Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Занятие 6

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ II РОДА

Пусть на дуге					кусочно-гладкой пространственной кривой L определена
Пусть на дуге				AB	кусочно-гладкой пространственной кривой L определена
и непрерывна вектор-функция								r
		r						r
		F ( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + +Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z )k ,
где P (x, y, z), Q(x, y, z), R (x, y, z)						– проекции вектора		F (x, y, z) на коорди-
						n	r	rrk ) .
натные оси. Составим интегральную сумму ∑(F (M k ),								rrk ) .
						k =1
Криволинейным интегралом II						рода (КРИ–	II) называется предел инте-
гральной суммы				n	r	когда диаметр разбиения дуги кривой L
гральной суммы				∑ (F (M k ), rrk ) ,		когда диаметр разбиения дуги кривой L
		rrk		k =1
d = max			стремится к нулю, т.е.
d = max			стремится к нулю, т.е.
1≤k ≤n
1≤k ≤n
n	r			rrk	n			+ R (M k ) zk ) =
lim ∑(F (M k ),				rrk	) = lim ∑(P (M k ) x k + Q (M k ) yk			+ R (M k ) zk ) =
d →0 k =1					d →0 k =1

= ∫P (x , y, z )dx + Q (x , y, z )dy + R (x , y, z )dz .

Свойства КРИ– II

1. При изменении направления интегрирования КРИ– II меняет знак на противоположный:

∫ Pdx	+ Qdy + Rdz = − ∫ Pdx + Qdy + Rdz .

AB		BA
Остальные свойства КРИ– II аналогичны свойствам КРИ–I.
		Вычисление КРИ– II
1. Пусть L – пространственная кривая, заданная параметрическими уравне-
ниями x = x(t), y = y(t), z = z(t) , где t1 ≤ t ≤ t 2 , тогда
	t2	′	′
∫Pdx +Qdy + Rdz = ∫		′	′
∫Pdx +Qdy + Rdz = ∫		((P(x (t), y(t), z(t)) x (t) +Q(x (t), y(t), z(t)) y (t) +
L	t1
		′
		+ R(x (t), y(t), z(t)) z (t)) dt .
2. Пусть L – плоская кривая, заданная уравнением y = ϕ(x )			(a ≤ x ≤ b) , тогда
			30

P (x, y),Q(x , y)

	b
∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = ∫ (P ( x , ϕ( x )) + Q (x , ϕ(x )) ϕ′(x )) dx .
L	a
3. Пусть L – плоская кривая, заданная в полярной системе координат урав-
нением ρ = ρ(ϕ)	( α ≤ ϕ ≤ β) , тогда

∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫−(P(ρcos ϕ, ρsin ϕ)ρsin ϕ+Q(ρcos ϕ,ρsin ϕ)ρcos ϕ) dϕ,

L α

где ρ = ρ( ϕ ) .

Таким образом, вычисление КРИ– II сводится к вычислению определенного интеграла.

Формула Грина

Если L – кусочно-гладкий контур, ограничивающий на плоскости Oxy область D, функции – непрерывны в замкнутой области D и имеют непрерывные частные производные, тогда справедлива формула Грина

		∂Q		∂P
∫ P ( x , y ) dx	+ Q ( x , y ) dy = ∫∫		−		dxdy	,
∫ P ( x , y ) dx	+ Q ( x , y ) dy = ∫∫	∂x	−	∂y	dxdy	,
L	D	∂x		∂y

где контур L обходится в положительном направлении (против часовой стрелки).

Криволинейный интеграл

∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy ,

где контур L целиком лежит внутри некоторой односвязной области D, в которой функции P (x, y) и Q(x, y) и их частные производные непрерывны, не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда выполнено условие:

∂P ( x , y )	=	∂Q ( x , y ) .
∂y		∂x

В этом случае подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (x, y) , т.е.

P (x, y )dx +Q(x, y )dy = dU (x , y) и

∫ P (x , y )dx + Q (x , y )dy = U (M 2 ) −U (M 1 ) = U (x 2 , y2 ) −U (x1, y1 ) ,

где M1(x1, y1) – начальная точка, M 2 (x2 , y2 ) – конечная точка пути интегрирования.

В частности, криволинейный интеграл по замкнутому контуру в этом слу-

чае равен нулю:

∫ P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0

Пример

6.1.

Вычислить

∫cos3 x dx +

где

–

дуга

кривой

y = tg x (π 4 ≤ x ≤π 2) .

Решение.

