Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5251 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Кратные и криволинейные интегралы

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
3.15 Mб
Скачать
☆

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

Е. И. Федорако Е. Д. Бачило

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пособие

Минск

БНТУ

2017

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

Е. И. Федорако Е. Д. Бачило

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕРГАЛЫ

Пособие для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций»,

1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строительство», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью», 1-70 03 01 «Автомобильные дороги»,

1-70 03 02 «Мосты, транспортные тоннели и метрополитены», 1-70 04 01 «Водохозяйственное строительство»,

1-70 04 02 «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна», 1-70 04 03 «Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов», 1-70 07 01 «Строительство тепловых и атомных электростанций»

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области строительства и архитектуры

Минск

БНТУ

2017

1

УДК 517.3(075.8) ББК 22.1я7

Ф 33

Рецензенты: кафедра «Математика и физика»

Высшего государственного колледжа связи (зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. Л. Гладков); доцент кафедры «Общая математика и информатика»

Белорусского государственного университета, канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Самодуров

Федорако, Е. И.

Ф 33 Кратные и криволинейные интегралы: пособие для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий

иконструкций», 1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строительство», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью», 1-70 03 01 «Автомобильные дороги», 1-70 03 02 «Мосты, транспортные тоннели и метрополитены», 1-70 04 01 «Водохозяйственное строительство», 1-70 04 02 «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна», 1-70 04 03 «Водоснабжение, водоотведение

иохрана водных ресурсов», 1-70 07 01 «Строительство тепловых

иатомных электростанций» / Е. И. Федорако, Е. Д. Бачило. – Минск :

БНТУ, 2017. – 61 с.

ISBN 978-985-550-646-2.

Пособие предназначено для помощи студентам второго курса при изучении раздела «Определенный интеграл по фигуре». Содержит краткий теоретический материал, проиллюстрированный практическими примерами, а также задачи для аудиторной и самостоятельной работы студентов, к которым приведены ответы.

 

УДК 517.3(075.8)

 

ББК 22.1я7

ISBN978-985-550-646-2

© Федорако Е. И.,

 

Бачило Е. Д., 2017

 

© Белорусский национальный

 

технический университет, 2017

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Глава 1. Двойной интеграл............................................................

4

1.1. Понятие и вычисление повторного интеграла.........................

4

1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых

 

координатах.............................................................................................

6

1.3. Вычисление площади плоской фигуры..................................

19

1.4. Геометрический и механический смысл двойного

 

интеграла...............................................................................................

23

1.5. Вычисление двойного интеграла в полярных

 

координатах...........................................................................................

25

Глава 2. Тройной интеграл..........................................................

33

2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых

 

координатах...........................................................................................

33

2.2. Свойства тройного интеграла..................................................

38

2.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических

 

координатах...........................................................................................

40

2.4. Вычисление тройного интеграла в сферических

 

координатах...........................................................................................

45

Глава 3. Криволинейный интеграл первого рода (КРИ-1) ...

49

3.1. Свойства КРИ-1........................................................................

49

3.2. Вычисление КРИ-1...................................................................

49

Ответы к задачам для самостоятельного решения.......................

58

3

Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Понятие и вычисление повторного интеграла

Повторным интегралом называется выражение вида

b

g2(x)

b g2(x)

 

(1.1)

dx

 

f x,y dy

 

f x,y dy .

a

g1(x)

 

 

 

 

a g1(x)

 

 

Правая часть равенства (1.1) дает порядок вычисления повторного интеграла: вычисление производят справа налево, т. е. сначала

g2(x)

f x,y dy F x , в котором переменную х считают

находят

g1(x)

 

b

постоянной, затем вычисляют F x dx .

a

Аналогично вычисляют интеграл

d

2 y

d 2 y

dy

 

f x,y dx

 

c

y

c

y

 

1

 

1

f x,y dx :

2 y

сначала находят интеграл f x,y dx G y , в котором перемен-

1 y

d

ную у считают постоянной, затем находят G y dy .

c

 

 

2

x

x y dy.

Пример 1. Вычислить повторный интеграл dx

1

1

 

Решение. Сначала вычислим внутренний интеграл

4

х

х у dy

 

 

y2

 

у х

 

 

x2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x const

xy

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

у 1

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x 1 F x . 2 2

Тогда исходный двойной интеграл равен

 

 

 

2

 

x

x y dy

2

F x dx

2

x2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

x2

 

1

 

 

х 2

 

 

8

 

4

1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

2

 

 

 

 

6 2

 

 

 

6

 

 

2

 

2

 

3

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 16 .

Замечание. Если в повторном интеграле пределы интегрирования по обеим переменным постоянные, а подынтегральную функ-

цию f x,y можно представить в виде произведения

f x,y

x y (т. е. удается разделить переменные), то результат вы-

числения повторного интеграла можно найти как произведение двух определенных интегралов:

b

d

 

 

 

b

d

b

 

 

 

d

 

dx f

x,y dy dx x y dy x dx y dy.

a

c

 

 

 

a

c

a

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 ex

dx .

