Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье

1.

(x2 y2 z2 )dxdydz ,

где тело V ограничено сферическими поверх-

V

x2 y2 z2

1; x2

y2 z2 4

ностями

и

удовлетворяет

условию

z 0 .

Ответ:

62

.

5

2.

zdxdydz ,

где

тело

V

ограничено

сферической

поверхностью

V

Ответ: 81 .

x2 y2 z2

9

и удовлетворяет условию z 0 .

dxdydz

4

3.

, где V – часть шара x2 y2

z2 1, удовлетворяющая

x2 y2

z2

V

условиям

x 0; y 0; z 0 .

Ответ:

.

4

4.

x2 y2 z2 dxdydz ,

где

тело

V

ограничено

сферическими

V

x2 y2

z2

4; x2

y2

z2

поверхностями

16

и

удовлетворяет условиям

x 0; y 0; z 0 .

Ответ: 60 .

5.

z

x2 y2 z2 dxdydz ,

где

V

–

верхнее

полушарие,

ограниченное

V

z2 1 и удовлетворяющее условию z 0 . Ответ: .

поверхностью x2 y2

5

6.

dxdydz

,

где

V

–

часть

шара,

ограниченная

сферической

x2 y2 z2

V

поверхностью x2 y2

z2 4 и удовлетворяющая условиям

x 0; y 0; z 0 .

Ответ: .

7.

ydxdydz ,

где

V –

часть

шара

x2 y2

z2 1, лежащая в

первом

V

1

октанте.

Ответ:

.

16

8.

z

dxdydz , где V – верхняя часть шара

x2 y2 z2 9 ,

x2 y2

z2

V

удовлетворяющая условию z 0 .

Ответ:

9 .

9.

z2dxdydz ,

где

тело

V

ограничено

сферическими

поверхностями

V

x2 y2 z2 1; x2

y2

z2

9

и удовлетворяет условиям

x 0; y 0; z 0 .

Ответ:

121 .

15

10. xdxdydz , где тело V – часть шара x2

y2 z2 4 , лежащая в первом

V

1.

V : x 0;

y 0;

z 0;

y 3 x; z 9 x2.

Ответ: 33,75.

2.

V : y 0;

z 0;

y 2x; x y 9; z x2.

Ответ: 81 .

z y2.

4

3.

V : y 0;

z 0;

x 3;

y 2x;

Ответ: 54.

4.

V : y 0;

z 0;

x2 y2 9; z 2 y.

Ответ: 36.

5.

V : x 0;

y 0;

z 0;

x y 2; z x2

y

2. Ответ:

8 .

3

З а д а н и е 6.3

Вычислить заряд плоской пластины D, если плотность заряда в каждой

точке задана функцией q q(x, y) .

1.

D : y 0;

x 2 y 2 0; x y 1;

q x2 . Ответ:

7

.

12

2.

D : y x2 ; y 2;

q 2 y .

Ответ:

32

2

.

15

q x2 .

3.

D : y 0;

y 2x;

x y 6;

Ответ: 104.

4.

D : y x2 1; y 0;

3x2 2 y2

1.

Ответ: 137 .

35

a

n5

;

a

(n 1)5

.

n

2n

n 1

2n 1

Применим признак Даламбера, находим

l lim

a

n 1

lim

(n 1)5

:

n5

lim

(n 1)5 2n

lim

1

n 1

5

2n 1

2n

2n 1 n5

n

n

an

n

n

n 2

lim

(n 1)5

1

lim

1

5

1

.

2n5

1

n

2

n

2 n

Так как l

1

1, то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

2

n!

1.

. Ответ: расходится.

5n

n 1

2.

3n

. Ответ: расходится.

n 1 n2

1

3.

. Ответ: сходится.

n 1 n!

2n

4.

. Ответ: расходится.

10

n 1 n

5.

10n

. Ответ: сходится.

n!

n 1

6.

32n 1

3n

1 . Ответ: расходится.

n 1

2

7.

3n 1

. Ответ: сходится.

n!

n 1

5n

8.

. Ответ: расходится.

2n 3

n 1

1

9.

. Ответ: сходится.

n 1 n 2n

n2

10.

. Ответ: сходится.

(n 1)!

n 1

П р и м е р 7.2

2n

По признаку Коши исследовать сходимость ряда .

l lim

n a

lim

n

2n

lim

2

0 .

n

n

n

nn

n n

n

n

1.

. Ответ: сходится.

2n 1

n 1

1

1

n2

2.

1

. Ответ: расходится.

2n

n

n 1

1

n

n2

3.

. Ответ: сходится.

n 1 3n n

1

1

4.

. Ответ: сходится.

(ln n)n

n 1

5.

5n 1

n

2n 1

. Ответ: расходится.

n 1

n 2

n

7.

3n

. Ответ: сходится.

n 1

2n

8.

. Ответ: сходится.

n 1 (n 3)n

n2

1

2

9.

. Ответ: сходится.

2

n 1 3n

n 1

2n

10.

. Ответ: сходится.

n2

n 1

3

1

n

П р и м е р 7.3

Исследовать по предельному признаку сходимость ряда

2n

.

n 1

n2

1

Р е ш е н и е

a

n

2n

.

n2 1

Применим

предельный

признак

сравнения.

Возьмем

ряд bn , где

n 1

n

1

1

1

b

. Так как

, то ряд

b

расходится.

n2

n

n

n

n1

n 1

n

Докажем применимость предельного признака сравнения:

a

2n

1

2n2

1

k lim

n

lim

:

lim

2lim

2.

1

n bn

n n2 1

n

n n2 1

n

1

n2

Так как k = 2

(k 0, k ) , то предельный признак сравнения применим.

Ряды

an

и

bn

сходятся и

расходятся одновременно, следовательно,

n 1

n 1

1

1.

. Ответ: сходится.

n 1 nn

1

2.

. Ответ: сходится.

3 2n

n 1

1

3.

. Ответ: сходится.

n 0 (n 1)3n

4.

sin(n n)

. Ответ: расходится.

n

n 1

1

5.

. Ответ: расходится.

n 2 ln n

n

6.

. Ответ: сходится.

3 n3

n 1

7.

2n 1

. Ответ: расходится.

n2

n 0

2

2n

8.

. Ответ: сходится.

3

n 1 n4

5

9.

. Ответ: расходится.

2n

3

n 1

4 2n

10.

3n

. Ответ: сходится.

n 1

Рассмотрим функцию f (x)

ln x

. Найдем несобственный интеграл:

x

1

2

2

I

ln x

dx lim

ln 2

x

ln

ln1

.

x

ln xd(ln x)

2

2

1

1

1

1

1.

. Ответ: сходится.

n 1 n2

1

2.

. Ответ: расходится.

4n 1

n 0

1

3.

. Ответ: сходится.

1

n 1 n2

1

4.

. Ответ: сходится.

n 2 nln3 n

1

5.

. Ответ: сходится.

n

n 1 n

n2

6.

. Ответ: расходится.

2

n 1 n3

1

7.

. Ответ: расходится.

n 1 (n 2)ln3

(n 2)

n

8.

. Ответ: сходится.

n 1 en2