∫cos3 x dx + dy3

π 2

x dx

π 2

d(sin x)

= ∫

cos3 x dx + ∫

cos

= ∫

(1−sin2 x) d(sin x) + ∫

π 4

π 4 sin

cos

π 4

π 4 sin x

π 2

= sin x − sin x

−

=1− 1 − 1 −

+ 1

+ 1 (

= 7 −

2 .

2sin

π 4

Пример

6.2.

Вычислить

∫

ydx

+ xdy

где

–

дуга

астроиды

x = a cos 3 t ,

y = a sin 3 t

( 0 ≤ t ≤ π

4 ) .

Решение. Найдем dx

= −3a cos 2 t sin t dt ,

= 3a sin 2 t cos t dt .

Следовательно:

∫ ydx + xdy = π∫4(a sin 3 t( −3a cos 2

t sin t ) + a cos 3 t 3a sin 2

t cos t )dt =

π 4

sin

= 3a 2 ∫ sin 2 t cos 2

t(cos 2

t − sin 2 t ) dt =3a 2

∫

cos 2t dt

π 4

sin

π 4

∫ sin 2

2t d (sin

2t ) =

Пример 6.3. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл

∫

−

2 ydx

2 dy

где L – окружность x 2 + y2 = R 2 , пробегаемая против хода часовой стрелки. Решение. Используя формулу Грина, сведем криволинейный интеграл к

двойному интегралу	+ xy 2 dy = ∫∫ (y 2 + x 2 )dxdy ,
∫ − x 2 ydx	+ xy 2 dy = ∫∫ (y 2 + x 2 )dxdy ,
L	D
т.к.

P(x, y)

Q(x, y)

2		∂P		= − x 2 ,
= −x	y ,		∂y
= −x	y ,		∂y			.
= xy 2	и		∂Q			.
= xy 2	,		∂Q	= y	2	.
			∂x	= y		.
			∂x

Для вычисления двойного интеграла введем полярные координаты:

∫∫ (y 2 + x 2 )dxdy

x = ρ cos ϕ

2 π

πR

y = ρ sin ϕ

= ∫∫ ρ2 ρ dϕ dρ =

∫ dϕ ∫ρ3 dρ = 2 π

= ρ

где I – якобиан преобразования.

Пример 6.4. Вычислить криволинейный интеграл, предварительно проверив, зависит ли он от пути интегрирования

	∫ (3 x 2 y − 4 xy 2 )dx		+ ( x 3 − 4 x 2 y + 3 y 2 )dy			, где A (−1,−1), B (1, 1) .

	AB
Решение. В нашем случае
				P (x, y) = 3x 2 y − 4xy 2 ,
			Q(x, y) = x 3 − 4x 2 y + 3y 2 ,
тогда	∂P	= 3x 2 − 8xy ,		∂Q	= 3x 2 − 8xy , т.е.	условие независимости вы-
тогда	∂y	= 3x 2 − 8xy ,			= 3x 2 − 8xy , т.е.	условие независимости вы-
	∂y			∂x

полнено. Определим функцию U (x, y) , полный дифференциал которой, равен подынтегральному выражению

		dU ( x , y ) = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy , т.е.
∂ U		= P ( x , y )	∂U	= 3x	2	y −4xy	2	,
∂ U					2		2
			∂x
	∂ x
	∂ x
	∂ U		∂U = x 3 −4x 2 y +3y2.
	∂ U	= Q ( x , y )
		= Q ( x , y )
	∂ y		∂y
	∂ y		∂y

Так как ∂∂Ux = 3 x 2 y − 4 xy 2 , то

U ( x , y ) = ∫ (3 x 2 y − 4 xy 2 ) dx = x 3 y − 2 x 2 y 2 + ϕ( y ) ,

где ϕ( y ) – неизвестная функция, для нахождения которой продифференцируем полученное равенство:

∂U		3		2	′	3		2		2
	= x		− 4x		y + ϕ (y) = x		− 4x		y +3y		.
∂y	= x		− 4x		y + ϕ (y) = x		− 4x		y +3y		.
∂y

Тогда ϕ′( y ) = 3 y 2 и ϕ( y ) = y 3 + C .

Итак, U (x, y) = x 3 y − 2x 2 y 2 + y3 +C .

Окончательно

∫	(3x 2 y − 4xy 2 )dx + (x 3 − 4x 2 y + 3y 2 )dy = (x 3 y − 2x 2 y 2 + y3 )	B = 2 .

