Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

С. Ю. Лошкарева О. Б. Савченко Л. В. Бань

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ

Учебно-методическое пособие для студентов инженерно-технических

и профессионально-технических специальностей

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию

вобласти энергетики, энергетического оборудования, вакуумной

икомпрессорной техники

Минск

БНТУ

2016

УДК [517.37 + 517.518.45](075.8) ББК 22.161.1я7

Л 81

Рецензенты:

Г. М. Заяц, О. Р. Габасова

Лошкарева, С. Ю.

Л81 Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье: учебно-методическое пособие для студентов инженерно-технических и экономических специальностей / С. Ю. Лошкарева, О. Б. Савченко, Л. В. Бань. – Минск: БНТУ, 2016. – 36 с.

ISBN 978-985-550-550-2.

Настоящее издание включает в себя задания и примеры решения типовых задач по темам «Кратные интегралы», «Ряды», «Ряды Фурье».

Содержится список рекомендуемой литературы.

Задания и методические указания предназначены для студентов 2-го курса инже- нерно-педагогического факультета БНТУ, а также могут быть полезны преподавателям, ведущим практические занятия по данному курсу.

	УДК [517.37 + 517.518.45] (075.8)
	ББК 22.161.1я7
ISBN 978-985-550-550-2	© Лошкарева, С. Ю.,
	Савченко О. Б., Бань Л. В., 2016
	© Белорусский национальный
	технический университет, 2016

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

П р и м е р

Вычислить интеграл (x y)dxdy , если область D ограничена линиями

x 0, y 0, 3x y 3 0 .

Р е ш е н и е

Изобразим область D на чертеже и перейдем к повторному интегралу, взяв в качестве внешней переменной переменную х:

	У							0	3x 3
	У		(x y)dxdy dx											(x y)dy
			(x y)dxdy dx											(x y)dy
			D					1		0
			0			3x 3				y	2		3x 3
			0								2		3x 3
			dx	xy

						0
			1							2

	3												0
													0

			0							(3x 3)2
			dx x(3x 3)											2
	D		1											2
	D		1
0	-1	0	X
0	-1	0	0	15			2					9
			0	15	x		2	12x				9
				2	x			12x				2		dx
			1	2								2

15 x3		x2	9		0	5			9

	12			x				6		1.
2 3		2	2				2		2

					1

З а д а н и е 1

Вычислить двойные интегралы в декартовой системе координат (область D ограничена указанными линиями).

1. x y dxdy ;			D : y 0;	x 3; 3y 2x 0 .	Ответ: 4.
	D
2.	2x y dxdy ;		D : x 0;	y 2; x y 0.	Ответ:	32 .
	D					3
	D
3.	xydxdy ;	D : x 2; y x; y 2x . Ответ: 6.
	D

ydxdy ;

D : x 0;

y 1; y x .

Ответ:

1 .

5. x2 1 dxdy ; D : x 1;

x 1;

y 1; y x 1.

Ответ: 16 .

xdxdy ;

D : x 0;

y x;

y 2 x .

Ответ:

2 .

x y dxdy ; D : x 1;

y x 1;

y 2

x .

Ответ:

9 .

xdxdy ; D : y 0; y 1 x2 ; x 0 . Ответ:

x 1 dxdy ; D : y 4 x2 ; y x2

4 .

Ответ:

64 .

10. dxdy ;

D : y 0;

y 9 x2 .

Ответ: 18.

3 x

11. dxdy ;

D : x 1;

y 2; y ln x .

Ответ: e2

3 .

12. ydxdy ;

D : x 0; x

;

y sin x; y cos x .

Ответ: 1 .

13. y x dxdy ; D

: y x;

; y 2 .

Ответ: –4.

14. 2x 3y dxdy ;

D : y x;

y x2 ; x 0;

y 0 .

Ответ:

29 .

15. 2x 5y dxdy ;

D : x2 1 y;

x y 1.

Ответ: 42.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

П р и м е р

Вычислить интеграл

zdxdydz ,

если тело V ограничено поверхностями x 0, y 0, z 0, x y z 2 0 .

			Р е ш е н и е
Для данного тела 0 z 2 x y ,				0 y 2 x,			0 x 2				, поэтому
	2	2 x	2 x y	2	2 x			z	2	2 x y

zdxdydz = dx		dy		zdz dx		dy

V	0	0	0	0	0			2
										0

					1			2	2 x				1		2 2 x
					1			dx		(2 x y)2 dy			1		dx				((2 x) y)2dy
						2		0		0			2		0				0
1	2 2 x													1		2									y3	2 x
1	2 2 x													1		2									y3	2 x
	dx		((2 x)2						2(2 x) y y2 )dy								dx (2 x)2 y (2 x) y2
2	dx		((2 x)2						2(2 x) y y2 )dy					2			dx (2 x)2 y (2 x) y2								3
2														2											3
	0	0														0										0
	0	0														0										0
			=		1		2			(2 x)3		(2 x)3		(2 x)3						=	1 2	(2 x)3
			=				dx			(2 x)3		(2 x)3								=			dx
					2 0											3					2 0	3
					2 0											3					2 0	3
						1			(2 x)4		2	1(2 x)4						2	1	04 24			16	2 .



