Решение систем дифференциальных уравнений
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются так же, как и отдельные дифференциальные уравнения. Каждое из уравнений системы преобразуется по Лапласу, а затем полученная система линейных алгебраических уравнений решается относительно изображений решения.
Проиллюстрируем метод на конкретном примере.
x′(t)− 3x(t)− 5y(t)= 0,
Пример 1 8 . 2 0 . Найти частное решение системы ( ) ( ) ( )
y′ t + 2x t + 8y t = 0,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)= 2 , |
y(0)= 5 . |
|
Решение. |
Пусть |
x(t)÷ X (p) |
и |
y(t)÷ Y (p), |
x′(t) ÷ pX ( p) − 2, |
y(t) ÷ pY ( p) −5.
Преобразованная система будет иметь вид
X (p)(p − 3)− 5Y (p)= 2,2X (p)+ Y (p)(p + 8)= 5.
Решим ее по формулам Крамера
∆ = |
|
p −3 |
−5 |
|
= p2 |
+5p −14, ∆x |
= |
|
2 |
|
−5 |
|
= 2p +41, ∆y = |
|
p −3 |
2 |
|
=5p −19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
p +8 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
p +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
X ( p) = |
2 p +41 |
|
= |
|
|
2 p + 41 |
= |
|
|
5 |
− |
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
p + 5 p −14 |
( p − 2)( p + 7) |
|
p − 2 |
|
p + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( p) = |
5 p −19 |
|
= − |
|
1 |
|
|
+ |
6 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − 2)( p + 7) |
|
p − |
2 |
|
p + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое решение равно
x(t) = 5e2t − 3e−7t ; y(t) = −e2t + 6e−7t .
