681 º 61(mod108) ;

414 º 612

= 3721 º 49(mod108);

418

º 25(mod108);

4117 º 85 × 41 º 29(mod108). Следовательно,

4117

º 85 × 41 º 29(mod108).

Итак,

в

кольце

Z 108Z

41−1 = 29 .

Расшифровка

сообщения

заключается

в

вычислении

c = шd (mod n) =1129 (mod133). Учитывая отмеченный

в решении

предыдущего

задания

факт

того,

что

для

всякого

a Î Z 133Z a18

=1,

видим,

что

1129 =1118+11 º1111 (mod133). Перейдем к CRT-представлению:

1111

« (411 , 1111 ). В

силу

малой

теоремы

Ферма

46

º1(mod 7).

Поэтому

411 º 45 (mod 7) =16 ×16 × 4(mod 7) º 2(mod 7).

Теперь

вычислим

1111 (mod19).

112 º 7(mod19); 113

º11× 7 =19 × 4 + 1 º1(mod19).

Поэтому 1111

º113+3+3+2

º112 (mod19) º 7(mod19). Таким образом,

c « (2,7).

Восстановим

c

по

его

CRT-представлению

с

помощью

формулы

(5.3)

c = (((a - b)(q −1 mod p))mod p)q + b . Здесь

q−1 (mod p) =19−1 (mod 7) = 5−1 (mod 7) = 3.

Тогда c = (((2 - 7)3)mod 7)19 + 7 = 6 ×19 + 7 =121.

Следовательно,

передано

сообщение «Ау». Задание полностью решено.

1.

а) n = 21, e = 7, ш = 2 ;

б) n = 2021, e = 11,

ш = 1791;

в) n = 250483,

e = 13,

ш = 242215.

2.

p = 2038074743;

q = 2038074751;

e = 1299709.

Шифр: 2428010006080722311.

Вариант 2

1.

а) n = 15, e = 3, ш = 13;

б) n = 2021, e = 5,

ш = 1265;

в) n = 1269083, e = 13,

ш = 1101727.

1. а) n = 21, e = 7, ш = 13 ;

б) n = 589, e = 7, ш = 109 ;

в) n = 3338287,

e = 19683, ш = 2092819 .

1. а) n = 35, e = 11, ш = 31;

б) n = 1147, e = 7, ш = 1064 ;

в) n = 1897613,

e = 161051, ш = 939402 .

1.

а) n = 77, e = 13,

ш = 31;

б) n = 1147, e = 13,

ш = 576 ;

в) n = 1457297,

e = 1331, ш = 1155557 .

2.

p = 2038074761;

q = 2038074769;

e = 1299709.

Шифр: 154793207506590481.

Вариант 6

1.

а) n = 35, e = 7,

ш = 2 ;

б) n = 2021,

e = 5, ш = 997 ;

1.

а) n = 35, e = 7, ш = 7 ;

б) n = 2021, e = 773, ш = 2017 ;

в) n = 4116037,

e = 451737, ш = 833207 .

2.

p = 2038074743;

Вариант 8

1. а) n = 35, e = 7, ш = 13;

б) n = 2021, e = 527, ш = 2017 ;

Вариант 9

1. а) n = 35, e = 7, ш = 8 ;

б) n = 2021, e = 773, ш = 1237 ;

Вариант 10

1. а) n = 35, e = 3, ш = 8;

б) n = 2021, e = 527, ш = 1237 ;

Вариант 11

1. а) n = 15, e = 11, ш = 7 ;

б) n = 589, e = 77, ш = 97 ;

Вариант 12

1. а) n = 33, e = 9, ш = 20 ;

б) n = 1147, e = 164, ш = 691;

1.

а) n = 21, e = 7, ш = 2 ;

б) n = 2021, e = 11, ш = 1791;

в) n = 250483,

e = 13, ш = 242215.

2.

p = 2038074743;

q = 2038074751;

1.

а) n = 15, e = 3, ш = 13;

б) n = 2021, e = 5, ш = 1265;

в) n = 1269083,

e = 13, ш = 1101727 .

2.

p = 2038074761;

Вариант 15

1. а) n = 21, e = 7, ш = 13 ;

б) n = 589, e = 7, ш = 109 ;