Контроль параметров полупроводников

Рисунок 1.2 – Изменение ширины запрещенной зоны с температурой для нескольких полупроводников:

1 – кремний ( Eg0 = 1,156 эВ); 2 – германий ( Eg0 = 0,741 эВ);

3 – фосфид индия ( Eg0 = 1,421 эВ); 4 – арсенид галлия ( Eg0 = 1,521 эВ)

Из формул (1.8), (1.9) и (1.11) следует, что для невырожденных полупроводников при любых концентрациях носителей заряда выполняется равенство

Выражение (1.14) представляет собой закон действующих масс для электронов и дырок. Из него следует, что при увеличении концентрации одного знака во столько же раз уменьшается концентра-

ция носителей другого знака. Такие изменения n0 и p0 достигают-

ся при легировании полупроводника различными примесями.

Для атома примеси (из пятой группы таблицы Менделеева), находящегося в решетке элемента четвертой группы, энергия возбуждения одного электрона в зону проводимости значительно меньше ширины запрещенной зоны. При достаточно высоком содержании этих примесей в кристалле можно получить ситуацию, когда концентрация свободных носителей будет больше концентрации собственных носителей заряда в данном материале. В данном случае по-

11

лучится полупроводник n-типа. Наименование «n-тип» указывает на то, что процессы проводимости в таком кристалле осуществляются отрицательно заряженными частицами. Примесные центры, приобретающие положительный заряд и отдающие электроны (которые в свою очередь могут становиться подвижными или захватываться другими центрами) называют донорными примесями. Акцепторная примесь – это примесный центр, который может принимать один или более отрицательных зарядов, закрепляя электронные заряды (и, возможно, освобождая подвижные дырки). В полупроводнике р-типа акцепторов больше, чем доноров.

Расчет по методу Гиббса для систем с переменным числом частиц позволяет прийти к выводу, что для примесных состояний функция распределения электронов должна иметь вид

где E Ed – дельта-функция;

Nd – плотность донорных состояний.

12

Концентрацию электронов и дырок на акцепторном уровне находят по формуле

где Na – плотность акцепторных состояний.

Формулы (1.15) и (1.16) позволяют вычислять концентрацию электронов и дырок при условии, что известно положение уровня Ферми. Однако уровень Ферми сам зависит от температуры и концентрации примесей. Для его вычисления служит уравнение электронейтральности, имеющее простой и наглядный физический смысл. В результате термической ионизации в полупроводнике создается некоторое число свободных электронов и дырок. Свободные носители заряда создаются в результате ионизации атомов примеси и атомов основного вещества. Как во всем кристалле, так и в любом физически малом объеме вещества суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю – это и есть условие электронейтральности, справедливое для незаряженного в целом тела.

Для записи уравнения электронейтральности подсчитаем заряд положительных и отрицательных частиц. Отрицательный заряд создает свободные носители – электроны и ионы акцепторов, он равен

n nd e . Положительный заряд создает свободные дырки и ионы

Можно записать ряд очевидных соотношений

na Na pa ;

Используя формулу (1.17), получаем n p – равенство, полно-

стью совпадающее с равенством (1.10).

Если в полупроводник введена примесь одного типа, например, донорная (Nd 0, Na 0), тогда уравнение (1.18) примет вид

Уравнение (1.19) относительно E является уравнением третьей степени. Однако можно найти ряд сравнительно простых случаев, для которых легко определяется положение Ферми и концентрация электронов и дырок.

Для перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости необходима энергия, равная ширине запрещенной зоны Eg , в то вре-

мя как для перевода электрона с уровня примеси в зону проводимости необходима энергия, равная энергии ионизации примеси Ed ,

которая намного меньше ширины запрещенной зоны. Поэтому при низкой температуре основную роль будут играть переход электро-

нов с примесного уровня, следовательно, p pd . Неравенство сохраняется до тех пор, пока вся примесь не будет ионизована. Одна-

14

ко с ростом температуры произойдет ионизация всей примеси и рост концентрации электронов будет проходить вместе с ростом концент-

рации дырок p. При больших температурах p pd Nd полупро-

водник станет собственным.

