Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 326 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

= v ,

d 2 r

= v

dt 2

dr dt

где v − скорость движения. Подставляя в полученное уравнение, имеем:

v dvdr = −k Mr 2 .

Разделяя переменные, получаем: vdv = −kM drr 2 .

Интегрируя это уравнение, находим: v2 = kM 1 + C1 . 2 r

Из условия, что v = v0 на поверхности Земли (при r = R ), определим C1 :

v02	= kM	1	+ C	, или C = −	kM	+	v02	.

2		r	1	1	R	2

Подставим найденное значение C1 :

= kM

−

или

= kM

−

По условию тело должно двигаться так,

чтобы скорость всегда была

положительной, следовательно,

2 > 0 .

Так

как

величина км ч при

неограниченном возрастании r делается как угодно малой, то условие v2 2 > 0

будет выполняться при любом r только в случае

v02	−	kM	≥ 0 или v0 ≥	2kM .
2		R
				R

Следовательно, наименьшая скорость будет определяться равенством

v0 =	2kM	,
	R

где k = 6,66 10	−8 см3		, R = 63 107 см.
		г с2

На поверхности Земли при r = R ускорение силы тяжести равно g = 981смс2 . На основании этого получаем:

g = k RM2 или M = gRk 2 .

Подставляя значение M , получаем:

v0 = 2gR = 2 981 63 107 ≈11,2 105 смс =11,2кмс .

15.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.

Определение 15.17. Уравнение вида

b (x) y(n) + b (x) y(n−1)		+... + b (x) y = g(x) ,	(15.43)
0	1	n

где b0 (x) ≠ 0 , …, bn (x) , g(x) − заданные функции от x или постоянные, линейное

относительно

неизвестной функции y и ее

производных y′, y′′, …, y(n) ,

называется линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Функции b0 (x) , b1 (x) , …, bn (x) называются коэффициентами уравнения

(15.43), а функция g(x) − его свободным членом.

Разделив

уравнение (15.43)

на b (x) ≠ 0

и обозначив

b0 (x)

= a (x) ,

…,

b1 (x)

bn (x)

= an (x) ,

(x)

= f (x) , запишем уравнение (15.43) в виде приведенного:

b0 (x)

y(n) + a (x) y(n−1) + a

(x) y(n−2)

... + a

(x) y = f (x) .

(15.44)

Далее будем рассматривать

линейные

ДУ вида (15.44) и

считать,

что

коэффициенты и свободный член этого уравнения являются непрерывными функциями на некотором интервале (a;b) . При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (15.44) (см. теорему 15.3).

Если f (x) ≡ 0 , то уравнение (15.44) называется линейным неоднородным

уравнением (или уравнением с правой частью).
Если f (x) ≡ 0 , то уравнение (15.44) имеет вид y(n) + a (x) y(n−1)... + a		n	y = 0 и
	1
называется линейным однородным уравнением.
Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных
уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка.
′′	′		(15.45)
y	+a1(x) y +a2(x) y=0.

Сформулируем их в идее теорем.

Теорема 15.4. Если функция y = y1 (x) является решением уравнения (15.45),

то функция C y1 также является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставляя в уравнение (15.45) выражение C y1 , получим:

(C y1 )″ + a1 (x)(C y1 )′ + a2 (x)(C y1 )= C y1″ + a1 (x)y1′ + a2 (x)y1 = C 0 = 0,

т. е. C y1 − решение уравнения (15.45).

Теорема 15.5. Если y1 (x) , y2 (x) − частные решения линейного однородного уравнения (15.45), то их линейная комбинация

y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)

также является решением этого уравнения.
Доказательство. Так как y1 (x) и y2 (x)					− решения уравнения, то
y		″ + a	(x)y ′	+ a	(x)y = 0,
	1	1	1	2	1
		″ + a	(x)y ′	+ a	(x)y = 0.
y		″ + a	(x)y ′	+ a	(x)y = 0.
	1	1	1	2	1

(15.46)

(15.47)

	Подставив функцию			C1 y1	+ C2 y2					в		уравнение				(15.45) и		принимая			во
внимание тождества (15.47), имеем:
(C y + C y )″ + a (x)(C y + C y )′ + a (x)(C y + C y )= C																y ″	+ a (x)y ′ + a (x)y				+
1 1	2 2	1	1 1	2 2				2		1 1			2 2				1	1	2
															1 1					1
		+ C y ″ + a (x) y ′ + a (x) y											= C 0 + C 0				= 0 .
			2	1	2				2		2		1			2
		2
	Таким	образом,	функция				=C1 y1 (x)+ C2 y2							(x)	также		является		решением
						y

уравнения (15.45).

Это решение удовлетворяет уравнению (15.45) при любых значениях C1 и

C2 . Оно будет общим только в том случае, если при любых заданных начальных условиях y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′ постоянные C1 и C2 можно подобрать так, чтобы функция (15.46) удовлетворяла этим условиям. Решение C1 y1 +C2 y2 уравнения

(15.45) не всегда является общим. Прежде чем сформулировать условия, при которых эта функция будет общим решением, введем понятия линейной зависимости линейной независимости функций.

