Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

10. y 2 1 x ; x0 2.

Ответ: 2 1 x 14 (1 14 (x 2) 412 (x 2)2 413 (x 2)3 ...) .

11.		y ln(2 x);				x0		1.
Ответ: ln(2 x) ln 3(						1	(x 1)				1		(x 1)2									1		(x 1)3								1	(x 1)4 ...
Ответ: ln(2 x) ln 3(						3	(x 1)				32		(x 1)2									33		(x 1)3									(x 1)4 ...
						3					32											33								34
12.		y cos 2x;		x		.
				0				2
								2
Ответ: cos 2x 1								22	(x			)		2				24		(x					)	4			26		(x			)	6		...
Ответ: cos 2x 1								2!	(x		2	)						4!		(x			2		)				6!		(x		2	)			...
								2!			2							4!					2						6!				2
13.		y 3 3 x; x					2.
				0
	3			13						13 13					1								2				13 13 1 13 2														3
Ответ:		3 x 1			(x 2)														(x		2)									3!										(x 2)		...
Ответ:		3 x 1		1!	(x 2)						2!								(x		2)									3!										(x 2)		...
14.		y 1 ; x		2 .				Ответ:			1 1 (1 1 (x 2)																		1		(x 2)2								1	(x 2)3		...) .
14.		y 1 ; x		2 .				Ответ:			1 1 (1 1 (x 2)																				(x 2)2									(x 2)3		...) .
		x	0								x					2					2								22								23
		x									x					2					2								22								23
15.		y ln(1 x);				x0		1.
Ответ: ln(1 x) ln 2(							1	(x 1)				1					(x 1)2								1			(x 1)3						1				(x 1)4			...) .
Ответ: ln(1 x) ln 2(							2	(x 1)							2		(x 1)2											(x 1)3								4		(x 1)4			...) .
							2				22				2									233									24			4

11.РЯДЫ ФУРЬЕ

Пр и м е р

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) x2 при x .

Р е ш е н и е

Данная функция четная. Все коэффициенты bn 0 , а коэффициенты an вычисляются при l .

	2		2		2	2x		x2		2				4cos n			n	4


an		x		cos nx				cos nx				sin nx				( 1)				, n 0 .
an		x		cos nx			2	cos nx			3	sin nx			2	( 1)			2	, n 0 .
	0						2		n	n	3			n	2			n	2
	0				n				n	n			0	n				n
					n								0

Здесь дважды применена формула интегрирования по частям.

Вычислим

				2			2x	3		2	2
								3			2
	a0				x2dx						.
	a0				x2dx					3	.
			0				3		0	3
Следовательно,			0				3		0
Следовательно,
x2	2	4		cos x		cos2x				cos3x
x2	3	4			12		22			32		... .
	3				12		22			32

З а д а н и е 11

Разложить

ряд

Фурье

периодическую

функцию

f (x) x

при

x ( , ), T 2 .

Ответ:

sin x

sin 2x

sin3x

f (x) 2

... .

Разложить

ряд

Фурье

периодическую

функцию

f (x) x

при

x ( , ), T 2 .

Ответ:

f (x)

sin 2x

sin 3x

sin 4x

2 sin x

... .

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x)

в интервале

(0; 2 ].

Ответ:	f (x)		sin x			sin 2x sin3x ...
		2		1				2		3
4.	Разложить в ряд Фурье функцию периода 2 , заданную формулой
f	1		при				x 0,
f	(x)		при			0 x .
	1		при			0 x .
	f (x)	4	sin x				sin3x		sin5x
Ответ:											... .
Ответ:				1				3		5	... .
				1				3		5
5.	Разложить			в		ряд Фурье					периодическую функцию f (x) x 1
при x ( , ), T 2 .
Ответ:	f (x) 1 2			sin x				sin 2x		sin3x
Ответ:	f (x) 1 2				1			2		3		... .
					1			2		3

Разложить

в ряд

Фурье

периодическую

функцию

f (x) x 1

при x ( ;

T 2 .

Ответ:

f (x) 1 2

sin 2x

sin3x

sin 4x

sin x

... .

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

при

x 0,

Ответ:

f (x)

2sin x

2sin 3x

2sin 5x

...

f (x)

при

x .

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

1 x

при

в интервале [ ; ].

f (x)

при

x ,

Ответ: f (x)			4	sin x			sin3x	sin5x
					1		3	5	... .
									... .

9. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
		x,		если		x 0,
	2	x,		если		x 0,		в интервале [ ; ].

f (x)
		x,		если		0 x ,
	2	x,		если		0 x ,
	2
Ответ: f (x)			4	cos x			cos3x	cos5x
					1		9	25		... .
										... .

