Кратные и криволинейные интегралы

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

х у, х у 2, у 2.

Решение. Фигура, ограниченная линиями х у, х у 2 и у 2 , является правильной относительно оси Ох. Найдем ординаты точек пересечения указанных линий (т. е. пределы интегрирования), для этого решим уравнение 2 у у , корень которого

у 1 (рис. 1.16).

Ответ: 8 26 7.

20

y

2

1

–3 –2 –1 01 2 3 x –1 –2

Рис. 1.17 Рис. 1.17

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

у 2 х2, у х .

Решение. Фигура, ограниченная линиями у 2 х2 и у х , яв-

ляется правильной относительно оси Оу(рис. 1.17). Найдем абсциссы точек пересечения указанных линий (т. е. пределы интегрирования),

Ответ: 4,5.

Задачи для самостоятельного решения

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

21

и осью Ох, является правильной относительно оси Ох (рис. 1.18).

Ответ: 0,75.

22

y

х 3 у

1

x

О 1 2

х 3 у

Рис. 1.18

1.4. Геометрический и механический смысл двойного интеграла

Геометрический смысл двойного интеграла: объем цилиндрического тела, ограниченного снизу непрерывной поверхностью

z f1 x , сверху – непрерывной поверхностью z f2 x , а с боков –

цилиндрической поверхностью, направляющей поверхностью которой является граница области D, а образующие параллельны оси Оz

(рис. 1.19), равен

V

z f1 x,y

O

y

D

23

Механический смысл двойного интеграла: если область D – плоская пластинка, расположенная в плоскости Оху и имеющая по-

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-

ми у х2, у 4, 2z y 8, z 1.

Решение. Данное тело ограничено сбоку поверхностью параболического цилиндра у х2 и плоскостью у 4, снизу – плоско-

стью z 1, сверху – плоскостью z 4 2y (рис. 1.20).

Его проекцией на плоскость Оху является область, ограниченная параболой у х2 и прямой у 4 (рис. 1.21). Объем данного тела:

Ответ: 19,2.

24

1.5.Вычисление двойного интеграла

вполярных координатах

Распространенная система координат на плоскости – это полярные координаты r и , которые связаны с декартовыми координа-

тами х и у точки М соотношениями

где r – расстояние от точки М до начала координат;

– угол между радиус-вектором точки М и осью Ох (отсчитывается против часовой стрелки) (рис. 1.22). При этом r 0, 0 2 (или ).

Пусть в полярных координатах область D ограничена лучами

Тогда двойной интеграл от функции f x,y по области D вычисляется как повторный интеграл

25

Замечание 1. Следует обратить внимание на множитель r

вформуле (1.6). Это модуль определителя матрицы перехода (якобиана), который всегда (!) появляется при переходе от декартовых координат к полярным в двойном интеграле.

Замечание 2. Переход от декартовых координат к полярным целесообразно выполнять в случаях, когда областью D является окружность или ее часть. Так, уравнение окружности с центром

вначале координат и радиусом R в декартовой системе координат

2 sin32 sin 2 1 0 2.

Область интегрирования – часть круга с центром в начале координат радиуса 2, расположенная в 3-й координатной четверти

(рис. 1.24).

26

r 2 2

О 2 r

3 2

Рис. 1.24

Ответ: 2.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

4

r 2cos

O 1 2 r

Рис. 1..125.25

27

уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и радиусом 1. Урав-

с центром в точке (1; 0) и радиусом 1, расположенная выше прямой y х (рис. 1.25).

Ответ: 4 2 .

Пример 3. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

f x,y dxdy,

D

если область D ограничена линиями x2 y2 2y 0, y x , y x . Решение. Приведем первое уравнение к каноническому виду:

28

Область интегрирования изображена на рис. 1.26.

Рис. 1.26 Рис. 1.26

Пример 4. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

f x,y dxdy,

D

если область D ограничена линиями x2 y2 2х 0, x2 y2 1. Решение. Приведем первое уравнение к каноническому виду:

29