Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные и криволинейные интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

а) если кривая L		задана	явно уравнением	у х ,	где
х	– непрерывно	дифференцируемая функция,		a х b ,	то
dl	1 yx 2dx и криволинейный интеграл примет вид
		b	x, x 1 yx 2dx.
	f x,y dl f		x, x 1 yx 2dx.	(3.1)
	L	a

Замечание. При вычислении криволинейного интеграла первого рода нижний предел в интеграле всегда должен быть меньше верхнего. Таким образом, при переходе от криволинейного интеграла к определенному переменная, выбранная в качестве основной, должна пробегать свои значения в сторону возрастания. В данном случае условие a х b является обязательным! При этом не важно, в каком направлении пробегается кривая;

б)	если	кривая L задана явно уравнением		х у ,		где
у	– непрерывно дифференцируемая функция,			c y d ,		то
dl	1 xy 2dy		и криволинейный интеграл примет вид
			d
		f x,y dl f у ,у 1 ху 2dу;			(3.2)
		L	с
					x x t ,
в) если кривая L задана параметрически уравнениями
в) если кривая L задана параметрически уравнениями
					y y t ,
где x t и		y t
где x t и		y t	– непрерывно дифференцируемые функции пара-

метра t , t , то dl xt 2 yt 2dt и в результате перехода к определенному интегралу получим

		f х t ,у t	хt 2 yt 2dt;
	f x,y dl	f х t ,у t	хt 2 yt 2dt;	(3.3)
L

г) если кривая L задана в полярных координатах уравнением

r r , где

– непрерывно дифференцируемая

функция,

α r β , то dl

d , криволинейный интеграл примет вид

f x,y dl

f r cost,r sint

d .

(3.4)

2.Рассмотрим непрерывную кривую L в пространстве, в каждой

точке которой задана непрерывная функция							f x,y,z . Если кривая
						x x t ,
L	задана	параметрически уравнениями					y t ,	где x t , y t
L	задана	параметрически уравнениями				y	y t ,	где x t , y t
							z t ,
	z t –					z	z t ,
и	z t –	непрерывно дифференцируемые функции параметра t ,
α t β,		то	dl	xt 2 yt 2 zt 2dt		и в результате перехода
к определенному интегралу получим
				f х t ,у t ,z t хt 2			yt 2	zt 2dt.
	f x,y,z dl			f х t ,у t ,z t хt 2			yt 2	zt 2dt.	(3.5)
	L
	Пример		1. Вычислить		2х у dl ,	где L –		контур	АВС
					L
c вершинами A 2;1 , B 0;1 , C 0;4 .
	Решение.		В	данном	случае	кривая		интегрирования
L АВ ВС СА (рис. 3.1), тогда, используя свойство аддитивности,
получим 2x у dl 2x y dl 2x y dl								2x y dl.
	L			АВ	ВС		СА

С 4

А		В	1
-	2	0		х

Рис. 3.1

Вычислим каждый из интегралов суммы. Уравнение стороны АВ: у 1, где 2 х 0 . Тогда

dl 1 yx 2dx 1 0dx dx ,

	2x y dl		у 1		0	2x 1 dx x2		x			0	0 4 2 6.


АВ			dl dx		2						2
Уравнение стороны ВС: х 0 , где 1 у 4. Тогда
			dl 1 ху 2dу 1 0dу dу,
				х 0		4		у	2	4		8 1 7,5.

		2x y dl					0 у dу

				dl dу				2				2
	ВС					1				1

Уравнение стороны СА составим по двум точкам: 0х 22 4у 11,

получим у 32 х 4, 2 х 0 . Тогда

						1 yx					2								3 2			13
			dl										dx		1						dx			dx,
			dl										dx		1						dx	2		dx,
																			2			2
			у	3		х 4							0			3					13			13	0	х
			у	3		х 4
	2x y dl			2
														2x				х	4			dx					4	dx
						13								2x		2		х	4		2	dx		2		2	4	dx
СА			dl			13			dx		2					2					2			2	2	2
			dl			2			dx
						2
		13					2					0			13		0 1 8 9 13 .
							2					0
					х			4x
								4x
		2				4						2			2									2
		2				4						2			2									2
	Тогда
		2х у dl								6 7,5							9		13	13,5 4,5					13.
		L																2
	Ответ: 13,5 4,5							13 .
	Пример	2. Вычислить													х2 у2dl , где								L –		окружность
														L
x2 y2 2у .
	Решение.		Каноническое											уравнение							окружности				x2 y2			2у

имеет вид x2 у 1 2 1, т. е. это окружность с центром в точке

(0; 1) радиуса 1 (рис. 3.2). Перейдем к полярным координатам по формуле (1.5). Тогда уравнение окружности в новых координатах будет иметь вид r 2sin , где 0 .

