Занятие 8

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Занятие 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ II РОДА
Пусть в точках двусторонней поверхности S пространства OXYZ		опреде-
лена непрерывная функция f (x, y, z).	Поверхностным интегралом II	рода от
непрерывной функции f (x, y, z) по выбранной стороне поверхности S		называ-
ется предел интегральной суммы ∑n	f (xi , yi , zi ) σi , , где σi – площадь проек-
i =1

ции Si на площадь OXY , взятая со знаком «плюс», если нормаль к выбран-

ной стороне поверхности составляет с осью OZ острый угол и со знаком «ми-

нус» в противном случае, когда диаметр разбиения поверхности d = max di

1≤i ≤n

стремится к нулю:

lim ∑n	f (x i , yi , zi ) σi		= ∫∫ f (x , y, z )dxdy .				(8.1)
d →0 i =1				S
Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода, если поверх-
ность S проектируется соответственно на плоскости Oyz и Oxz .
∫∫ f (x , y, z )dydz = lim ∑n				f (x i , yi , zi )		σi	(8.2)
S		d → 0 i =1
∫∫ f (x , y, z )dxdz		= lim		∑n	f (x i yi zi )	σi	(8.3)
S		d →0 i =1
То есть,
∫∫ f (x . y .z )dxdy		= ±∫∫	f (x ,		y , z (x , y ))dxdy		(8.4)
S		D
∫∫ f (x , y , z )dxdz		= ± ∫∫	f (x , y (x , z ), z )dxdz				(8.5)
S		D1
∫∫ f (x , y , z )dydz		= ± ∫∫		f (x (y , z ), y , z )dydz			(8.6)
S		D 2
где D , D1 и D2 - проекции поверхности S							на координатные плоскости
Oxy , Oxz	и Oyz соответственно.

Поверхностный интеграл II рода зависит от выбранной стороны поверхности: если нормаль, отвечающая выбранной стороне поверхности, составляет с соответствующей осью острый угол, то поверхностный интеграл II–го рода берется со знаком «+», в противном случае перед интегралом ставится знак

«–».

Наиболее общий вид интеграла второго рода:

I = ∫∫ P (x , y , z )dydz + Q (x , y , z )dxdz + R (x , y , z )dxdy	(8.7)
S

где P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – функции определенные и непрерывные в

точках двусторонней поверхности S .

Интеграл второго рода обладает всеми свойствами интеграла первого рода, за исключением одного: при переходе к другой стороне поверхности интеграл II-го рода меняет знак.

Интегралы первого и второго рода связаны формулой

∫∫P dydz +Q dxdz + R dxdy = ∫∫(P cos α+Q cos β + R cos γ)dG		(8.8)
S	S
где cos α, cos β, cos γ	– направляющие косинусы нормали, направленной в ту

сторону поверхности, по которой берется интеграл второго рода. Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению

двойного интеграла.

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности S и тройным интегралом по объему V , ограниченному этой поверхностью, устанавливается по формуле Остроградского-Гаусса:

	∂P		∂Q		∂R
∫∫∫		+		+		dxdydz	= ∫∫P dydz +Q dxdy + R dxdy	(9.9)
	∂x		∂y
V					∂z		S
где P = P(x, y, z), Q(x, y, z), R = R(x, y, z) – функции, непрерывные								вместе со

своими частными производными первого порядка в пространственной области V .

Пример 8.1. Вычислить интеграл ∫∫x dydz + z dzdx + dxdy , где S верхняя сто-

рона плоскости x − y + z =1 , лежащей в IV октанте (Рис. 11.1).

1	С
A
В
-1	О	y

А 1

Рис. 8.1

Решение. Найдем направляющие косинусы нормального вектора плоскости

nr (1, 1, 1 ),

= 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 .

cos

α =

> 0 ,

cos β =

− 1

0 ,

cos

0 .

∫∫ x

dydz

z dzdx

+ dxdy

= ∫∫

dydz

∫∫

z dzdx

∫∫ dxdy .

Для вычисления каждого из интегралов применим соответственно формулы

8.3, 8.2, 8.1

									0 1+y								0										z2		1+y			0
									0 1+y								0										z2		1+y			0
∫∫x dydz = ∫∫(1+ y −z)dydz = ∫dy ∫(1+ y −z)dz = ∫																			z + yz −											dy =		∫1+ y + y(1+ y)−
∫∫x dydz = ∫∫(1+ y −z)dydz = ∫dy ∫(1+ y −z)dz = ∫																			z + yz −								2			dy =		∫1+ y + y(1+ y)−
	0				2																						2		0
S	0				2				−1	0																			0		−1
S					D				−1	0						−1															−1
	2					1		0			1			y	3			0			1
	2							0							3			0
−		(1+ y)		dy =				∫(1	+2y + y2 )dy	=		y + y2	+						=				,
−				dy =				∫(1	+2y + y2 )dy	=		y + y2	+						=	6			,
	2				2			−1		2			3							6
								−1										−1
где D2			– треугольник BOC .															−1
где D2			– треугольник BOC .
												1−x							z 2			1−x								1		2	1		1
																						1−x

