Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3230 31 32 > Следующая >>>

′

2 pω

t sin ωt

÷ −

( p

+ ω

)

Найти оригинал изображения F( p) =

−1

( p2

+1)2

−1

′

Решение. Так как

= −

÷ cos t , то по формуле

( p

+1)

(18.22) имеем

−1

′

÷t cos t .

= −

( p

+1)

p +1

Теорема 18.12 (интегрирование изображения). Если f (t) ÷ F( p) и

f (t)

оригинал, то

f (t)

∞

÷ ∫ F( p)dp,

(18.24)

т. е. операции интегрирования изображения по бесконечному контуру, принадлежащему правовой полуплоскости, соответствует операция деления оригинала на t .

Доказательство. Положим		f	(t) =	f (t)	; f	(t) F ( p) . По правилу
Доказательство. Положим		f	(t) =		; f	(t) F ( p) . По правилу
		1		t	1		1
				t
дифференцирования изображения и F1 (∞) = 0 , получим
	f (t)					′	( p) .
f (t) = t		= t f1	(t) ÷ F( p) = −F1
f (t) = t		= t f1	(t) ÷ F( p) = −F1
	t

Интегрируем последнее равенство в пределах от p до + ∞.

293

∞

∫ F (

Отсюда следует

Следовательно,

∞
p)dp = −∫ F1′( p)dp = F1	(∞)+ F1 (p) = F1 (p).
p

F1	( p) = ∫	F ( p)dp , но F1 ( p) ÷ f (t) .
	∞
	p		t

	f (t)	∞
		÷ ∫ F( p)dp .
	t
		p

Пример 1 8 . 1 0 . Найти изображение оригинала sht t .

Решение. Так как sht ÷ p21−1, то применяя формулу (18.24), находим

sh t	∞	dp		1		p +1
	÷ ∫		=		ln		.
t		2		2
	p	p −1				p −1

18.4. Свертка функций

Определение 18.4. Сверткой двух оригиналов f1 (t) и f2 (t) называется функция, обозначаемая f1 (t) f2 (t) и определяемая равенством

f1 (t) f2 (t) = ∫t	f1 (τ) f2 (t − τ)dτ.	(18.25)
0
Свертка (18.25) также является оригиналом с показателем роста so		= max(s1 , s2 ),
где s1 , s2 − показатели роста оригиналов	f1 (t) и f2 (t) соответственно.

294

Свертка оригиналов обладает следующими свойствами, присущими операции обычного умножения:

1.f1 (t) f2 (t) = f2 (t) f1 (t) (коммутативность).

2.( f1 (t) f2 (t)) f3 (t) = f1 (t) ( f2 (t) f3 (t)) (ассоциативность).

3.(c1 f1 (t) + c2 f2 (t)) f3 (t) = c1 ( f1 (t) f3 (t)) + c2 ( f2 (t) f3 (t)) (линейность).

Пример 1 8 . 1 1 . Найти свертку оригиналов f1 (t) = t и f2 (t) = e2t .

Решение.

f1 (t) f2 (t) = t e2t = ∫t	τe2(t−τ) dτ = −	1	τe2(t−τ)	t0	+	1	∫t	e2(t−τ) dτ = −	1	t −	1	+	1	e2t .

		2				2			2		4		4
0							0

18.5. Теорема умножения изображений

Теорема 18.13 (Бореля). Если f1 (t) F1 ( p) и f2 (t) F2 ( p) , то

f1 (t) f2 (t) F1 ( p) F2 ( p),

(18.26)

т. е. свертке оригиналов соответствует произведение изображений.

Доказательство. По определению

t	∞	− pt t		∞	t	− pt	dτ.
f1 (t) f2 (t) = ∫ f1 (τ) f2 (t − τ)dτ÷∫e		∫ f1 (τ) f2	(t − τ)dτ) dt = ∫dt∫ f1 (τ) f2 (t −τ)e				dτ.
0	0	0		0	0

В полученном повторном интеграле изменим порядок интегрирования по бесконечной области D (рис. 18.4).

