Занятие 7

непрерывная функция f (x, y, z).

Поверхностным интегралом I рода от непре-

рывной функции

f (x , y , z ) по поверхности S называется предел инте-

гральной суммы

∑n

f (xi , yi , zi )

Si , когда диаметр разбиения поверхности

i =1

d = max di стремится к нулю:

1≤i ≤n

lim ∑n

f (x i , yi , zi ) S i

= ∫∫ f (x , y , z )dS .

d

→ 0 i =1

S

Если поверхность S гладкая, а функция

f (x, y, z) – непрерывная, то поверх-

∫∫

f (x , y , z )dS = ∫∫ f (x , y , z (x , y )) 1 + z x′2 + z ′y2 dxdy

(7.1)

S

D

Отметим,

что если поверхность S задана уравнением вида

y = y(x, z) или

∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x, y(x, z), z)

1 + yx′ 2 + yz′2 dxdz

(7.2)

S

D1

и

∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x (y, z), y, z)

1 + x ′y

2 + xz′2 dydz ,

(7.3)

S

D2

где D1 и D2 проекции поверхности S

на координатные плоскости OXZ и

OYZ

соответственно.

Пример 7.1. Вычислить интеграл ∫∫ z (x

+ y )dS , где S часть поверхности

S

z =

4 − x 2

, отсеченная плоскостями y = 0, y = 5 (рис. 7.2).

Решение.

Поверхность

z = 4 − x 2

представляет собой верхнюю часть

цилиндра z 2

+ x 2 = 4 с образующими,

параллельными оси Oy; y = 0, y = 5

x

Рис. 7.2

y

5

D

-2

0

2

x

Рис. 7.3

zx′ = −

x

; z′y = 0.

4 − x 2

∫∫z(x + y )dS = ∫∫

4 − x 2 (x + y )

− x

2

4 − x 2 (x + y )

4 − x

2

+ x

2

1 +

dxdy =

∫∫

dxdy =

2

S

D

D

4 − x

4 − x 2

2

2

2

5

2

y 2

5

= ∫∫

4 − x

(x + y )

4 − x 2

dxdy = 2∫∫(x + y)dxdy = 2 ∫

dx ∫

(x + y )dy = 2 ∫

xy

+

2

dx =

D

D

−2

0

−2

0

2

25

=

(5x 2 +

25x )

2

=100.

= 2 ∫

5x +

dx

−2

2

−2

∫∫(x 2 + y 2 )dS ,

Пример 7.2. Вычислить интеграл

где поверхность

S

задана

S

x

Рис. 7.4

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (7.1). Для этого найдем

z x′ =

(− 2 x )

=

− x

,

z ′y =

−

y

.

2 25 − x 2 − y 2

25 − x 2 − y 2

25 − x 2 − y 2

∫∫ (x 2 + y 2 )dS

= ∫∫

(x 2

+ y 2 )

1 +

x 2

+

y

2

dxdy =

25 − x 2 − y 2

− x

2 −

y 2

S

D

25

= ∫∫ (x 2 + y 2 )

25 − x 2 − y 2

+ x 2

+ y 2

dxdy

= 5 ∫∫ (x 2 + y 2 )

dxdy

25 − x 2

− y 2

25 − x 2 − y 2

D

D

x 2

+

y 2

x

= ρ cos ϕ

2 π

5

ρ2 ρ

5 ∫∫

dxdy

=

y

= ρ sin

ϕ

= 5 ∫

dϕ∫

dρ.

D 25

− x

2 − y 2

I

= ρ

0

0

25 − ρ2

5

ρ3

вычисляем с помощью подстановки ρ = 5 sin t .

Интеграл ∫

dρ

0

25 − ρ2

5

3

ρ =5 sint,

π 2

3

3

π 2

3

ρ =5 sint =1 t = π 2,

5cost dt

∫

ρ

dρ =

= ∫

5

sin

t

=54

∫

sin

t cost

=

0

25 −ρ

2

ρ = 0 sint = 0 t = 0,

0

25 −

25sin

2

t

0

5cost

dρ =5cost dt

π 2

3

t

π 2

3

2

= −53

∫

(1−cos2 t)d cost = −53 cost −

cos

=

5

.

0

3

3

0

2 π

4 54

x 2 + y 2

2

π

Окончательно получим 5∫∫

=

3

5

∫ dϕ =

3

.

25 − x

2

− y

2

D

0

Пример 7.3. Вычислить ∫∫ (x 2 + 3 y 2 + z 2

+ 5 )dS , где S

– часть поверхности

S

y

=

x 2

+ z 2

, отсеченная плоскостями y = 0, y = 2 .

Решение.

Поверхность S

представляет

собой верхнюю

часть

конуса

y 2 = x 2 + z2 , заключенную между поверхностями y = 0, y = 2 (Рис. 7.5).

2

y

y′x

=

2x

=

x

; y′z

=

z

.

2 x2

+ z 2

x2

+ z 2

x2

+ z 2

∫∫(x 2 + 3y 2 + z 2 +5)dS = ∫∫(x 2 + 3(x 2 + z 2 )+ z2 +5) 1 +

x 2

+

z 2

dxdz =

x

2 + z2

S

D

x 2 + z 2

= ∫∫(4x 2 + 4z 2 +5)

2(x 2 + z 2 )dxdz =

2 ∫∫(4x 2 + 4z 2 +5)dxdz ,

D

x 2 + z 2

D

где область D – круг x 2 + z 2 ≤ 4 .

Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам:

2 ∫∫(4x 2 + 4z 2 + 5)dxdz =

x = ρcos ϕ,

2 π

2

5ρ

2

2

z = ρsin ϕ,

=

2 ∫dϕ∫(4ρ2 + 5)ρdρ =

2 2π ρ3

+

=

D

0

0

2

I = ρ

0

7.1.1. ∫∫x dS , где S

– часть поверхности z = x 2 + y 2 , отсекаемая плоскостя-

S

ми z = 0, z =1.

7.1.2. ∫∫x (y + z)dS ,где S – часть поверхности x = 1 − y 2 , отсекаемая плоско-

S

стями z = 0, z = 2.

7.1.3. ∫∫z dS , где S

– поверхность, заданная уравнением z = 4 − x 2 − y 2 .

S

7.1.4. ∫∫ x 2 + y 2 + z2 dS , где S

– часть поверхности

z2 = x 2 + y 2 , отсекаемая

S

плоскостями z = 4, z = 0.

7.1.5. ∫∫(3x − 2y +6z)dS , где

S – часть плоскости 2x + y + 2z = 2, отсеченная

S

координатными плоскостями.

Домашнее задание

7.2. Найти интегралы по указанным поверхностям:

7.2.1. ∫∫(x −3y + 2z)dS , где S

– часть плоскости 4x + 3y + 2z − 4 = 0 , располо-

S

женная в I октанте.

(Ответ:

29

)

9

7.2.2. ∫∫ y3dS , где S - поверхность y = 4 − x 2 − z 2 .

(Ответ: 16π)

S

7.2.3. ∫∫(x 2 + y 2 + z − 2)dS , где S

- часть поверхности 2z = 9 − x 2 − y 2 , отсечен-

S

(Ответ: π(500 10 − 23)/15 ).

ная плоскостью z = 0.

40