Лабораторная работа № 3 КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ

Цель работы: изучение классов вычетов, нахождение обратных элементов.

3.1. Необходимые теоретические сведения

При делении целых чисел на натуральное целое m > 1 существует m различных остатков: 0, 1, 2, …, m – 1. Соответственно этим остаткам множество Z разбивается на m непересекающихся классов сравнимых друг с другом чисел, то есть имеющих один и тот же остаток от деления на m. В соответствии с остатками

представитель класса однозначно определяет свой класс: для каждого натурального числа mq + i класс mq + i = i . Поскольку остаток – по-латински

residu – переводится на русский как вычет, то множество всех классов по данному модулю сравнимых друг с другом чисел называют множеством классов вычетов по модулю и обозначают через ZmZ . В силу сказанного ZmZ = {0, 1, ..., m − 1} –

множество из m элементов. Заметим, что для любых классов k, l ZmZ и для произвольных k1 , k2 k, l1 , l2 l суммы k1 + l1 и k2 + l2 принадлежат одному классу из ZmZ , так как эти суммы сравнимы друг с другом по модулю m согласно свойству 2 сравнений. Аналогично, произведения k1l1 и k2l2 лежат в одном классе из ZmZ .

25

Поскольку сложение и умножение в ZmZ однозначно определяются умножением представителей классов, то свойства 1–5 операций сложения и умножения целых чисел справедливы и в ZmZ .

1)k Å l = l Å k ; kl = lk – коммутативность;

2)k Å (l Å r )= (k Å l )Å r ; k(lr )= (kl )r – ассоциативность;

3)существует нейтральный элемент: k Å 0 = k ; k1 = k ;

4) для всякого k Î ZmZ существует единственный класс l , такой, что k Å l = 0 , им является l = m - k ;

5) (k Å l )r = (k r )Å (lr ) – дистрибутивность .

Благодаря отмеченным свойствам операций сложения и умножения множество ZmZ в алгебре относят к классу коммутативных колец с единицей и называют кольцом классов вычетов по модулю m.

обратимый класс, то обратный класс определен однозначно.

Лемма 3.1. Пусть k Î ZmZ такой класс, что НОД (k, m) = 1. Тогда:

1)для каждого l ¹ 0 произведение kl ¹ 0 ;

2)kl1 ¹ kl2 , если l1 ¹ l2 ;

3) отображение f : x ® k x инъективно и, следовательно, биективно на множестве ZmZ (на множестве ненулевых элементов из ZmZ );

4) k – обратимый класс в кольце ZmZ .

26

Замечание. В условиях леммы 3.1 НОД (k, m) = 1, поэтому, согласно

критерию взаимной простоты целых чисел, существуют такие целые u, v Z , что

ku + mv = 1. Тогда 1 = ku + mv = ku . Следовательно, u – обратный к k класс.

Лемма 3.2. Пусть k Î ZmZ – такой класс, что НОД (k, m) = d > 1. Тогда

1)существует класс l ¹ 0 , что kl = 0 ;

2)существуют классы l1 ¹ l2 такие, что kl1 = kl2 ;

3) для всех l ¹ 0 произведение kl ¹ 1, то есть класс l не обратим в кольце

Поскольку ZmZ состоит из конечного множества элементов, то сложение и умножение можно задавать поэлементно в виде таблиц.

Пример 3.1. Напишем таблицы сложения и умножения в Z3Z :

Из таблицы умножения непосредственно видно, что классы 1 и 2 обратны сами себе, то есть обратимы все ненулевые классы Z3Z в полном соответствии с теоремой 3.1.

27

Определение 3.2. Функция Эйлера – функция натурального аргумента ϕ(m),

которая каждому натуральному числу m > 1 ставит в соответствие количество натуральных чисел, меньших m и взаимно простых c m.

Перечислим основные мультипликативные свойства функции Эйлера:

1.j( p) = p -1 для каждого простого числа p.

2.ϕ( pn ) = pn − pn−1 для каждого простого числа p и для произвольного натурального n ³ 1.

3.Если НОД (n, m) = 1, то ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

Пример 3.3. Из теоремы 3.1 следует, что в кольце ZmZ имеется в точности ϕ(m) обратимых классов. Например, ϕ(12) = 4 . Значит, в кольце Z12Z

имеется именно 4 обратимых элемента. Непосредственная проверка показывает,

что этими классами являются 1, 5, 7, 11.

Теорема 3.2 (Эйлера). Если для целого числа a и натурального m НОД

(a, m) = 1, то aϕ( m) ≡ 1(mod m) .

Алгебраическим сравнением n -й степени с одной неизвестной называется сравнение вида

an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 x0 ≡ 0(mod m) , где an , an−1 ,..., a0 Î Z , n Î N , an ¹ 0(mod m) .

28

Если при подстановке вместо x числа x0 получается верное числовое сравнение, то x0 называется решением данного сравнения. При этом и любое целое число вида x0 + mt также будет решением данного сравнения. Поэтому решением алгебраического сравнения можно считать класс вычетов x0 .

Универсальным способом решения алгебраических сравнений является испытание полной системы вычетов по модулю m , то есть целых чисел 0, 1, 2, … , m − 1. Сравнение будет иметь столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяют.

Пример 3.4. Решить сравнение x5 + x + 1 º 0(mod 7) .

Решение. Среди чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 полной системы вычетов по

29

Задание 3. В кольцах Z5Z и Z6Z и составить таблицы сложения и умножения. Найти в этих кольцах пары взаимно обратных по умножению элементов. Указать количество таких пар и сравнить это количество с j(5) и j(6)

соответственно.

Задание 4. В кольце классов вычетов по модулю 15 к каждому обратимому элементу найти обратный элемент.

Решение. Согласно теореме 2.1 в кольце Z15Z имеется ϕ(15) = 8 классов вычетов, взаимно простых с модулем m = 15. Эти классы составляют множество

Задание 5. В кольце Z2005Z найти обратные к элементам 5, 6, 7 .

Решение.

1. Находим j(2005) :

2. Находим в кольце Z2005Z обратные к элементам: а) 5; б) 6; в) 7 .

30

а) НОД (2005; 5) = 5 5 −1 не обратим.

б) НОД (2005; 6) = 1 6 −1 обратим.

2005 = 6 × 334 + 1;

1 = 6 - 5 ×1 = 6 - 5(2005 + 6(- 334)) = 6 - 5 × 2005 + 5 × 6 × 334 = -5 × 2005 + 6 ×1671;

6 −1 = 1671.

в) НОД (2005; 7) = 1 7 −1 обратим;

2005 = 7 × 286 + 3 ; 1 = 7 - 2 × 3 = 7 - 2(2005 + 7(- 286)) = -2 × 2005 + 573 × 7 .

7 −1 = 573 .

Индивидуальные задания

1.Построить таблицы сложения и умножения в кольце: а) ZkZ ; б) ZnZ .

2.Вычислить j(k ), j(n) (k, n – из первого задания), j(m) (m – из четвертого задания).

3.В кольцах ZkZ , ZnZ (первое задание) найти пары взаимно обратных

по умножению элементов.

4.В кольце ZmZ найти обратные к элементам 5, 6, 7.

5.Решить кубическое сравнение.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

31

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

32

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

33