		A

Аудиторная работа

6.1. Вычислить криволинейные интегралы по указанным кривым:

6.1.1. ∫ y 2 dx			+ xydy		x	= a cos t ,	(0 ≤ t	≤ π 2) .
6.1.1. ∫ y 2 dx			+ xydy	, L – дуга эллипса		= b sin t ,	(0 ≤ t	≤ π 2) .
	L				y	= b sin t ,
6.1.2. ∫ sin 3 x dx + dy				, L – дуга кривой	y	= ctg x	(0 ≤ x ≤ π 3) .
	L		y 2
6.1.3. ∫ x 2 dx			+ ( x + z )dy + xydz , L – дуга кривой
	L
	x	= sin t , y = sin 2 t , z = sin 3 t			(0 ≤ t	≤ π 2 ) .
6.1.4.
6.1.4.	∫	xydx	− y 2 dy + ( z − x ) dz , где AB			– отрезок прямой от A(1,−2, 3) до

	AB
B(−1,1, 2) .
6.2. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
6.2.1. ∫(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy , L – окружность x = a cost ,
	L					y = bsin t .
6.2.2. ∫(x + y)dx − (x − y)dy , L – окружность x 2 + y 2 = R 2 .
	L
6.2.3.	∫(x + y)dx − x dy , L – контур четырехугольника						A(0,0) ,	B(2, 0) , C (4, 4) ,
	L
D(0, 4) .
6.3. Проверить зависимость интегралов от пути интегрирования:
6.3.1. ∫(x + 2x 3 y 2 − y 4 )dx + (y 2 − 3x 2 y 3 + 4xy )dy .
	L
6.3.2. ∫ (4 x 3 − 12 x 3 y )dx + (5 y 4					− 4 x 3 )dy .
	L

6.3.3. ∫(xy 3 + x 2 − 2y 2 )dx + (y5 −3x 3 y 2 + x 4 )dy .

Домашнее задание
6.4. Вычислить криволинейные интегралы по указанным кривым:
6.4.1. ∫(x 2 − 2xy )dx + (2xy + y 2 )dy , L – дуга параболы y = x 2			от точки A(1,1) до
L
точки B(2, 4) .			(Ответ: 40					19		)
точки B(2, 4) .			(Ответ: 40							)
						30
6.4.2. ∫ y 2 dx	+ x 2 dy , где L – верхняя половина эллипса, пробегаемая по
L
ходу часовой стрелки x = a cos t, y = b sin t .			(Ответ:			4	ab2 )
ходу часовой стрелки x = a cos t, y = b sin t .			(Ответ:			3	ab2 )
						3
6.4.3. ∫ x 2 ydx	+ y 2 xdy , L – дуга кривой x = t,	y = t 3	(0 ≤ t ≤ 1) .
L
			(Ответ: 1 2 )
6.4.4. ∫ y 2dx + x 2dy , L – первая арка циклоиды x = a(t − sin t ), y = a(1 − cos t ) .
L
		(Ответ: a3π(5 − 2π) )
6.4.5. ∫(x 2 + y 2 )dx + xydy , L – дуга кривой y = ex		от точки A(0,1)		до точки
L
B(1, e) .
			(Ответ:	4	e2 +				1		)
			(Ответ:	3	e2 +						)
				3		12

6.5. Применяя формулу Грина, вычислить следующие криволинейные интегралы:

6.5.1. ∫(1 − x 2 )dx + x (1 + y 2 )dy , где L – окружность x 2 + y 2 = a2 .

(Ответ:	πa4	)
(Ответ:	2	)
	2
6.5.2. ∫e−(x 2 −y 2 ) (cos 2xydx + sin 2xydy ) , где L – окружность x 2 + y 2 = a2 .
L

(Ответ: 0) 6.6. Вычислить криволинейные интегралы, предварительно определив функцию U (x, y) , полный дифференциал которой равен подынтегральному

выражению:

6.6.1.	∫(4xy −15x 2 y)dx + (2x 2 −5x 3 + 7)dy , где A(0, 2) , B(1, 3) .
	AB
	(Ответ: –2)
6.6.2.	∫ ((x + y + 1)e x − e y )dx + (e x − (x + y + 1)e y )dy , где A(1, 0) , B(2,1) .

(Ответ: 3e2 − 4e +1)

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.96 Кб2Краткий курс лекций по учебной дисциплине «Оценка недвижимости». Часть 1.pdf
#
24.11.20252.16 Mб1Краткий курс программирования на алгоритмическом языке Fortran PowerStation.pdf
#
24.11.20251.07 Mб1Краткий курс программирования на языке Pascal ABC для студентов специальности 1-36 01 02 Материаловедение в машиностроении.pdf
#
24.11.20253.15 Mб1Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
24.11.20251.64 Mб1Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.pdf
#
24.11.20251.28 Mб0Кратные интегралы.pdf
#
24.11.20251.53 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.27 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Культура речи и основы педагогической риторики.pdf
#
24.11.20252.23 Mб2Культурология. История мировой культуры.pdf