Пример 1. Вычислить повторный интеграл dy

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

Решение.

2

1

x

2

dy

1

 

2 ex

 

1

 

 

dy e

 

dx

exdx ln y

 

 

 

 

1

0 y

1

y

0

 

1

 

 

0

 

ln2 ln1 e1 e0 ln2 e 1 . Ответ: ln2 (e 1).

5

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. Вычислить повторные интегралы:

1

1

 

 

 

 

0

х2

 

 

 

 

1) dx 2x 4y dy;

2) dx 2x 1dy;

0

х

 

 

 

 

1

х

 

 

 

 

2

у

4xу 2 dх;

4

у

 

 

 

 

3) dу

4) dу x 2y dх;

1

1

 

 

1

у

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

5) dx

 

2y sinxdy;

6) dx cosxdy;

0

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

е

у

 

 

 

 

2

х 1

y х dy;

7) dу ln ydх;

 

8) dx

1

1

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

у2 1

 

dx

 

2

х

у

 

 

9) dу

 

 

 

;

10) dх

 

 

 

dу.

 

arctgy

 

х2

 

0

 

0

 

 

1

0

 

1

1.2.Вычисление двойного интеграла

вдекартовых координатах

Пусть область D на плоскости (рис. 1.1) ограничена слева и справа вертикальными прямыми x a и x b , а снизу и сверху –

графиками

непрерывных на отрезке a;b

функций

у g1 x

и у g2 x

( g1 x g2 x ) соответственно, где функция f x,y

непрерывна

в области D. Тогда двойной

интеграл от

функции

f x,y по области D вычисляется как повторный интеграл.

6

 

b

g2 x

f x,y dy.

f x,y dxdy dx

 

D

a

g1 x

 

y

 

 

 

 

y g2 x

 

 

D

 

 

 

y g1 x

x

О

a

b

 

 

РисРис. 1.1. 1.1

 

Замечание 1. В некоторых случаях одна или обе вертикальные

прямые

x a

или x b

могут вырождаться в точку (рис. 1.2, 1.3).

Другими словами, область D заключена в пределах вертикальной

полосы от x a до x b.

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

y g2 x

y g2 x

 

 

 

 

 

 

 

D

D

 

 

 

 

y g1 x

y g1 x

 

x

 

 

x

 

О a

 

b

О a

 

b

 

 

Рис. 1.2

Рис. 1.3

 

 

Описанная выше область D называется правильной в направлении оси Оу. Так как при движении «сквозь» область D параллельно оси Оу снизу вверх мы на входе в эту область пересекаем кривую

у g1 x

, а на выходе из области – кривую у g2 x , график

7

функции у g1 x называется линией входа, а график функции

у g2 x – линией выхода.

Если область D на плоскости (рис. 1.4) ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми у с и у d , а слева и справа –

графиками

непрерывных на отрезке

c;d функций

x 1 y

и x 2 y

( 1 y

2 y ) соответственно, где функция

f x,y

непрерывна в области D, то двойной интеграл от функции

f x,y

по области D вычисляется как повторный интеграл:

 

 

 

f

 

 

d

2 y

 

 

 

x,y dxdy dy

 

 

f x,y dx.

 

(1.2)

 

D

 

 

c

1 y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

х 2 у

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

х 1 у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

x

О

Рис.1.4 Рис. 1.4

Замечание 2. В некоторых случаях одна или обе горизонтальные прямые у с или у d могут вырождаться в точку (рис. 1.5, 1.6).

Другими словами, область D заключена в пределах горизонтальной полосы от у с до у d .

8

y

 

 

 

y

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

х 2 у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х у

х

у

D

х

у

1

 

 

 

1

 

 

2

 

с

 

 

 

 

x

с

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.6

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.5

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.6

 

 

Описанная выше область D называется правильной в направлении оси Оx. Так как при движении «сквозь» область D параллельно оси Ох слева направо мы на входе в эту область пересекаем кривую

x 1 y ,

а на выходе из области – кривую

x 2 y , график

функции

x 1 y называется линией входа,

а график функции

x 2 y

– линией выхода.

 

Замечание 3. Если область интегрирования D не является правильной относительно ни одной из осей координат, то ее разбивают на две или несколько частей D1, D2, …, Dп, каждая из которых является правильной относительно какой-нибудь из осей. Тогда двойной интеграл по области D вычисляют как сумму интегралов по каждой из

областей D1, D2, …, Dп.

Замечание 4. Если при вычислении двойного интеграла как повторного по формуле вида (1.1) переходят к вычислению того же двойного интеграла как повторного по формуле вида (1.2) или наоборот, то говорят, что в двойном интеграле изменился порядок интегрирования.

Перечислим некоторые свойства двойного интеграла, используемые при его вычислении (при условии, что подынтегральные функции интегрируемы):

1) с f x,y dxdy с f x,y dxdy, где с – const;

D D

2) f1 x,y f2 x,y dxdy f1 x,y dxdy f2 x,y dxdy;

D D D

9

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности