Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

функции y1 = eλ1x , y2 = eλ2x . Они образуют фундаментальную систему решений

при λ1 ≠ λ2 отличен от нуля для любого x R . Следовательно, общее решение уравнения (15.49) в этом случае имеет вид

63

Следовательно, общее решение уравнения (15.49) в этом случае имеет вид

y = C1eλ1x + C2 xeλ1x .

Пример 1 5 . 2 7 . Найти общее решение уравнения y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид λ2 + 6λ + 9 = 0, а его корни λ1 = λ2 = −3 − действительные и равные числа. Тогда y1 = e −3x , y2 = xe −3 x −

линейно независимые частные решения. Общее решение исходного уравнения имеет вид

y = e −3 x (C1 + C2 x).

будут решениями дифференциального уравнения (15.49). В этом случае можно получить и действительные решения, если воспользоваться следующей теоремой.

64

Теорема 15.9. Если комплексная функция y =u(x) + iv(x) действительного аргумента x является решением уравнения (15.49), то действительные функции u(x) и v(x) тоже являются решениями этого уравнения.

Доказательство. Подставив значения y , y′, y′′ в уравнение (15.49),

получим

u′′(x) + iv′′(x) + p(u′(x) +iv′(x))+ q(u(x) +iv(x))= 0

или

(u′′(x) + pu′(x) + qu(x))+i(v′′(x) + pv′(x) + qv(x))= 0 ,

откуда

u′′(x) + pu′(x) + qu(x) = 0 , v′′(x) + pv′(x) + qv(x) = 0 .

Последние равенства справедливы, так как комплексная функция равна нулю тогда и только тогда, когда равны нулю ее действительная и мнимая части.

Найдем два действительных частных решения уравнения (15.49). Для этого

Следовательно, в этом случае общее решение уравнение (15.49) имеет вид

y = eαx (C1 sin βx + C2 cosβx).

65

y = e x (C1 sin 2x + C2 cos 2x).

Определим произвольные постоянные C1 и C2 по заданным начальным условиям. Дифференцируя найденное решение, имеем

y = e x (cos 2x −12sin 2x)

является частным решением.

15.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение

66

где ai , i =1, n − постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами.

Введем понятие линейной зависимости и линейной независимости системы функций y1 (x) , y2 (x) ,…, yn (x) .

Определение 15.23. Система функций yi (x) , i =1, n , называется линейно зависимой на интервале (a;b) , если существуют такие n чисел α1 ,..., αn , среди которых есть отличные от нуля, что для любого x (a;b) выполняется равенство

α1 y1 (x) + α2 y2 (x) +... + αn yn (x) = 0 .

Если же это равенство выполняется для любого x (a;b) только при αi = 0 ,

интервале(a;b) , то ни одну из них нельзя записать в виде линейной комбинации остальных функций.

Вопрос о линейной независимости частных решений y1 (x) , y2 (x) ,…, yn (x)

линейного однородного уравнения n -го порядка решается с помощью определителя Вронского (вронскиана) этих функций:

67

Теорема 15.10. Для того чтобы n частных решений линейного однородного уравнения n -го порядка были линейно независимы на интервале (a;b) ,

необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля на этом интервале. Однородное линейное уравнение n -го порядка имеет ровно n линейно независимых частных решений.

Доказательство аналогично случаю линейного однородного уравнения 2-го порядка.

Теорема 15.11. (о структуре общего решения линейного однородного уравнения). Если y1 (x) , y2 (x) ,…, yn (x) − линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения n -го порядка, то функция

y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x) ,

где C1 ,C2 ,…,Cn − произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Для линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами общее решение находится так же, как и для уравнения второго порядка.

Частные решения ищем в виде y = eλx , где λ − постоянное число. После подстановки функции y и ее производных y(i ) = λ(i) eλx в уравнение (15.51) и

сокращая полученное равенство на eλx ≠ 0 имеем следующие характеристическое уравнение

λ( n) + a1 yn−1 + a2 yn−2 + ... + an−1λ + an = 0 .

68

образуют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка и составить это уравнение.

Решение. Найдем W (x) .

дифференциального уравнения третьего порядка, которое в общем виде выглядит следующим образом:

y′′′ + α1 (x) y′′ + α2 (x) y′ + α3 (x) y = 0 .

Подставив функции y1 , y2 , y3 в это уравнение, получим систему из трех уравнений относительно функций α1 (x) , α2 (x) , α3 (x) . Решая ее, получим уравнение

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 ;

его общее решение y = C1ex + C2 xex + C3 x2ex .

70

Пример 1 5 . 3 1 . Решить уравнение yIV − y′′′ − 3y′′ + 5y′ − 2 y = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение

Общее решение уравнения имеет вид

y= C1 − C2 cos3x + C3 sin 3x + x(C4 cos3x + C5 sin 3x).

15.17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

второго порядка

Структура общего решения неоднородного уравнения

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

71

где a1 (x), a2 (x), f (x) - заданные функции, причем f (x)≠ 0 . Справедлива следующая

Теорема 15.12. (о структуре общего решения неоднородного уравнения).

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Доказательство. Обозначим через y * (x) частное решение неоднородного уравнения, а через y(x) − общее решение соответствующего однородного уравнения. Покажем, что функция

является решением неоднородного уравнения. Дважды дифференцируя

= 0 + f (x)= f (x).

Это означает, что функция (15.53) – решение неоднородного уравнения (15.52). Теперь докажем, что выражение (15.53) есть общее решение уравнения

(15.52). Для этого нужно показать, что произвольные постоянные C1 и C2 ,

входящие в общее решение y(x)= C1 y1 (x)+ C2 y2 (x) однородного уравнения

72