Кратные и криволинейные интегралы

4)z 9 у2, у x, y 0, z 0, х 0, у 0;

5)z2 x2 4, у x, z 0, y 0, z 0;

6)z у2, у 2, х 3, z 0;

7)у 2 x2, у 0, z 0, z 2;

8)у x 2, z х у 3, х 0, у 0, z 0;

9)z у2 x2, у x, x 2, z 0, y 0;

10)z 4 у2 x2, у x 2, x 0, z 0, y 0.

2.3.Вычисление тройного интеграла

вцилиндрических координатах

Положение точки в пространстве можно задать не только в декартовых, но и в других системах координат. Одной из наиболее часто употребляемых систем координат являются цилиндрические координаты. Положение точки М в такой системе определяется по-

лярными координатами r и ее проекции – точки М – на координатную плоскость Оху и аппликатой (координатой z) (рис. 2.6.). Таким образом, точка М имеет координаты М ,r,z .

z

40

Формулы, связывающие цилиндрические координаты точки с декартовыми, имеют вид

Переход от декартовых координат к цилиндрическим в тройном интеграле осуществляют по формуле

Замечание. Следует обратить внимание на множитель r в формуле (2.5). Это модуль определителя матрицы перехода (якобиана), который всегда (!) появляется при переходе от декартовых координат к цилиндрическим в тройном интеграле.

Как правило, переход от декартовых координат к цилиндрическим целесообразно выполнять в случаях, когда проекцией области V на координатную плоскость Оху является окружность или ее часть.

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

х2 y2 9, 2х 3y z 12, z 0.

Решение. Тело ограничено цилиндрической поверхностью х2 y2 9, образующие которой параллельны оси Oz, плоскостями 2х 3y z 12 и z 0 (координатной плоскостью Оху). Тело изображено на рис. 2.7. Его проекцией на плоскость Оху является круг, ограниченный окружностью х2 y2 9, с радиусом 3 и центром в начале координат (рис. 2.8).

41

Так как уравнение этой окружности в цилиндрических координатах имеет вид r 3, то пределы в тройном интеграле по :

0 2 , а по r : 0 r 3. Уравнение плоскости 2х 3y z 12 соответственно имеет вид z 12 2r cos 3r sin .

Объем тела равен V dxdydz , а в цилиндрических координа-

V

тах эта формула запишется V rd drdz.

V

Таким образом, получим следующий результат:

Ответ: 108 .

42

Пример 2. Вычислить тройной интеграл

у х dxdydz

V

по области V, ограниченной поверхностями: z 1 х2 y2,

х y, z 0, y 0.

Решение. Область интегрирования V ограничена сверху поверхностью параболоида z 1 х2 y2 , сбоку – плоскостями х y и y 0, снизу – плоскостью z 0 (рис. 2.9).

Проекцией области V на плоскость Оху является часть круга х2 y2 1, расположенная между прямой х y и осью Ох(рис. 2.10). Уравнение окружности х2 y2 1 в цилиндрических координатах

имеет вид r 1, а прямой х y имеет вид 4 . Уравнение пара-

болоида z 1 х2 y2 запишем в виде z 1 r2 . Тогда в новой системе координат получим

43

3) ydxdydz, V : z х2 у2, z 1;

V

4) х2ydxdydz, V : z2 х2 у2, z 1,у 0, у 0;

V

6) хydxdydz, V : z 1 х2 у2, z 0;

V

44

V

у 0, х 0;

2.4. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

z

М

r

М

xРис. 2.11 Рис. 2.11

Всферических координатах положение точки М в пространстве определяется тремя числами: , и r, где – угол между проек-

цией радиус-вектора точки на плоскость Оху и осью Ох (отсчитывается против часовой стрелки), – угол между радиус-вектором точки и осью Оz, r – расстояние от точки М до начала координат (длина радиус-вектора точки) (рис. 2.11).

Для любой точки М в пространстве имеем: 0 r , 0 2 , 0 .

45

Связь прямоугольных декартовых координат точки с ее сферическими координатами выражается формулами:

Формула перехода в тройном интеграле от прямоугольных координат к сферическим имеет вид

f x,y,z dxdydz

Замечание 1. Множитель r2 sin в формуле (2.6) (!) появляется при переходе от декартовых координат к сферическим.

координатах преобразуется в r. Так, уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом R в декартовых координа-

тах: x2 y2 z2 R2 , а в сферических: r R . Пример. Вычислить тройной интеграл

x 0, y 0, z 0(x 0, y 0, z 0).

Решение. Область интегрирования есть часть шара, ограниченного сферойх2 у2 z2 4 с центром в начале координат и радиусом 2, расположенная в первом октанте (рис. 2.12).

46

Перейдем к сферическим координатам по формулам (2.6). Уравнение сферы в этих координатах имеет вид r 2. Проекция области V на плоскость Оху – часть круга радиуса 2 с центром в точке

О(0; 0) (рис. 2.13), значит пределы по : 0 2 . Пределы по :

0 2 (так как в область V расположена от оси Оz до плоскости

Оху). Пределы по r : 0 r 2, так как точки области V расположены от начала координат до поверхности с уравнением r 2.

Перейдем в исходном тройном интеграле к сферическим координатам с учетомполученных пределов интегрирования и формулы (2.7):

Ответ: 2 .

47

Задачи для самостоятельного решения

№ 11. Вычислить тройной интеграл в сферических координатах:

48

Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА (КРИ-1)

3.1. Свойства КРИ-1

Основные свойства криволинейного интеграла первого рода:

1) КРИ-1 не зависит от направления пути интегрирования:

L

3.2.Вычисление КРИ-1

1.Рассмотрим плоскую непрерывную кривую L, в каждой точке

которой задана непрерывная функция f x,y . Вычисление криволинейного интеграла первого рода от функции f x,y по кривой L:

f x,y dl (dl – дифференциал длины дуги кривой) – сводится

L

к вычислению определенного интеграла по следующим правилам: 49