10. Разложить в ряд	Фурье	периодическую				функцию
на промежутке 2 x 2 .	Ответ:	f (x) 1	8	sin x			sin 2 x
					2		4

f (x) 2x 1

sin3 x ... . 6

									2,		если	3 x 0,
11. Разложить в ряд Фурье функцию f (x)											если	0 x 3.
									3 x,
Ответ: f (x)	1	6	cos	x	7 sin	x	6	cos	3 x	7	sin 3 x	...
	4	2				3	9 2		3	3
				3							3

12. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) x 2 при 0 x 2.

Ответ:	f (x)	4	sin x		sin 2 x
				2	4

sin 3 x ... . 6

13. Разложить		в		ряд	Фурье	периодическую функцию f ( x ) x
при 0 x 3 .
Ответ: f (x)	3	12	cos x		cos3x	cos5x
	2			3	27	75	... .

14. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f ( x) 2x в интервале

(0, 2 ] .

Ответ:	f (x)		sin x	sin 2x	sin3x	...
		2	1	2	3

15. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2 , заданную формулой

1	при			x 0,
f (x)	при			0 x .
1
Ответ: f (x)		4	sin x		sin3x	sin5x
				1	3	5

... .

ЛИТЕРАТУРА

1.Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа / Л. Д. Кудряв-

цев. – М.: Наука, 1989.

2.Демидович, Б. П. Сборник задач по математическому анализу/ Б. П. Демидович. – М.: Наука, 1990.

3.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа: в 2 т./ под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. –

М.: Наука, 1981. – Т.1.

4.Герасимович, А.И. Математический анализ: в 2 ч./ А. И. Герасимович, Н. А. Рысюк. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1.

5.Математический анализ в вопросах и задача/ под ред. В. Ф. Бутузова. – М.: Физматлит, 2001.

6.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – Минск: Вышэйшая школа, 1986. – Ч. 1.

7.	Сухая, Т.А. Задачи по	высшей математике: в	2	ч./	Т. А. Сухая,
В. Ф. Бубнов. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. – Ч. 2.
8.	Индивидуальные задания	по высшей математике:	в	4	ч./ под ред.
А. П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2008. – Ч. 1.

	СОДЕРЖАНИЕ
1.	Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.................	3
	Задание 1 ..................................................................................................................	3
2.	Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат................	4
	Задание 2 ..................................................................................................................	5
3.	Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат...................	6
	Задание 3 ..................................................................................................................	7
4.	Вычисление тройных интегралов в цилиндрической
системе координат.......................................................................................................		8
	Задание 4 ..................................................................................................................	9
5.	Вычисление тройных интегралов в сферических координатах.......................	10
	Задание 5 ................................................................................................................	11
6.	Приложения кратных интегралов........................................................................	12
	Задание 6.1 .............................................................................................................	12
	Задание 6.2 .............................................................................................................	13
	Задание 6.3 .............................................................................................................	13
7.	Достаточные признаки сходимости числовых рядов........................................	13
	Задание 7.1 .............................................................................................................	14
	Задание 7.2 .............................................................................................................	15
	Задание 7.3 .............................................................................................................	17
	Задание 7.4 .............................................................................................................	18
	Задание 7.5 .............................................................................................................	18
8.	Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.........................	20
	Задание 8 ................................................................................................................	22
9.	Степенные ряды. Область сходимости...............................................................	24
	Задание 9 ................................................................................................................	25
10. Разложение функций в степенные ряды...........................................................		27
	Задание 10.1 ...........................................................................................................	28
	Задание 10.2 ...........................................................................................................	30
11. Ряды Фурье...........................................................................................................		31
	Задание 11 ..............................................................................................................	32
Литература .................................................................................................................		35

Учебное издание

ЛОШКАРЕВА Светлана Юрьевна САВЧЕНКО Ольга Борисовна БАНЬ Лариса Владимировна

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ

Учебно-методическое пособие для студентов инженерно-технических

и профессионально-технических специальностей

Редактор Т. Н. Микулик

Компьютерная верстка Ю. С. Кругловой

Подписано в печать 24.06.2016. Формат 60 84 1/8. Бумага офсетная. Ризография.

Усл. печ. л. 4,18. Уч.-изд. л. 1,64. Тираж 100. Заказ 608.

Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.66 Mб2Краткий курс грамматики испанского языка.pdf
#
24.11.2025796.96 Кб2Краткий курс лекций по учебной дисциплине «Оценка недвижимости». Часть 1.pdf
#
24.11.20252.16 Mб1Краткий курс программирования на алгоритмическом языке Fortran PowerStation.pdf
#
24.11.20251.07 Mб1Краткий курс программирования на языке Pascal ABC для студентов специальности 1-36 01 02 Материаловедение в машиностроении.pdf
#
24.11.20253.15 Mб1Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
24.11.20251.64 Mб1Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.pdf
#
24.11.20251.28 Mб0Кратные интегралы.pdf
#
24.11.20251.53 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.27 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Культура речи и основы педагогической риторики.pdf