Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

К этому ряду применим предельный признак сравнения. Сравним ряд

an с рядом

, где

n 1

n3 n2

Ряд

сходится. Так как

n 1

lim

( 0, ) ,

то и ряд

сходится.

n 1

Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

П р и м е р 8.2

( 1)n

Исследовать на сходимость ряд

n 1

Р е ш е н и е

Рассмотрим ряд, состоящий из модулей

К этому ряду применим предельный признак сравнения. Сравним ряд

an с рядом

, где

n 1

1 .

Ряд

расходится. Так как

n 1

( 0, ) ,

lim

n bn

n n2 1

то и ряд

расходится.

n 1

Проверим выполнение признака Лейбница:

lim a	n	lim	n	0 .

n		n n2 1

Признак Лейбница выполняется, следовательно, исходный ряд сходится условно.

П р и м е р 8.3

	n	7n 3	n
Исследовать на сходимость ряд ( 1)		5n 2	.
n 1		5n 2

Р е ш е н и е
Рассмотрим ряд, состоящий из модулей a	7n 3	n	. К этому ряду
n	5n 2
	5n 2

применим радикальный признак Коши:
l lim	n a	lim	n	7n 3	n	lim 7n 3	7 .
n	n	n		5n 2		n 5n 2	5
n		n		5n 2		n 5n 2	5

Так как l 75 1, то данный ряд по признаку Коши расходится.

Проверим выполнение признака Лейбница:

lim a

lim

7n 3

lim

7n n

lim

5n 2

Так как nlim an 0 , то исходный ряд расходится.

З а д а н и е 8

Исследовать на сходимость знакопеременные ряды.

n n3

1.( 1) n3 1 . Ответ: расходится.n 1

( 1)

2n 1

Ответ: сходится абсолютно.

n 1

( 1)

. Ответ: расходится.

n10

n 1

( 1)

Ответ: сходится абсолютно.

sin

n 1

( 1)n

Ответ: сходится условно.

3 n

n 1

( 1)

Ответ: сходится абсолютно.

n 2 n ln2 n

( 1)

1 ln n

Ответ: сходится условно.

n 1

( 1)n

. Ответ: расходится.

3n 2

n 1

( 1)n

Ответ: сходится условно.

n 1

2n 4 n

n 1

. Ответ: сходится абсолютно.

10. ( 1)

3n 1

n 1

11. ( 1)

Ответ: сходится абсолютно.

10n

n 1

n2 2

12. ( 1)n

Ответ: сходится условно.

n 1

13. ( 1)

Ответ: сходится абсолютно.

n 1

5n 7

n n3 1

14. ( 1)

Ответ: сходится абсолютно.

n 1

n n3

Ответ: сходится абсолютно.

15. ( 1)

n 1

n 5n

16.( 1) n! . Ответ: сходится абсолютно.n 1

	n	1 n
17. ( 1)	arctg		. Ответ: сходится абсолютно.
n 1		n

				( 1)		n
18.				( 1)					.				Ответ: сходится абсолютно.
18.									.				Ответ: сходится абсолютно.
	n 2 nln7 n
19.		( 1)			n 2n 1									.		Ответ: сходится абсолютно.
19.		( 1)							2n					.		Ответ: сходится абсолютно.
	n 1								2n
					n		en
20.		( 1)									.			Ответ: расходится.
20.		( 1)							n		.			Ответ: расходится.
	n 1								n
		( 1)n								6n
21.															.		Ответ: сходится абсолютно.
21.							(n						1)!		.		Ответ: сходится абсолютно.
	n 1						(n						1)!				n
					n												n
22.		( 1)				tg											. Ответ: сходится абсолютно.
22.		( 1)				tg					2n						. Ответ: сходится абсолютно.
	n 1										2n					1
				( 1)			n
23.				( 1)						.			Ответ: сходится условно.
23.										.			Ответ: сходится условно.
	n 2 n3 ln n
				( 1)n
24.											.		Ответ: сходится условно.
24.				7n 3							.		Ответ: сходится условно.
	n 1			7n 3
				( 1)		n
25.				( 1)						.			Ответ: сходится абсолютно.
25.			4n2							.			Ответ: сходится абсолютно.
	n 1		4n2					1
				( 1)n
26.												. Ответ: сходится условно.
26.				4n2								. Ответ: сходится условно.
	n 1			4n2				1