Определение 15.18. Функции y1 (x) , и y2 (x) называются линейно зависимыми на интервале (a;b) , если существуют числа α1 и α2 , хотя бы одно из

которых отлично от нуля, такие что α1 y1 + α2 y2 = 0 x (a;b) .

Очевидно, что функции y1 и y2

линейно зависимы тогда и только тогда,

когда они пропорциональны. Действительно, если α1 y1

+ α2 y2 = 0 и, например,

≠ 0 , то y = −

α2

или y = k y

, где

k = −

α2

α1

Определение 15.19.

Функции

y1 (x) и y2 (x) называются линейно

независимыми на интервале (a;b) , если равенство

α1 y1

+ α2 y2 = 0 имеет место

только при α1 = α2 = 0 .

Очевидно,

что если

y1 (x)

и y2 (x)

линейно независимы, то

y1 (x)

y2 (x) ≠ λ

(λ − const), т. е. функции y1 (x) и y2 (x)

не пропорциональны.

Например,

функции

y (x) = 3ex

y (x) = ex

линейно

зависимы, т. к.

(x)

= 3

= const

;

x (a;b) ;

функции

y1 (x) = sin x ,

y2 (x) = cos x

являются

y2 (x)

линейно

независимыми: равенство α1 sin x + α2 cos x = 0

выполняется

для всех

x R лишь при α1

= α2 = 0

(или

= tg x ≠ const ).

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан.

Определение 15.20. Если y1 (x) , y2 (x) − две дифференцируемые функции,

то определитель

W (x) =W (y ; y	2	)=	y1 (x)		y2 (x)
1			y ′	(x)	y	′	(x)

			1			2

называется определителем Вронского или вронскианом этих функций.

Теорема 15.6. Если дифференцируемые функции y1 (x) и y2 (x) линейно зависимы на (a;b) , то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Доказательство. Так как функции y1

и y2

линейно зависимы, то

y2 = λ y1 ,

где

λ = const

′ = λ y

′.

Поэтому

для

любого

x (a;b)

W (x) =

y1′

y2′

y1′

λ y1′

= λ

y1′

= 0 .

λ y

Замечание 15.7. Из теоремы вытекает, что если W (x) ≠ 0 хотя бы в одной

точке (a;b) , то функции y1 , y2

линейно независимы на (a;b) .

Пусть

y1 (x) ,

y2 (x)

−

частные

решения линейного однородного

дифференциального уравнения второго порядка. Тогда справедлива

Теорема 15.7. Для того чтобы два частных решения уравнения (15.45) были линейно независимы на интервале (a;b) , необходимо и достаточно, чтобы их

определитель Вронского был отличен от нуля на этом интервале. Доказательство. Необходимость. Пусть функции y1 (x) и y2 (x) являются

линейно независимыми на (a;b) решениям уравнения	(15.45). Докажем, что
W (x) ≠ 0 всюду на (a;b) . Допустим противоположное,		что существует точка
x = x0 (a;b) , в которой W (x0 ) = 0 . Выберем числа α1	и	α2 , одновременно не
равные нулю, так, чтобы они были решениями системы

α1 y1 (x0 )+ α2 y2 (x0 ) = 0,
									(15.48)
				)+ α		y	′(x		(15.48)
α y ′(x			0	)+ α	2	y	′(x	0	) = 0.
	1	1	0		2		2	0

Это можно сделать, так как определитель системы (15.48) есть вронскиан и W (x0 ) = 0 (по предположению). Тогда в силу теоремы 15.5 функция y = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) будет решением уравнения (15.45) с нулевыми начальными условиями y(x0 ) = 0 , y′(x0 ) = 0 (по (15.48)).

Но таким же условиям удовлетворяет и тривиальное решение y ≡ 0 . В силу теоремы существования и единственности решение, удовлетворяющее этим

начальным	условиям,	может	быть	только	одно,	следовательно,
α1 y1 (x) + α2 y2 (x) ≡ 0 на (a;b) , т. е. функции y1 ,				y2 − линейно независимы на (a;b) ,

что противоречит условию теоремы. Значит, наше допущение неверно и W (x) ≠ 0

x (a;b) .
Достаточность. Пусть W (x) ≠ 0		всюду на (a;b) . Докажем, что функции
y1 (x) и y2 (x) − линейно независимы на этом интервале.
Допустим противное, т. е.	y1 (x)	и y2 (x) являются линейно зависимыми
функциями на (a;b) . Тогда по	теореме (15.6) W (x) ≡ 0 x (a;b) , т. е. не

существует x (a;b) , где W (x) ≠ 0 ,

что противоречит условию. Следовательно,

допущение неверно и функции y1 (x)

и y2 (x) − линейно независимы.

Пример 1 5 . 2 3 .

Можно

непосредственно

показать,

что

линейно

независимые

функции

y (x) = x2 ,

(x) = x3

являются решениями

уравнения

y′′ -

y′ +

y = 0 ( x ≠ 0 ). Эти решения линейно независимы, так как при x ≠ 0 их

определитель Вронского отличен от нуля: W (x) =

= x4 ≠ 0 при x ≠ 0 .