τ =t

f1 (t) f2 (t) ÷ ∫∞ f1 (τ)dτ∫∞ f2

(t − τ)e−pt dt =

t −

= ∫∞ f1 (τ)dτ∫∞ f2 (z)e−p( z+τ) dz =

Рис. 18.4 t

295

∞

= ∫ f1 (τ)e−pτdτ∫ f2 (z)e−pz dz = F1 ( p) F2 ( p) .

Пример 1 8 . 1 2 . Найти

оригинал

f (t)

по его

изображению

F( p) =

( p2 + 4)( p2 + 9)

Решение. Так как F( p) =

÷cos 2t ,

÷cos3t , то

p2 + 9

p2 + 4

p2 + 9

по теореме Бореля

f (t) = cos 2t cos 3t .

Найдем эту свертку:

cos 2t cos3t = ∫t					cos 2τcos3(t − τ)dτ =					1	∫t	(cos(3t − τ) + cos(5τ −						3t)dτ =
										2
				0							0
	1	sin(3t − τ)	t		1	sin(5τ−3t)	t	1	sin 2t +				1	sin 3t +		1	sin 2t +		1	sin 3t =

= −			+				= −
	2			10				2					2		10			10
			0				0

= 53 sin 3t − 52 sin 2t .

Итак, f (t) = 15 (3sin 3t − 2sin 2t) .

Для удобства пользования операционными методами полученные ранее результаты сведем в таблицы.

296

Основные операционные соотношения

Таблица 18.1

№

Оригинал

Изображение

Примечание

п/п

1(t)

Re p > 0

Re p > 0, c C

Re p > 0

pn+1

eat

Re p > Re a, a C

p − a

sin ω t

Re p > 0,

ω R

p2 +ω2

cos ωt

Re p > 0,

ω R

p2 +ω2

shωt

Re p >

, ω R

p2 −ω2

chωt

Re p >

ω R

p2 −ω2

297

Таблица 18.2

Основные операционные правила

№

Оригинал

Изображение

Примечание

п/п

c1 f1 (t) + c2 f2 (t)

c1F1 ( p) +c2 F2 ( p)

Линейность

преобразования

Лапласа

f (αt), α > 0

Теорема подобия

eλt f (t),

λ C

F ( p − λ)

Теорема смещения

(изображения)

f (t − b),

b > 0

e−bp F( p)

Теорема

запаздывания

(оригинала)

n−1

n−2

′

Правило

f (n )(t)

p F( p) − p f (0) − p f

дифференцирования

(0) −... −

− pf (n−2)(0) − f (n−1)(0)

оригинала

F( p)

Правило

∫ f (τ)dτ

интегрирования

оригинала

− tf (t)

F ′( p)

Правило

дифференцирования

изображения

f (t)

∞

Правило

∫F( p)dp

интегрирования

изображения

Вычисление

f (t) = f (t +T )

∫ f (t)e− pt dt

изображения

периодического

1 − e− pT

оригинала

f1 (t) f2 (t)

F1 ( p) F2 ( p)

Теорема Бореля

18.6. Интеграл Дюамеля

Пусть

f1 (t) и

f2 (t)

–

оригиналы,

непрерывные и дифференцируемые на

[0,∞].

Пусть

(t) ÷ F ( p) ,

(t) ÷ F ( p) и

f ′(t) , f

′

(t) существуют и являются

оригиналами.

298

По теореме о дифференцировании оригинала f2′(t) ÷ pF2 ( p) − f2 (0) .

Рассмотрим свертку

f1 (t) f2′(t) = ∫t f1 (τ) f2′(t − τ)dτ.

По теореме Бореля

∫t f1 (τ) f2′(t − τ)dτ÷ F1 ( p)(pF2 ( p) − f2 (0)).

или

∫t f1 (τ) f2′(t − τ)dτ÷ pF1 ( p)F2 ( p) − F1 ( p) f2 (0) .

Так как f2 (0) = const , то в силу свойства линейности

f1 (t) f2 (0) F1 ( p) f2 (0) .

Сложим почленно два последние операционные соотношения:

∫t	f1 (τ) f2′(t − τ)dτ+ f1 (t) f2 (0) ÷ pF1 ( p)F2 ( p) .		(18.27)
0
Эта формула называется формулой Дюамеля. Если f2 (0) = 0 ,			то формула
принимает вид
	∫t	f1 (τ) f2′(t − τ)dτ ÷ pF1 ( p)F2 ( p) .	(18.28)
	0

Интеграл ∫t f1 (τ) f2′(t − τ)dτ называется интегралом Дюамеля.

