Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 4
.pdf
Дробь |
1 |
∑n (yi − yiT )2 |
n D |
имеет вид χn2 - статистики, т. е. сумма |
|
||||
|
n i=1 |
|
|
|
2
∑n (yi − yiT ) χ2n D . Эта сумма разбита на три компоненты. Вторая и третья из них
i=1
зависят лишь от a и b соответственно, и, следовательно, каждая имеет одну
степень свободы. Первый член в правой части включает n разностей yi − yi , на которые наложены два ограничения ∂∂Ra = 0 и ∂∂Rd = 0 , в силу чего он имеет n − 2
степени свободы.
|
|
|
|
|
|
|
(xi , yi ) |
|
|
|
|
= a + b(xi |
|
|
) |
yi |
− yi |
|
|||
yi |
− |
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
|
, a) |
|
|
|
xi |
, yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
− yiT |
||
|
x |
|
|
|
|
|||||
( |
|
, a) |
(xi , yiT ) |
β(xi − |
|
) |
|||
x |
|
|
|
x |
|||||
yiT = б + в(xi − |
|
) |
|
|
|
||||
x |
|
|
|
||||||
|
|
xi |
|
|
x |
||||
x |
|
|
|||||||
Рис. 21.7. Наблюдаемая и теоретическая линии регрессии
Поскольку сумма трех сумм квадратов в правой части (21.10) равна сумме квадратов левой части и это же имеет место для степеней свободы, каждый член в правой части распределен как χ2n D с соответствующим числом степеней свободы и эти члены независимы между собой.
Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
∑ yi |
− yi |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
n(a − α) |
2 |
|
(b −β) (xi |
− x) |
2 |
|
i=1 |
|
|
|
2 |
||
|
χ1 |
, |
|
|
|
|
χ1 |
, |
|
|
|
|
χn−2 . |
D |
D |
|
|
|
|
|
d |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
131
Теперь можно построить критерий для проверки гипотезы H0 :в = 0 ,
составив отношение
|
|
|
|
(b −в)2 ∑n (xi |
− |
|
)2 D 1 |
|
(b −в)2 ∑n (xi − |
|
)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
i=1 |
|
|
F , |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, n−2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∑ |
y |
|
− y |
|
|
D (n − 2) |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~ |
1 |
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где D = |
|
|
∑ yi |
− yi |
|
– несмещенная оценка дисперсии ошибок наблюдений. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n − 2 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если гипотеза H0 справедлива, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = 0 и b |
2 |
n |
|
|
2 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi |
− x) |
D F1, n−2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практически при |
вычислении этого |
отношения |
|
|
|
n |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
величину ∑ yi |
− yi |
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
входящую в D , получают с помощью соотношения (21.40). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Надо заметить, что сформулированный критерий может сигнализировать |
||||||||||||||||||||||||||||
скорее |
о наличии |
|
зависимости между |
|
|
х и у . О |
качестве аппроксимации |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
||
исходных данных данной моделью лучше судить по ошибке D . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Выбор наилучшей регрессии
Одна из основных задач регрессионного анализа состоит в решении вопроса о том, какие именно регрессоры (независимые переменные) следует включать в модель. Пусть x1 ,..., xk – полный набор всех возможных регрессоров,
содержащий такие функции, как квадраты, смешанные произведения и прочие функции, которые кажутся подходящими. Для выбора некоторого подмножества из этой полной совокупности регрессоров есть два противоположных подхода.
С одной стороны, в модель для полноты учета следует включать по возможности наибольшее число регрессоров. С другой – при увеличении числа
132
регрессоров возрастают затраты на построение и использование модели, а также возрастает дисперсия прогноза. Подходящим компромиссом между этими двумя крайностями является процедура, называемая обычно “выбором наилучшего уравнения регрессии”. Термин “наилучшее”, конечно, субъективен. Нет никакой единой статистической процедуры для выбора соответствующего подмножества,
ивсе статистические методы предполагают необходимость субъективного решения.
Подбор конкретного вида функциональной зависимости – наиболее трудная
итворческая часть задачи регрессии.
133
21.7.Литература
1.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Изд. 2-е, Наука, 1971.
2.Годунов С.К. Уравнения математической физики. Наука, 1971.
3.Кошляков Н.С., Глипер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. Высшая школа, 1970.
4.Лебедев И.И. Специальные функции и их приложения. Изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
5.Михлин С.Г. Курс математической физики. Наука, 1968.
6.Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд.
3-е, Физматгиз, 1961. |
|
|
|
7. Владимиров В.С., |
Михайлов В.П., |
Вашарин А.А., |
Каримова Х.Х., |
Сидоров Ю.В., |
Шабунин М.Н. Сборник задач |
по уравнениям |
|
математической физики. Наука, 1974.
8.Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. Наука, 1966.
9.Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Наука, 1966.
10.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 11.Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных
второго порядка. М.: Наука, 1964.
12.Арлей Н., Бух К., Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. М., ИЛ, 1951.
13.Большев Л.Н., Смирнов С.В. Таблицы математической статистики. М., “Наука”, 1968.
14.Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М., ИЛ, 1960. 15.Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М., 1966. 16.Крамер Г. Математические методы статистики. М., ИЛ, 1948. 17.Леман Э. Проверка статистических гипотез. М., 1964.
134
18.Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математикостатистической теории наблюдений. М., Физматгиз, 1962.
19.Смирнов И.В., Дунин-Барковский И.В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М., «Наука», 1980.
20.Уилкс С. Математическая статистика. М., 1967.
21.Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М.,
ИЛ, 1956.
135