О х

Рис. 3.2Рис.3.2

Для вычисления интеграла используем формулу (3.4):

dl	r	2		2	d 4sin	2	4cos		2	d 2d .
dl	r		r		d 4sin		4cos			d 2d .
Тогда исходный интеграл равен
х2
х2	у2dl				r2 cos2 r2 sin2 2d 2 rd
L			0							0


			2 2sin d 4 cos					8.
			0					0

Пример 3. Вычислить

х2 у2 z2 dl,

где L – первый виток винтовой линии, x cost, y sint, z t . Решение. Кривая L задана в пространстве параметрически, тогда

xt 2 yt 2 zt 2dt

sin2 t cos2 t 1dt 2dt.

Первому витку винтовой линии соответствуют значения параметра 0 t 2 , по формуле (2.4) получим

			2	cos2 t sin2 t t2								2	cos2t t2		dt
х2 у2 z2 dl				cos2 t sin2 t t2					2dt		2		cos2t t2		dt
L			0									0
	2	1	sin2t		t3	2	2	0		8 3		8 2 3		.
		1			t3	2				8 3		8 2 3

		2			3					3			3
		2			3	0				3			3
						0

Ответ: 8 32 3 .

Задачи для самостоятельного решения

№ 12. Вычислить криволинейные интегралы первого рода по кривой L:

	1)	x y2 dl,					L – отрезок прямой у 3х 1 от точки	A 1;2 до
		L
точки B 3;8 ;
	2)		2xdl, L – дуга параболы у 2х2 от точки A 0;0					до точки
			L
	1
B				; 1 ;
B	2			; 1 ;
	2
	3)		x 2y dl,				L – контур АВС c вершинами A 1;0 ,B 3;0 ,
		L
C 3;2 ;
	4)			xy 1 dl,			L – контур квадрата АВСD, A 1;0 , B 1;0 ,
				L
C 1;2 ,D 1;2 ;
	5)				dl	, L – отрезок прямой у 3х 1 от точки A 0;1 до точ-
	5)				y x	, L – отрезок прямой у 3х 1 от точки A 0;1 до точ-
		L			y x

ки B 2;7 ;

6) у 1 dl,

L –

дуга кривой х

у3 от

точки A

; 1 до

точки

;

; 4

8xdl,

L – дуга параболы у х2 , отсекаемая прямой

у х 2;

х 1dl,

L – дуга кривой

у lnx

от точки A 1;0

до точки

B е;1 ;

9) sin2ydl,

L – дуга кривой х 2cos y от точки

A 0;2

до точ-

ки

;

10)

1 е2х

dl, L – дуга кривой у ех от точки

A 0;1

до точ-

ки B 1;е .

№ 13. Вычислить криволинейные интегралы первого рода по

кривой L:

2x y dl, L

– дуга

окружности

x 2cost, y 2sint ,

;

2) xy2dl, L – дуга окружности x2 y2 9 от точки A 3;0 до

точки B 0;3 ;

3)		2z2 y x dl, L – отрезок АВ, A 2; 1; 0 , B 1;3; 1 ;
	АВ
4)		dl		,	L – отрезок АВ,	A 1;2;3 , B 1;3;1 ;
4)				,	L – отрезок АВ,	A 1;2;3 , B 1;3;1 ;
	АВ х 2у z
5) ydl , L			–		дуга астроиды	x 4cos3 t, y 4sin3 t , лежащей
	L
в первом квадранте;
6)	xyzdl,		L – дуга винтовой линии x R cost, y Rsint, z 2t ,
	L
0 t		;
	4
7)	xydl, L – дуга окружности					x2 y2 2х 0 от точки A 2;0
	L
до точки B 0;0 ;
8)	xdl, L – окружность x2 y2					2у 0;
	L
9)	4	х2 у2dl,			L – дуга кардиоиды r 2 1 cos , 0 t ;
	L
10) xdl, виток лемнискаты r2						cos2 , 0 t .
	L					2

Ответы к задачам для самостоятельного решения.