2x 3x2

Определение 15.21. Совокупность любых двух линейно независимых на

интервале

(a;b) частных решений y1 (x)

и y2 (x)

линейного

однородного

дифференциального уравнения второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация y = α1 y1 (x)+α2 y2 (x).

Пример 1 5 . 2 4 .	Частные	решения	y1 =sin x	и	y2 = cos x ,			y3 = 2sin x ,
y4 = 5cos x (их бесчисленное		множество)	уравнения			y′′ + y = 0		образуют
фундаментальную систему решений; решения же				y1	=0	и y2	= cos x − не
образуют.
Теперь можно сказать, при каких условиях функция (15.46) будет общим
решением уравнения (15.45).
Теорема 15.8 (о	структуре общего		решения		линейного		однородного
уравнения второго порядка). Если два частных решения y1 (x) и y2 (x)								уравнения

(15.45) образуют на интервале (a;b) фундаментальную систему, то функция

(15.46), где C1 , C2 − произвольные постоянные, является общим решением уравнения (15.45).

Доказательство. Достаточно доказать, что

1. функция (15.46) является решением уравнения (15.45) при любых C1 и

C2 ;

2. Из этой функции можно получить частное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям: y(x0 ) = 0 , y′(x0 ) = 0 , x0 (a;b) .

Первое утверждение вытекает из теоремы 15.5. Для доказательства второго утверждения запишем систему линейных алгебраических уравнений:

C1 y1 (x0 )+ C2 y2 (x0 )= y0 ,

			y	′(x0 )=	y		′.
C y ′(x0 )+ C		2	y	′(x0 )=	y		′.
	1 1	2		2		0

где C		,		C			2	− неизвестные					числа; x	, y	0	, y		′ заданы						начальными условиями
	1						2						0		0			0
y(x0 ) = y0 ,								y′(x0 ) = y0′. Определитель этой системы												y1 (x0 )							y2 (x0 )						=W (x0 ) равен
y(x0 ) = y0 ,								y′(x0 ) = y0′. Определитель этой системы												y1 (x0 )							y2 (x0 )						=W (x0 ) равен
																				y ′	(x		0	)			y	2	′(x		0	)
																				1			0					2			0
значению вронскиана W (x)													при x = x0 .
	Так как решения y1 (x) и y2 (x)															образуют				фундаментальную															систему
решений						на			(a;b)		и	x0 (a;b) , то,		согласно теореме 15.7,																W (x0 ) ≠ 0 .					Значит
система				уравнений							имеет		единственное		решение:					C = C						0	=		1					y0	y2 (x0 )	,
																										0			1					y0	y2 (x0 )
																																		y0′	y2′(x0 )

																			1						1				W (x0 )
																													W (x0 )
C = C		0	=					1		y1 (x0 )		y0	. Решение	y	= C		0	y (x) + C			0	y (x)								является частным
		0						1		y1 (x0 )		y0					0				0
										y ′(x )		y ′
					W (x )
2		2			W (x )											1		1			2		2
2		2														1		1			2		2
									0	1	0	0

решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (15.45) при

любых y0 и y0′.

Пример 1 5 . 2 5 . Найти общее решение уравнения y′′ + y = 0 .

Решение. Легко проверить, что функции y1 (x) = sin x , y2 (x) = cos x

являются решениями данного уравнения. Так как их определитель Вронского

W (x) =	sin x	cos x	= −1 ≠ 0 x R , то они линейно независимы и функция
	cos x	− sin x

y = C1sinx + C2 cos x является общим решением исходного уравнения.

15.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 15.22. Уравнение вида

y′′+ py′ + q = 0 ,

(15.49)

где p , q − действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения уравнения (15.49) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 15.8).

Будем искать частные решения уравнения (15.49) в виде y = eλx , ( λ −

некоторое число (предложено Л.Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза

и подставляя выражения y′ = λeλx		и y′′ = λ2eλx	в уравнение (15.49), получаем
eλx (λ2 + pλ + q) = 0 . Т. к. eλx ≠ 0 , то
λ	2	+ pλ + q = 0 .	(15.50)

Следовательно, eλx будет решением дифференциального уравнения (15.49), если λ − корень квадратного уравнения (15.50).

Уравнение (15.50) называется характеристическим уравнением для (15.49).

При решении характеристического уравнения (15.50) возможны следующие три случая:

корни характеристического уравнения λ1 и λ2 действительны и различны:

λ1 ≠ λ2 (D = p2 4 − q > 0).

λ1

λ2

− действительные

равные:

λ1 = λ2

= p

− q

= 0, λ1 =

2 = −

λ1

λ2

−

комплексно-сопряженные:

λ1 = α + iβ,

λ2 = α - iβ, β ≠ 0

4 − q < 0, α = −

, β =

q − p

4 > 0

D = p

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Пусть λ1 , λ2 − действительные и различные корни характеристического

уравнения.

В этом

случае частными решениями уравнения

(15.49)

являются

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 326 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]