27.		1 n n 1 n2
27.			10n					n		. Ответ: сходится абсолютно.
	n 1		10n					n		n
28.		( 1)		n		3n 2				n
28.		( 1)				2n 3				. Ответ: расходится.
	n 1					2n 3
			( 1)		n
29.			( 1)				.		Ответ: сходится условно.
29.							.		Ответ: сходится условно.
	n 3 n4 ln3 n
			( 1)		n
30.			( 1)					.	Ответ: сходится условно.
30.			3 n 10					.	Ответ: сходится условно.
	n 1		3 n 10

9.СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ

Пр и м е р

(x 1)n

Найти область сходимости ряда .

n 1 n

Р е ш е н и е

Имеем a 1

;

. Радиус сходимости

n 1

R lim

lim

n 1 1.

an 1

Следовательно,

ряд сходится при

1 x 1 1; т. е. 2 x 0 .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При x 0 имеем числовой ряд

	(0 1)n	1	.
	n		.
n 1	n	n 1 n

Этот ряд расходится (гармонический ряд). При x 2 имеем числовой ряд

	( 2 1)n		( 1)n	,
	n		n	,
n 1	n	n 1	n

который сходится условно.

Следовательно, область сходимости исходного ряда – интервал 2;0 .

З а д а н и е 9

Найти область сходимости степенных рядов.

1.		n 1 n							1;1 .
1.			n			xn . Ответ:			1;1 .
	n 1		n
2.		(x 2)n					Ответ: ( 1; 5) .
2.			3n			.	Ответ: ( 1; 5) .
	n 1		3n
			xn
3.			xn		.		Ответ: 1;1 .
3.					.		Ответ: 1;1 .
	n 1	5n3 1
4.		2n xn						1	;	1
4.		3n		5		. Ответ:		2	;	2	.
	n 1	3n		5				2		2
		(x 3)n

5.	n 1 n		2n 1				. Ответ: 4; 2					.
	n 1 n		2n 1

n 1

(x 1)n				. Ответ: 3;1 .

2n (n3 1)

xn		. Ответ: 1;1 .

3 n

( 1)n xn			.	Ответ: ( ; ) .
	n!

. Ответ: 4; 2 .

n 1 3n

10.

( 1)

. Ответ: 6; 4 .

n 1

5n (3n 2)

11.

Ответ: 2; 2

n 1

3n 2

12.

(x 5)n

. Ответ: ( 10; 0) .

n 1

13.

( 1)

. Ответ: 1; 3 .

n 1

Ответ: 4; 4 .

14.

n 1 n 4n

15.

Ответ: 0 .

( 1)n 3n xn .

16.(x 3)n . Ответ: 6; 0 .

n1 3n n3

17.		(x 4)			n		.	Ответ: 3; 5 .
17.		(x 4)					.	Ответ: 3; 5 .
	n 1	(n 1)2
	n 1	(n 1)2
18.		( 1)n xn					.	Ответ: ( 3; 3) .
18.		3n					.	Ответ: ( 3; 3) .
	n 1	3n
		5n				(x 1)n . Ответ: 2; 0			.
19.		5n
19.
	n 1	2n2 1
	n 1	2n2 1
		n	3	(x 2)n . Ответ: 1; 3 .
20.		n
20.
	n 1 n4		1
	n 1 n4		1
21.		( 1)n xn					.	Ответ: ( 1; 1 .
21.		2n			1		.	Ответ: ( 1; 1 .
	n 1	2n			1

22.

n 1

23.

n 1

24.

n 1

25.

n 1

26.

n 1

27.

n 1

28.

n 1

29.

n 1

30.

n 1

2nn 3 (x 1)n . Ответ: 1; 3 . 2

n22 3 xn . Ответ: 1;1 . 2n 5

n2 (n2 1) xn . Ответ: ( 3; 3) . 3n

( 1)n (x 3)n . Ответ: ( 5; 1 . 2n 3 n

n(n 2) (x 1)n . Ответ: ( 2; 0) . n2 4

(x n4)n . Ответ: (0; 8) . 4

( 1)n 7n xn . Ответ: ( ; ) . n!

n!(x 3)n . Ответ: 3 .

xn . (Ответ: 1;1 ). n3

10.РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Пр и м е р 10.1

Разложить в ряд Маклорена функцию e x2 . Воспользуемся формулой

eu 1 u

...

