Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Основы бизнеса»

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методическое пособие по математике для студентов специальностей

1-36 20 03 «Торговое оборудование и технологии», 1-52 04 01 «Производство экспозиционно-рекламных объектов

Минск 2012

УДК 517.37 (075.8) ББК 22.161.1 я7 М 54

Авторы:

Лебедева Г.И., Ругалева И.Е

Рецензенты:

Федосик Е.А., Митенков М.В.

Методическое пособие составлено в соответствии с программой курса высшей математики для инженерных специальностей. В нем дано краткое изложение рассматриваемых тем, приведены примеры решения, даны задания для аудиторной и домашней работы. Весь материал разбит по определенным занятиям.

Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)292-77-52 факс (017)292-91-37

Регистрационный № БНТУ/ФММП51-60.2012

©БНТУ, 2012

©Лебедева Г.И., Ругалева И.Е., 2012

СОДЕРЖАНИЕ
Занятие 1 ....................................................................................................................	4
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА.............	4
В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ........................................................	4
Занятие 2 ..................................................................................................................	10
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ...................................	10
Занятие 3 ..................................................................................................................	15
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В
ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ..........................................................	15
Занятие 4 ..................................................................................................................	20
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ....................................	20
Занятие 5 ..................................................................................................................	27
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ I РОДА.......................................................	27
Занятие 6 ..................................................................................................................	30
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ II РОДА......................................................	30
Занятие 7 ..................................................................................................................	36
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ I РОДА.......................................................	36
Занятие 8 ..................................................................................................................	41
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ II РОДА......................................................	41

Занятие 1 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Двойным интегралом от непрерывной функции f (x, y) по замкнутой облас-

ти D называется конечный предел интегральной суммы ∑n								f (xi , yi ) Si , когда
							i =1
диаметр разбиения области D							α = max S k стремится к нулю.
Т.е.	lim ∑n		f (xi , yi )	Si = ∫∫ f (x, y )dxdy .
	α→0 i =1				D
Если функция				f (x, y) непрерывна в области D , то двойной интеграл суще-
ствует и единственен.
Он обладает свойствами:
1.		∫∫c f (x, y)dxdy = c ∫∫ f (x, y)dxdy , где c − const.
		D			D
2.		∫∫(f1(x, y)± f2 (x, y))dxdy = ∫∫ f1(x, y)dxdy ± ∫∫ f2 (x, y)dxdy .
		D				D	D
3. Если f (x, y)≤ ϕ(x, y), то ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ ∫∫ϕ(x, y)dxdy .
						D	D
4.		∫∫ f (x, y )dxdy		≤ ∫∫	f (x, y )	dxdy .


		D		D
5.		∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy , где D = D1 + D2 .
		D		D1			D2

Вычисление двойного интеграла осуществляется путем сведения его к повторным интегралам.

Рассмотрим две схемы расстановки пределов интегрирования в повторных интегралах.

Схема А. Пусть область D (рис. 1.1.) является правильной в направлении оси OY , т.е. любая прямая, параллельная оси OY и проходящая внутри отрезка [a, b], пересекает границу области D не более чем в двух точках и по одним

и тем же линиям.	y = ϕ2 (x )
y

y = ϕ1(x )

b x

Рис. 1.1

Тогда

Схема Б.

Область D

∫∫ f (x , y )dxdy	b	ϕ 2	(x	)	(x , y )dy
∫∫ f (x , y )dxdy	= ∫ dx		∫ f		(x , y )dy
D	a	ϕ 1	(x )

(рис. 1.2) является правильной в направлении оси OX .

d	x = ψ2 (y)

x = ψ1(y)	D

Рис. 1.2.

∫∫ f (x , y )dxdy = ∫

ϕ 2 (y )

dy ∫ f (x , y )dx

ϕ 1 (y )

Если область D является неправильной, то ее следует разбить на сумму правильных областей. Тогда двойной интеграл по всей области D по свойству 5 будет равен сумме двойных интегралов по выделенным областям.