	Ответ:		2 .	2			3			4	0	24						0	24				24	3
				2			3			4		24						0	24				24	3


			3

З а д а н и е 2

Вычислить тройные интегралы, если тело V ограничено указанными поверхностями.

1.	xdxdydz ;		V : x 0;	y 0; z 0; y 3 x; z 9 x2 .			Ответ: 21,35.
	V			x y2 ; x 2 y2	1; z 1 x2 . Ответ: 0.
2.	xdxdydz ;		V : z 0;	x y2 ; x 2 y2	1; z 1 x2 . Ответ: 0.
	V						4 .
3.	xdxdydz ;		V : x 0;	z 0; z y2 ; x y 2 .		Ответ:	4 .
	V						3
	V					x . Ответ: 47 .
4.		xdxdydz ; V : z 0; z 4 x; x			y; y	x . Ответ: 47 .
	V						63
	V					z x2 .
5.	(x 2)dxdydz ; V : y 0; z 0; x 4; y 2x;					z x2 .	Ответ: 665,6.
	V
6.	2dxdydz ;		V : x 0;	y 0; z 0; y2	2 x; z 3x .		Ответ: 128 2 .
	V						10
	V

7. (x y)dxdydz ; V : x 0;

y 0; z 0; x y 2; z 2 x y . Ответ: 4 .

8. dxdydz ; V : x 0; y 0; z 0; x y 3; z 5 x y .

Ответ: 58,5.

9. ydxdydz ;

V : y 0;

z 0; x y 2; z x2 .

Ответ:

56 .

10.

zdxdydz ;

V : z 0;

z 2; x 0; y 2x; y 2 x .

Ответ:

11.

dxdydz ;

V : z 0; z 1 y; y x; y x;

y 1.

Ответ:

64 .

12.

xdxdydz ;

V : x 0;

y 0; z 0; x y 4; z 4 y .

Ответ:

13.

x2dxdydz ;

V : x 0; y 0; z 0; x y 1; x y z 1. Ответ:

1 .

14.

ydxdydz ;

V : x 0;

1 x; z 0; z 2.

Ответ:

13 .

15.

dxdydz ;

V : x 0;

y 0;

z 0; y x; 2x y 2; 4z y2 .

Ответ:

3.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ВПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

П р и м е р

Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл

	x2 y2 dxdy ,
D

если область D задана условиями x2 y2 4; y 0.

Р е ш е н и е

Область D – верхняя половина круга радиуса 2.

При переходе к полярным координатам угол будет изменяться от 0 до π, а расстояние r – от 0 до 2.

-2

Выразим подынтегральную функцию через r и :

		x2 y2		(r cos )2		(r sin )2
			r2 (cos2 sin2 ) r.
Тогда										2
			2		2				3		8		8
			2		2				3
	x2	y2 dxdy d 2 r rdr d r2dr d					r					d		π.
	x2	y2 dxdy d 2 r rdr d r2dr d									3	d	3	π.
D		0	0	0	0	0		3		0	3	0	3
D	8	0	0	0	0	0		3		0		0
Ответ:	8	π.
	3

З а д а н и е 3

Вычислить двойные интегралы.

xdxdy ;

D : x 0; y 0;

x2 y2 25 .

Ответ: 125 .

4 x2 dxdy ;

D : x 0;

x2 y2 4 .

Ответ: 6 .

D : x2 y2

x2 y2

(x y)dxdy ;

9 .

Ответ: 0.

y2dxdy ;

D : x 0; y 0;

x2 y2 1.

Ответ:

2 .

x y dxdy ;

D : x 0; y 0;

x2 y2

4 .

Ответ:

ex2 y2 dxdy ;

D : x2 y2

x2 y2

9 .

Ответ: (e9 e) .

7. sin x2

y2 dxdy ; D : x 0;

y 0;

x2 y

2 2 . Ответ:

(1 cos( 2 ) .

8. ydxdy ;

D : y 0;

4 .

Ответ:

16 .

dxdy

;

D : x2 y2 1;

x2 y2

0; y 0 .

Ответ: .

x2 y2

10. x2 y2 dxdy ;

D : x2 y2

Ответ:

11.

xydxdy

;

D : x 0; y 0;

x2 y2

16 .