Подставив u x2 , получим

e x2

( x2 )

( x2 )2

( x2 )3

( x2 )4

...

П р и м е р 10.2

Разложить функцию y 3 1 x в степенной ряд по степеням (x 1) .

Р е ш е н и е

Обозначим z x 1, тогда x z 1:

				y				1					1											1				1			1			.
				y		3 x						3 (z 1)										2 z						1		1 z				.
						3 x						3 (z 1)										2 z						2		1 z		2
																																2
Воспользуемся формулой
								1	1 u u2									u3					... un ... ,
			z		1 u				1 u u2									u3					... un ... ,
					1 u
подставив u				, получим
подставив u				, получим
		2																					2				z 3
				y				1				1					z		z				2				z 3
													(1																	...) ;
							2 z					2	(1			2					2							2		...) ;
							2 z					2				2					2							2
				y	1			(1		1 z				1		z2					1			z3				1	z4		...) .
				y	2			(1		1 z						z2				23				z3					z4		...) .
					2						2		22							23						24
Окончательно, подставив z x 1, получим
y		1		1 (1	1			(x 1)					1		(x 1)2										1		(x 1)3						1		(x 1)4	...) .
y	3	x		1 (1	2			(x 1)					22		(x 1)2												(x 1)3					24			(x 1)4	...) .
	3	x		2	2								22											23								24

За д а н и е 10.1

Вфункции ряд Маклорена разложить.

y sin3x .

Ответ: sin3x 3x

37 x7 ...

y ex 2 .

Ответ: ex 2

x4 ...

23 3!

24 4!

2 1!

22 2!

y cos(x

) . Ответ: cos(x

) 1

...

sin x

Ответ:

sin x

...

5.	y ln(1 x3 ) .												Ответ: ln(1 x3 ) x3																									x6								x9							x12					...
5.	y ln(1 x3 ) .												Ответ: ln(1 x3 ) x3																																													...
																																					2								3				4
6.	y 3 8 x2 .
Ответ:	3 8 x2					2(1							13			x2					13 13 1										x4						13 13 1 13 2																								x6	...).
Ответ:	3 8 x2					2(1						1!8				x2															x4														3!83																x6	...).
												1!8											2!82																						3!83
7.	y 2x .					Ответ:								2x 1 ln 2 x																ln 2				2				x2							ln 2 3										x3					ln 2 4						x4...
																						1!										2!																	3!											4!
8.	y				1			.
8.	y			1 x2				.
Ответ:			1				1					1		2	x2				1				2	1					2		1				x4							1					2							1		2		1				1		2	2		x6 ...
Ответ:		1 x			2		1			1!					x2								2		2!				2						x4												2									2	3!							2			x6 ...
					2					1!															2!																																3!

9.	y ln(2 x) .
Ответ: ln(2 x) ln 2( 1 x																				1					x2							1			x3										1						x4			...
Ответ: ln(2 x) ln 2( 1 x																			22			2			x2										x3																x4			...
														2					22			2								23 3													24 4
10.		y			1 x .
Ответ:		1 x 1							12		x					12 12 1										x2					12 12 1 12 2																								x3				...
Ответ:		1 x 1						1!			x															x2																													x3				...
								1!											2!																				3!
11.		y			1		.			Ответ:									1							1 (1					1 x						1				x2									1		x3 ... ).
11.		y		3	x		.			Ответ:							3 x									1 (1					1 x						32				x2								33			x3 ... ).
				3	x												3 x								3						3						32												33
					1															1							1						2						2						2										2				3
12.		y						.		Ответ:																			(1						x														x2												x3	...).
12.		y		5	2x			.		Ответ:								5 2x									5		(1				5		x							5							x2								5				x3	...).
				5	2x													5 2x									5						5									5															5
13.		y 3 x .					Ответ:									3 x 1								ln3				x				(ln3)2								x2								(ln3)3									x3 ...
13.		y 3 x .					Ответ:									3 x 1									1!			x						2!						x2									3!								x3 ...
14.		y cos2x .								Ответ:							cos 2x 1 22																x	2 24 x4 26																					x6				...
																													2!										4!										6!
15.		y sin				x	.		Ответ: sin											x				1 x								1				x3									1							x5								1			x7			...
15.		y sin					.		Ответ: sin															1 x												x3								25					5!			x5											x7			...
						2														2 2										23 3!														25					5!										27 7!