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению повторных интегралов: сначала внутреннего, затем – внешнего.

Заметим, что внешний интеграл всегда имеет постоянные пределы интегри-

рования.
Пример 1.1.	Расставить пределы интегрирования в				двойном интеграле
∫∫ f (x , y )dxdy	, где область	D ограничена линиями:			y = 4, y = 2x, x = 0
D
(рис. 1.3.).	y	А
	4	А		В


			D

0	4	x
		x

Рис. 1.3.

Решение. И по схеме A)	и по схеме Б) область является правильной. Сле-
довательно, ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫4		dx ∫4	f (x, y)dy = ∫4	y
довательно, ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫4		dx ∫4	f (x, y)dy = ∫4	dy ∫2	f (x, y)dx.
D	0	2 x	0	0

Пример 1.2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

∫∫ f (x , y )dxdy ,	где	область	D	ограничена	линиями
D
x = 2y − y2 , x2 + y2	=9, y = 0,x ≥0 (рис. 1.4.).

A		E
3		E
3		N
K		N
	D
			B
0	C	3	x
	C	3	x

Рис. 1.4.

Решение. По схеме Б) область будет неправильная. Разобьем ее линией

					9−y2		9−y2
KN на две области. Тогда ∫∫f (x,y)dxdy= ∫2 dy ∫f (x,y)dx +∫3 dy							∫f (x,y)dx
			D	0	2 y−y2	2	0
	По схеме A) область будет также неправильная. Разобьем ее линией EC на
три области: ODC , AEDK			и CBE . Тогда
		1	1− 1−x	1	9 −x 2	3	9−x 2
	∫∫ f (x, y )dxdy = ∫dx		∫ f (x, y )dy + ∫dx		∫ f (x, y )dy + ∫dx		∫ f (x, y )dy.
	D	0	0	0	1+ 1−x	1	0
	Пример 1.3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
∫2	dx 2∫x	f (x , y ).
1	1 x

Решение. Изобразим область интегрирования. Она ограничена линиями: x =1, x = 2, y = 1x , y = 2x. (рис.1.5).

A	D
A		B
		D
1	2	x

			Рис. 1.5.
По рассматриваемой схеме Б)			область является неправильной. Разобьем
область D линией AB на две области: DAB				и ABC . Тогда
4	2 x	2	4	8	4
∫ dx ∫ f (x , y )dy = ∫ dy ∫ f (x , y )dx + ∫ dy ∫ f (x , y )dx .
1	1 x	1 4	1 y	2	y 2
Пример 4. Вычислить ∫∫xy 2 dxdy , где область D ограничена линиями
	D
x 2 + y2 ≤ 4,	x + y − 2 ≥ 0	(рис. 1.6).

Рис. 1.6.

Решение:

				2	4−y 2	2			x	2			4−y 2	1	2		(4 − y2 −(2 − y)2 )=
				2	4−y 2	2				2			4−y 2		2
∫∫xy 2 dxdy = ∫dy					∫	xy 2 dx = ∫ y2dy							=		∫y2dy
∫∫xy 2 dxdy = ∫dy					∫	xy 2 dx = ∫ y2dy			2				=	2	∫y2dy
D				0	2−y	0			2					2	0
D				0	2−y	0							2−y		0
													2−y							2
=	1	2	(4y2	− y4 −4y2 + 4y3 − y4 )dy =			1	2				−2y4 )dy =			1		−	2y	5		1	16	=	8 .
		2						2											5
		∫						∫(4y			3					y4				=
	2	0					2	0							2			5			2	5		5
		0						0												0
																				0

Аудиторная работа

1.1. Вычислить повторные интегралы:

3	3		y		1	1
1.1.1. ∫dx∫				dy	1.1.2. ∫dy ∫ex −y dx
			2
1	2		x		0	0
π 2	π 2				2	1	(x + y)2 dy
1.1.3. ∫dx		∫sin(x − y)dy			1.1.4. ∫dx ∫
0		0			−1	0