Рассмотрим сначала низкие температуры. В этом случае форму-

где Ne – плотность состояний при энергии Ee ,

и обозначив d Ee Ed , уравнение (1.21) можно преобразоватьк виду

Для очень низких температур ионизована только малая доля примесей и n Nd . Уравнение (1.22) в этом случае упрощается

15

Проводя дальнейшие преобразования, получим формулу

При более высоких температурах вся примесь будет ионизована и концентрация свободных электронов будет равна концентрации примеси:

Кристаллы полупроводников обычно содержат примеси разных типов. Донорные центры будут отдавать электроны нижележащим акцепторным уровням, т. е. присутствие акцепторных состояний с низкими энергиями компенсирует (полностью или частично) донорные уровни. Донорные состояния, расположенные выше уровня Ферми, будут вносить ничтожный вклад в изменение концентрации носителей заряда; акцепторные состояния, расположенные ниже уровня Ферми, дают заметный, но не зависящий от температуры вклад. Вклад акцепторов обычно определяют с помощью следующей формулы, полученной путем преобразования формулы (1.21) с учетом связанных на них электронов (добавляется новый член – p):

При низких температурах, когда наблюдается «истощение» примеси, справедливо выражение

При дальнейшем повышении температуры в формуле (1.25) нельзя пренебрегать концентрацией дырок. С учетом того, что все доноры ионизированы, эта формула примет первоначальный вид:

n p Nd Na .

16

С помощью формулы (1.14) можно получить выражение для концентрации электронов в виде

Последнее уравнение имеет два предельных случая. Если справедливо соотношение

то n Nd Na .

Если справедливо обратное, то n ni (полупроводник собствен-

ный).

Если учесть выражения (1.26), (1.27), (1.28), то можно построить полную зависимость концентрации носителей заряда и уровня Ферми в полупроводнике от температуры (рисунок 1.2).

Рассмотрим проводимость проводника n-типа, который в равновесии имеет n подвижных электронов на единицу объема. Будем

пользоваться скалярной эффективной массой mne* , усредненной по анизотропным энергетическим поверхностям зоны проводимости. Эта масса отличается от mnd* характером проводимых в данных слу-

чаях усреднений.

Описывающее проводимость уравнение имеет вид

17

где n – среднее время свободного пробега между двумя рассеивающимися соударениями, усредненные по распределению электронов;– соответствующая средняя длина пробега для такого распре-

деления электронов, которому соответствует средняя скорость теплового движения электрона;

n – подвижность электрона, рассчитываемая по формуле

Подвижность обычно выражается в см2/В·с, т. е. подвижность величиной 1 см2/В·с эквивалентна скорости дрейфового движения электрона 1 см/с под действием электрического поля напряженностью 1 В/см.

Для дырок в полупроводнике р-типа явления переноса могут быть описаны посредством понятия подвижности дырок p . При прояв-

лении двуполярной проводимости в собственном полупроводнике (или в полупроводнике близком к собственному) в выражении для полной электропроводности появляются две подвижности – элект-

ронная n и дырочная p , расчет проводится по формуле

e n n p p .

Характер зависимости подвижности от температуры зависит, вопервых, от того, вырожден или нет электронный газ, во-вторых, от специфики состояния между энергией и волновым вектором в зоне проводимости полупроводника и от того, какой механизм преобладает в расстоянии. Этим механизмом может быть рассеяние акустическими и оптическими фононами, нейтронными и ионизованными примесными центрами и дислокациями.

Для невырожденного случая часто зависимость длины свободного пробега от температуры и энергии электронов может быть выражена в виде

E

AT q E Ee e kT ,

18

где А – холл-фактор;

q – коэффициент, зависящий от механизма рассеяния.

Тогда длина свободного пробега, усредненная с учетом распределения Больцмана, рассчитывается по формуле

Учитывая, что для невырожденного полупроводника справедливы соотношения

A e 2 T q 1 kT e ,

получаем подвижность электронов в виде

где В – коэффициент пропорциональности.

Для примесных ионов справедливо выражение

~ T 32 ,

т. е. с ростом температуры подвижность растет.

При достаточно высоких температурах преобладает механизм рассеяния на акустических колебаниях:

~ T 32.

19

Эти два механизма играют основную роль в описании температурной зависимости электропроводности полупроводников.

При температурах вблизи 300 °С носители заряда обычно рассеиваются на колебаниях решетки, что приводит к уменьшению проводимости при неизменной концентрации носителей зарода в легированных полупроводниках. В области перехода к собственной проводимости наблюдается рост проводимости, связанный с экспоненциальным ростом концентрации носителей заряда. При низких температурах температурное изменение подвижности обусловлено вымораживанием носителей на уровень примеси, описываемый выражением (1.20).

Схематическое изображение температурной зависимости приведено на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 – Схематическая зависимость электропроводности от обратной температуры

1.2. Принцип проведения эксперимента

Цель эксперимента данной лабораторной работы состоит в измерении с помощью эффекта Холла параметров образцов германия и кремния: типа проводимости, концентрации носителей заряда, их подвижности и ширины запрещенной зоны полупроводников.

20