	№ 1.		1)	5 ;				2) –2;			3) –5;					4) 20,2;			5) 1 ;					6)	1		;
	e2			3																			3			2
7)	e2	3	;	8)	2	;			9)	;	10)		1		ln		5	.
7)		4	;	8)	3	;			9)	;	10)		4		ln		2	.
		4			3								4				2
				1	3 у				x,y dх ;									2				2 у
	№ 2. 1) dу f								x,y dх ;									2) dу					f x,y dх;
				0	0													1	0
				1				у 1										3				у
				1				у 1										3				3	f x,y dх;
			3) dу						f x,y dх ;									4) dу					f x,y dх;
				1				0										0			у
																				3
				4				4 у		x,y	dх;							2				2у	f x,y dх;
			5) dу						f	x,y	dх;							6) dу					f x,y dх;
				3				0										1	1
				2	4				x,y dх;									8	3 у				f x,y dх ;
			7) dу f						x,y dх;									8) dу					f x,y dх ;
				0	у2													0			у
																					4
				3		4 у												2	8				f x,y dх .
			9) dу						f x,y dх;									10) dу					f x,y dх .
				0		1												0				у3
				1	у						2	2 y				x,y dx;
	№ 3. 1) dу f							x,y dх dy							f	x,y dx;
				0	0						1	0
				2	у2 1						8		4	у
				2	у2 1						8		4	2 f x,y dx;
			2) dу						f x,y dх dy					2 f x,y dx;
				1	0						2		0
				0			у 1				3		1			у
				0			у 1				3		1
			3) dу						f x,y dх dy 3 f x,y dx;
				1			0				0			0

3									4		4 y
3			3						4		4 y					x,y dx;
4) dу			f			x,y dх dy								f		x,y dx;
0			0						3		0
2						3 у					3					3 y
5) dу									f x,y dх dy									f x,y dx;
	1					0					2						3 у
1			у						2 2 у2						f x,y dx;
6) dу f						x,y dх dy									f x,y dx;
0			0						1		0
1				у 1					4				2	у
1				у 1					4				2	2 f x,y dx;
7) dу								f x,y dх dy						2 f x,y dx;
0			0						1				0
1			3 у						2		2 у					x,y dx;
8) dу f								x,y dх dy f								x,y dx;
0			0						1		0
2			0						3				0			f x,y dx;
9) dу								f x,y dх dy								f x,y dx;
0					у				2				у 3
			2									5 у
		3		у3					5			5 у
		3		у3					5				2				f x,y dx.
10) dу							f x,y dх dy						2				f x,y dx.
		0	0						3				0
1
		2	0						1							0		f x,y dx;
№ 4. 1) dy								f x,y dx dy										f x,y dx;
0				y						1						1 y2
0				y					2							1 y2
									2
		1					1 у2											у
		2					1 у2						0					у
2)			dy						f x,y dx								dy f x,y dx;
	1							0						1				0
														2
		1
		2						0	f x,y dx					0				0
		2						0						0				0
3)			dy															dy f x,y dx;
	1							1 у2								1		у
	1							1 у2								2		у
																2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.68 Mб0Коррупция и ее общественная опасность.pdf
#
24.11.20252.66 Mб2Краткий курс грамматики испанского языка.pdf
#
24.11.2025796.96 Кб2Краткий курс лекций по учебной дисциплине «Оценка недвижимости». Часть 1.pdf
#
24.11.20252.16 Mб1Краткий курс программирования на алгоритмическом языке Fortran PowerStation.pdf
#
24.11.20251.07 Mб1Краткий курс программирования на языке Pascal ABC для студентов специальности 1-36 01 02 Материаловедение в машиностроении.pdf
#
24.11.20253.15 Mб1Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
24.11.20251.64 Mб1Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.pdf
#
24.11.20251.28 Mб0Кратные интегралы.pdf
#
24.11.20251.53 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.27 Mб0Криптографические средства защиты информации. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Кристаллография и минералогия.pdf