1.2. Расставить пределы интегрирования по областям, ограниченным ука-

занными линиями:
1.2.1. ∫∫ f (x, y)dxdy , где D : y =	1	x, x = 0, y = 4.
1.2.1. ∫∫ f (x, y)dxdy , где D : y =	2	x, x = 0, y = 4.
D	2

1.2.2. ∫∫ f (x, y)dxdy ,	где D : y =x, y =4, y =1, y =7 −x.
D
1.2.3. ∫∫ f (x, y)dxdy ,	где D : y = x2 +4x −1, y = x −1.
D

1.3. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

	4	2 x	(x, y)dy		2	4+x
1.3.1. ∫dx		∫ f	(x, y)dy	1.3.2.	∫dx	∫ f (x, y)dy
	0	4x −x	2		−3	−2
		4x −x
	3	4 −y			1	2	2	2
1.3.3.	∫dy	∫ f (x, y )dx		1.3.4.	∫ dy ∫		f (x, y )dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx
	1	y −2			1 2	1 y	1	y

1.4. Вычислить двойной интеграл по областям, ограниченным указанными линиями:

1.4.1. ∫∫(x 2 + y 2 )dxdy ,			где	D : x =1,	x = 4,
D				y = 2,	y = 5.
1.4.2. ∫∫	dxdy	,	где	D : x = 2,	y = 0,
1.4.2. ∫∫	(x + 2y +1)3	,	где	D : x = 2,
D	(x + 2y +1)3			y = x.

				y =	π	,
1.4.3. ∫∫sin(3x + y)dxdy ,	где	x = 0,		y =	2	,
1.4.3. ∫∫sin(3x + y)dxdy ,	где	D :		x =	2
D		y = 0,		x =	π.
					2
1.4.4. ∫∫e2x +y dxdy , где D : y = ex , x = 0, y = 3.
D
1.4.5. ∫∫(x 2 +5xy )dxdy ,		y = −2x,
1.4.5. ∫∫(x 2 +5xy )dxdy ,	где D :		x = 0,
D			y = 4.
			y = 4.

Домашнее задание

1.5. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

1.5.1.	4	3y −3		(x, y )dx
1.5.1.	∫dy	∫	f	(x, y )dx
	1	y −1
	2	5−(x −1)2
1.5.2.	∫dx		∫ f		(x, y)dy
	−1		2+x
	4	−x 4 +4			6	7−x	(x, y )dy
1.5.3.	∫dx		∫	f (x, y )dy + ∫dx		∫ f	(x, y )dy
	0	4 −x		2	4	4 −x 2

1.6. Вычислить двойные интегралы по заданным областям:

1.6.1. ∫∫(x 2 + y)dxdy ,		ABC,		A(1,1),	(Ответ: 60)
	D :
D		B(3, 4), C(5, 2).
		y2 = 4x,			(Ответ: 48)
1.6.2. ∫∫ xydxdy , D :
D		y = x −1.
1.6.3. ∫∫(x 2 +5xy −6)dxdy , D : y = x, y = 0, y = 4 .					(Ответ: 848)
D
1.6.4. ∫∫ (4 − y )dxdy	,	D : y =	x21	, y =1, x = 0.	(Ответ:	68	).

D		4			15

Занятие 2 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Пусть переменные x и y связаны с переменными u и v соотношениями:

x= ϕ(u, v)

y= ψ(u,v),

где ϕ(u, v), ψ(u, v) – непрерывные и дифференцируемые функции, взаимно однозначно отображающие область D плоскости OXY в область D′ плоскости

OUV.

Тогда ∫∫ f ( x , y )dxdy	= ∫∫ (ϕ( u , v ); ψ ( u , v ) )			I	dudv ,
Тогда ∫∫ f ( x , y )dxdy	= ∫∫ (ϕ( u , v ); ψ ( u , v ) )			I	dudv ,
D	D ′
где I– функциональный определитель Якоби (якобиан)
		∂x	∂x
		∂x	∂x
	I =	∂u	∂v
		∂y	∂y
		∂u	∂v

В случае перехода к полярным координатам:

x		= ρ cos ϕ		0 ≤ ρ ≤ +∞
				0 ≤ ρ ≤ +∞
y = ρ sin ϕ ,			где	0 ≤ ϕ ≤ 2π,
	I	= ρ.		0 ≤ ϕ ≤ 2π,
	I	= ρ.
имеем:			∫∫	f ( x , y ) dxdy = ∫∫			f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρ d ρ d ϕ .
			D		D ′
Приведем примеры по рассматриваемой теме.
Пример 2.1. Вычислить ∫∫D					dxdy	,	где область D ограничена линиями
Пример 2.1. Вычислить ∫∫D					(x + y +1)2	,	где область D ограничена линиями

(рис.2.1):

x + y =1, x − y = −1,
x + y = 5 ,	x − y = 4 .	y
		y

1 D

1	4	5	x

-4

Рис.2.1.

Решение. В декартовой системе координат построенная область будет неправильная и по схеме А и по схеме Б.

Введем замену переменных: x + y = u, x − y = v.

Тогда в новой системе координат (OUV) заданная область будет представлена в виде прямоугольника (рис.2.2).

	D
0	5
1	5	u
-1		u
-1		y
		y

Рис.2.2.

Выразим x и y через новые переменные:

x + y = u ,x − y = v .

2x = u + v , x = u + v	,	y = u − x = u − u + v	=	2u − u − v	= u − v .
2		2		2	2

Тогда

∂x	=	1	,	∂x	=	1 ,
∂u		2		∂v		2
∂y	=	1	,	∂y	= −1 .
∂u		2		∂v		2

Функциональный определитель:

	∂x	∂x
	∂x	∂x
I =	∂u	∂v	=
	∂y	∂y
	∂u	∂v

1		1			1		1		1	.
2		2		= −		−		= −
					4		4		2
1	−	1
2			2

∫∫	dxdy					= ∫∫					1						−	1		dudv =			1	∫∫		1		dudv =
∫∫	(x + y +1)2					= ∫∫									2		−	1		dudv =				∫∫			+ 2 2	dudv =
D	(x + y +1)2					D ′ u + v						u −v			2			2					2	D ′ u	+ v + u − v		+ 2 2
										+				+1
							2			+	2			+1												2
							2				2															2
		1			4dudv		5					du		4		5				du			4		2	du	= −10(u + 2)−1		2 =
							5							4		5							4		2
	=		∫∫					= 2∫						∫dv = 2∫								v		=10∫
	=		∫∫		(u + 2)2			= 2∫			+ 2)2			∫dv = 2∫					(u + 2)2			v		=10∫		(u + 2)2
	2		D	′			1		(u					−1		1							−1		1				1
	2			′					(u																				1
						2 = −
	= −		10				10 +		10		=		10	=	5 .
			10						10				10
			u + 2
						1	4			3			12		6
						1	4			3			12		6
Пример 2.2. Вычислить													∫∫ ( x 2		+ y 2 − 1)dxdy						,		где область D ограничена ли-
													D
ниями
x 2 + y2 =1, x 2 + y 2 = 9,											y = x,				y = 3x.

Решение. Заданная область D показана на рис.2.3.

Рис.2.3.