Ответ: 4.

D x2 y2

12.

xdxdy

;

D : y 0;

x 0;

x2 y2

4 .

Ответ: –4.

x2 y2

13.

ydxdy

;

D : x2 y2 4;

x2 y2

y 0 . Ответ: 5.

x2 y2

14.

y2dxdy ;

D : x2 y2

9 .

Ответ:

81 .

15.

2 x y dxdy ;

D :

x2 y2

y 0 .

Ответ: 2 .

4.ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ВЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

П р и м е р

Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл

z(x2 y2 )dxdydz ,

где V – часть цилиндра x2 y2 1, ограниченная плоскостями z 0, z 2 .

Р е ш е н и е

Для данного тела 0 2 , 0 r 1, 0 z 2 .

Тогда

	z(x2				2			1
		y2 )dxdydz =					d
	V				0	2		0
2 1	2	2	1	z	2

d r3dr zdz			d r3dr

0 0	0	0	0	2
						0

Ответ: .

2	2 cos2 r2 sin2 )dz =
rdr z(r
0					1
2 1	2		r	4		1	2

2 d r3dr 2		d					d .

0 0	0		4			2	0
					0

З а д а н и е 4

Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интегралы.

xdxdydz ;

D : z 0; x2 y2

4; z 4 y2 .

Ответ: 12 .

ydxdydz ; D : x 0; y 0; z 0; z x; x2

9; x2 y2 25. Ответ:

98 .

dxdydz ;

V : z 0; z 4 x y; x2 y2

4 .

Ответ: 16 .

ydxdydz ;

D : y 0; z 0; z x2

y2 ; x2

Ответ:

x2dxdydz ;

V : x 0; y 0;

z 0; z y; x2

16 .

Ответ: 64 .

2dxdydz ;

V : z 0; z 2 x y;

x2 y2

Ответ: 4 .

ydxdydz ;

D : z 0; z x2

y2 ;

x2 y2

9 .

Ответ: 0.

zdxdydz ;

V : z x2 y2 ;

z 4 .

Ответ:

dxdydz ;

V : z x2 y2 ; z 2 x2 y2 .

Ответ: .

10. zdxdydz ;

V : x2 y2 9; z 9 x2 y2 .

Ответ:

81 .

11.

(2 x y)dxdydz ; V : z 0; z 1; z x2

y2 .

Ответ: .

12.

dxdydz ;

V : x 0; y 0; z 0; z x2 y2 ;

x2 y2

Ответ: 2 .

13.	xdxdydz ;	V : z 0; x2 y2 9; z 5 x y .			Ответ:		81	.
	V						4
14.	dxdydz ;	D : x 0;	z 0; z x; x2 y2	4 .	Ответ:	16 .
	V					3
	V
15.	zdxdydz ;	V : x 0;	y 0; z 0; z x;	x2 y2 16.		Ответ: 8 .
	V

5.ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ВСФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

П р и м е р

Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл

			x2 y2	z2 dxdydz ,
		V
если	тело	V – часть шара	x2 y2	z2 9 , удовлетворяющая условиям
x 0,	y 0,	z 0 .
			Р е ш е н и е

Пределы изменения переменных для тела V определяются неравенствами

0 2 , 0 2 , 0 r 3.

Тогда, переходя к сферическим координатам x2 y2 z2 r2 , находим

												3				3
	x2		y2						2	2		3		2	2	3
	x2		y2		z2 dxdydz = d sin d r r2dr d sin d r3dr
	V								0	0		0		0	0	0
						4	3
2	2				r	4	3	81	2	2		81	2			81	2	81 .
d sin			d		r			81	d	sin	d	81	d	cos	2	81	d
d sin			d						d	sin	d		d	cos	2		d
0	0				4			4 0		0		4	0		0	4 0		8
															0
							0
		81					0
Ответ:		81		.
Ответ:		8		.
		8

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.66 Mб0Краткий курс грамматики испанского языка.pdf
#
24.11.2025796.96 Кб0Краткий курс лекций по учебной дисциплине «Оценка недвижимости». Часть 1.pdf
#
24.11.20252.16 Mб1Краткий курс программирования на алгоритмическом языке Fortran PowerStation.pdf
#
24.11.20251.07 Mб0Краткий курс программирования на языке Pascal ABC для студентов специальности 1-36 01 02 Материаловедение в машиностроении.pdf
#
24.11.20253.15 Mб1Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
24.11.20251.64 Mб1Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.pdf
#
24.11.20251.28 Mб0Кратные интегралы.pdf
#
24.11.20251.53 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.27 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Культура речи и основы педагогической риторики.pdf