∫∫z dzdx					= −∫∫z dzdx = −∫dx							∫ z dz = −∫													dx = −						(1	− x )		=		,
∫∫z dzdx					= −∫∫z dzdx = −∫dx							∫ z dz = −∫							2						dx = −					2	(1	− x )	0	=	2	,
S							D		0			0				0						0
S							D		0			0				0
								1
где D1 – треугольник AOC .
									∫∫ dxdy = ∫∫ dxdy				= S					AOB		=						1		.
									∫∫ dxdy = ∫∫ dxdy				= S					AOB		=					2			.
									S	D															2
Окончательно:																									1 .
									∫∫ x dydz	+ zdzdx			+ dxdy							= 1					1 .
																								6
Пример 8.2. Вычислить ∫∫3x 2 + 3y 2 + z 2 dxdy , где S																											– внешняя сторона части
									S
поверхности z =								x	2 + y 2 , отсеченной плоскостями z = 0, z =1.
												z
												1

Рис. 8.2

Решение. Поверхность z = x 2 + y 2 представляет собой верхнюю часть конуса z2 = x 2 + y2 . Нормаль к поверхности составляет с осью Oz тупой угол. Для вычисления интеграла применим формулу 11.1

∫∫3x 2 + 3y 2 + z 2 dxdy = −∫∫(3x 2 + 3y 2 + x 2 + y 2 )dxdy = −4∫∫(x 2 + y 2 )dxdy ,

S D D

где D – круг x 2 + y 2 ≤1.

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

− 4 ∫∫ (x 2 + y 2 )dxdy		x = ρ cos ϕ,	2 π	1
		x = ρ cos ϕ,

	=	y = ρ sin ϕ,	= −4 ∫ dϕ∫ρ3dρ = −2 π.
D		I = ρ	0	0

Пример 8.3. Вычислить ∫∫x dydz + y dzdx + z dxdy , где S внешняя сторона пи-

рамиды, ограниченной плоскостями 2x − 3y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0 (рис. 8.4.)

					6
		n			6
		n
		В
		В				О
					3	y
					3
				x
					Рис. 8.3
Решение. По формуле 8.4 находим
∫∫	x dydz +	y dzdx			+ z dxdy = ∫∫∫ (1 + 1 + 1 )dV		= 3 ∫∫∫ dV
S						V	V
=	3V пирамиды	= 3	1		3 6 = 18 .
=	3V пирамиды	= 3	3		3 6 = 18 .
			3

Аудиторная работа
8.1. Вычислить интегралы по указанным поверхностям:
8.1.1. ∫∫(y 2 + z 2 )dxdy , где S – внешняя сторона поверхности z =	4 − x 2 , от-
S
сеченная плоскостями y = 0, y =1.
8.1.2. ∫∫x dydz + y dxdz + z dxdy , где S – верхняя сторона	плоскости
S
x + y + z = 4 , лежащей в первом октанте.
8.1.3. ∫∫(x 2 + z 2 )dydz ,где S – внешняя сторона поверхности x =	9 − y 2 , отсе-
S
ченная плоскостями z = 0, z = 2 .

8.1.4. ∫∫dxdy + y dxdz +5dydz , где S – внешняя сторона плоскости x + y + z =1 ,

ограниченной координатными плоскостями.

Домашнее задание

8.2. Найти интегралы:

8.2.1. ∫∫(x 2 + z 2 + 3y 2 )dxdz , где S – внешняя сторона части поверхности

y = x 2 + z 2 , отсеченной плоскостями y = 0, y =1.

(Ответ: -2π) 8.2.2. ∫∫(3x 2 + 7y 2 + 7z 2 )dydz , где S – внутренняя сторона части полусферы

x 4 − z2 − y 2 , вырезанной конусом x = 4 − z2 − y2 .

(Ответ: −32π)

8.2.3. ∫∫x dydz + y dxdz + z dxdy , где S – внешняя сторона сферы x 2 + y 2 + z2 =1

(Ответ: 3π)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.96 Кб2Краткий курс лекций по учебной дисциплине «Оценка недвижимости». Часть 1.pdf
#
24.11.20252.16 Mб1Краткий курс программирования на алгоритмическом языке Fortran PowerStation.pdf
#
24.11.20251.07 Mб1Краткий курс программирования на языке Pascal ABC для студентов специальности 1-36 01 02 Материаловедение в машиностроении.pdf
#
24.11.20253.15 Mб1Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
24.11.20251.64 Mб1Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.pdf
#
24.11.20251.28 Mб0Кратные интегралы.pdf
#
24.11.20251.53 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.27 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Культура речи и основы педагогической риторики.pdf
#
24.11.20252.23 Mб2Культурология. История мировой культуры.pdf