Переходя к полярной системе координат:

	x	= ρ cos	ϕ
		= ρ sin	ϕ ,
	y	= ρ sin	ϕ ,
	I	= ρ.
	I	= ρ.
Получим
			π 3	3	(ρ2 cos2 ϕ+ρ2 sin2	π 3	3	(ρ3 −ρ)dρ =
∫∫(x 2 + y2 −1)dxdy = 2 ∫				dϕ∫	(ρ2 cos2 ϕ+ρ2 sin2	ϕ−1)ρdρ = 2 ∫	dϕ∫	(ρ3 −ρ)dρ =
D			π 4	1		π 4	1

π 3	ρ4	3		ρ2	3	π 3	81			1		9		1		π 3	π		π			π		8π



= 2 ∫dϕ	4		−	2		= 2 ∫			−		−		+		dϕ =32ϕ	=32		−		=32			=		.
= 2 ∫dϕ			−			= 2 ∫		4	−	4	−	2	+	2	dϕ =32ϕ	=32	3	−	4	=32	12		=	3	.
π 4						π 4		4		4		2		2			3		4		12			3
		1			1											π 4

Пример 2.3. Вычислить ∫∫x 2dxdy , где область D ограничена линиями

x 2 + y 2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0 (рис.2.4.).

2 x

Рис.2.4.

Решение. Переходим к полярным координатам:

π 2

ρ4

π 2

∫∫ x 2 dxdy =

∫

dϕ∫ρ2 cos 2 ϕ ρ dρ = ∫

cos 2 ϕ

dϕ = 4

∫ cos 2 ϕ dϕ =

π 2

1 + cos 2ϕ

ϕ +

sin 2

= π.

= 4 ∫

dϕ = 2

= 2

Аудиторная работа

2.1. С помощью надлежащей замены переменных вычислить интегралы:

2.1.1.		dxdy					D
	∫∫D		,	где		область		ограничена			линиями:
	∫∫D	(x + y +1)3	,	где		область		ограничена			линиями:
y =3−x, y =5−x, y =2x, y = 4x.
2.1.2.	∫∫dxdy , где область				D ограничена		линиями:		y =4−x,	y =6−x, x −y =0,
	D
2x − y = 0.
2.1.3.	∫∫(x 2 + y 2 )2 dxdy ,				где	область		D	ограничена		линией
	D
x 2 + y2 = 9, x ≥ 0, y ≥ 0.
2.1.4.	∫∫(x 2 + y 2 + 3)dxdy ,				где	область	D	ограничена		лемнискатой

(x 2 + y 2 )2 =16xy .

Домашнее задание

2.2. С помощью замены переменных вычислить интегралы:

2.2.1. ∫∫

dxdy

, где область D ограничена линиями

( x + y )

− x .

(Ответ:

)

y = 3x,

y =

y = 8 − x,

y = 4

2.2.2. ∫∫(x +y)3dxdy, где область D ограничена линиями: x+y =1, x+y =5,

y =2x,

y = 4x.

(Ответ: 83

)

2.2.3. ∫∫D

dxdy

, где область D ограничена линиями

( x + y ) 4

x +y =2,

x +y =1,

y −3x =0,

y −4x =0.

(Ответ:

)

160

2.2.4.

∫∫ex 2 +y 2 dxdy ,

где

область

ограничена

линиями

x 2 + y2 =1,

x 2 + y2 = 4.

(Ответ: πe(e3 −1) )

2.2.5.

∫∫xydxdy ,

где

область

ограничена

линиями

y =−x, y = 3x, x2 +y2 =4x, x2 +y2 =9x.

(Ответ: 28,73)

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.96 Кб0Краткий курс лекций по учебной дисциплине «Оценка недвижимости». Часть 1.pdf
#
24.11.20252.16 Mб1Краткий курс программирования на алгоритмическом языке Fortran PowerStation.pdf
#
24.11.20251.07 Mб1Краткий курс программирования на языке Pascal ABC для студентов специальности 1-36 01 02 Материаловедение в машиностроении.pdf
#
24.11.20253.15 Mб1Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
24.11.20251.64 Mб1Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.pdf
#
24.11.20251.28 Mб0Кратные интегралы.pdf
#
24.11.20251.53 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.27 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Культура речи и основы педагогической риторики.pdf
#
24.11.20252.23 Mб2Культурология. История мировой культуры.pdf

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

СОДЕРЖАНИЕ