																												З а д а н и е 10.2
Разложить функции в степенной ряд по степеням x x0 .
1.	y e x ;								x				1.
										0				1										1														1
Ответ:	e x e x (1													1			(x				1)			1		(x 1)2												1			(x 1)3											...) .
Ответ:	e x e x (1													1!			(x				1)			2!		(x 1)2															(x 1)3											...) .
				1										1!										2!														3!
2.	y			1				;			x				2 .
2.	y							;			x				2 .
			4 x									0
			4 x
Ответ:	1				1 (1									1			(x				2)				1			(x 2)2												1				(x 2)3 ...) .
Ответ:	4 x				1 (1									2			(x				2)			22				(x 2)2											23					(x 2)3 ...) .
	4 x				2									2										22															23
3.	y sin x;									x			.
										0							2
										1							2					1															1
	sin x 1									1		(x										1		(x										2			1		(x											3		...
Ответ:																				)												)															)
Ответ:									2!										2	)		4!							2			)					6!								2		)
									2!										2			4!							2								6!								2
4.	y cos3x; x															.
												0						6
																		6			33															35
Ответ:	cos3x 3(x																		)		33		(x							)	3					35		(x								)		5			...
Ответ:	cos3x 3(x																6		)		3!		(x					6		)						5!		(x							6	)					...
																	6				3!							6								5!									6
5.	y			x;				x0 4 .															12 12 1																							12 12 1 12									2
Ответ:	x			2(1						12						(x 4)							12 12 1												(x				4)			2				12 12 1 12									2	(x 4)	3	...).
Ответ:	x			2(1							1! 4					(x 4)									2! 42										(x				4)															3! 43		(x 4)		...).
6.	y			1				;			x			1.
6.	y							;			x			1.
			3 x							0
			3 x
Ответ:	1				1			(1						1			(x 1)							1			(x						1)2						1				(x 1)3										...) .
Ответ:	3 x				4			(1						4			(x 1)										(x						1)2					43					(x 1)3										...) .
	3 x				4									4									42															43
7.	y 3x ;				x						2 .
								0
Ответ:	3x 9(1 ln 3 (x 2) ln3 2																													(x 2)2													ln 3 3 (x 2)3 ...) .
					x					1!														2!																					3!
8.	y sin				x	;					x			.
8.	y sin					;					x			.
					2					0
		x			2							1																		1																						1
Ответ: sin		x		1								1						(x )2												1						(x )4																1		(x )6	...
Ответ: sin				1							22 2!							(x )2										24					4!			(x )4																		(x )6	...
		2									22 2!																	24					4!																26 6!
9.	y			1			;				x			2 .
9.	y						;				x			2 .
		1 x								0
		1 x
Ответ:	1				1		(1						1			(x 2)								1			(x						2)2						1				(x 2)3										...) .
Ответ:	1 x				3		(1						3			(x 2)							32				(x						2)2										(x 2)3										...) .
	1 x				3								3										32															33

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.66 Mб0Краткий курс грамматики испанского языка.pdf
#
24.11.2025796.96 Кб0Краткий курс лекций по учебной дисциплине «Оценка недвижимости». Часть 1.pdf
#
24.11.20252.16 Mб1Краткий курс программирования на алгоритмическом языке Fortran PowerStation.pdf
#
24.11.20251.07 Mб0Краткий курс программирования на языке Pascal ABC для студентов специальности 1-36 01 02 Материаловедение в машиностроении.pdf
#
24.11.20253.15 Mб1Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
24.11.20251.64 Mб1Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.pdf
#
24.11.20251.28 Mб0Кратные интегралы.pdf
#
24.11.20251.53 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.27 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Культура речи и основы педагогической риторики.pdf