299

Формуле Дюамеля можно придать другую форму, используя свойства коммутативности свертки.

Пример 1 8 . 1 3 . Найти оригинал f (t) по изображению F( p) =																																p	.
																																p2 −1	.
																																p2 −1
Решение.								F( p) = p						1			1		.	Учитывая, что				F		( p) =				1	,	f (t) = et ,
Решение.								F( p) = p						p −1		p +1			.	Учитывая, что				F		( p) =		p		−1	,	f (t) = et ,
														p −1		p +1								1				p		−1		1
																								1								1
F ( p) =	1			,	f		(t) = e−t ,			f				(0) =1,			f ′(t) = −e−t , по формуле Дюамеля получим
F ( p) =	p +	1		,	f		(t) = e−t ,			f		2		(0) =1,			f ′(t) = −e−t , по формуле Дюамеля получим
2	p +	1				2												2
2						2												2
	p			1				1	÷−∫t				eτe−(t−τ)dτ+et 1 = −e−t ∫t										e2τdτ+et = −		1		e−t e2τ		t0 +et			=
				1				1																	1
			p −1					p +1
			p −1					p +1		0										0				2
									= −		1			e−t e2t	+		1	e−t		+ et =	1	(e−t + et )= cht .
									= −	2				e−t e2t	+		2	e−t		+ et =		(e−t + et )= cht .
										2							2			2

Формула Дюамеля широко применяется, например, в электротехнике при решении дифференциальных уравнений специального вида.

18.7. Методы нахождения оригинала по изображению

Табличный метод

Суть этого метода заключается в том, что по заданному изображению F ( p)

в простейших случаях, в таблицах операционных соотношений находят соответствующий данному изображению оригинал. Если изображение F ( p) в

таблицах отсутствует, то его выражают через табличные функции, используя при этом известные операционные правила.

В целом ряде задач приходится находить оригиналы по изображениям, которые являются правильными рациональными дробями. Так как всякая

300

правильная рациональная дробь разлагается на простейшие, то очень важно уметь находить оригиналы для простейших дробей.

Известны четыре вида простейших дробей:

Ap + B

p − a

( p − a)n

p2 + bp + c

(p2 + bp + c)n

причем p2

+ bp + c не имеет вещественных корней, n =1,2...

Напишем для них оригиналы.

÷ Aeat .

− a

÷ Aeat

t n−1

. При получении этой формулы было использовано

( p − a)n

(n −1)!

известное

операционное

соотношение

t n

и теорема смещения

pn+1

F( p − a) ÷ eat f (t) .

3. Выделим полный квадрат в знаменателе третьей дроби, получим

Ap + B

A p +

B − A

p2 + bp + c

b 2

p +

c −

p +

c −

A( p − α)

( p − α)2 + β2

где −

= α,

c −

=β2 ,

B − A

= B .

Применим теорему смещения к операционными соотношениям

301

cosβt ÷ p2 +p β2 и sinββt ÷ p2 1+ β2 .

Тогда соответственно получим:

A( p − α)	÷ Aeαt cos βt;	B1	÷ B eαt	sinβt	.

( p − α)2 + β2		( p − α)2 + β2	1	β

Следовательно,

Ap + B	÷ Ae2t cos βt + B eαt	sin βt	,

p2 + bp + c	1	β

где α = − b , β =		c − b2			,	B = B − Ab .
	2		4			1	2

4.	Ap + B				A( p − α) + B
			=				1	.
	( p2 + bp + c)n			(			2 )n
					( p − α) + β

Для нахождения оригинала четвертой дроби необходимо рассмотреть дроби

p	и	1	.
(p2 + β2 )n		(p2 + β2 )n

Например, при n = 2 , воспользовавшись теоремой Бореля, получим

cosβt sin βt =

∫t

cosβτsinβ(t − τ)dτ =

+ β

(p2 + β2 )

+ β

∫

(sinβt + sin β(t − 2τ))dτ =

τsin βt +

cosβ(t − 2τ)

2β 0

2β

t sinβt

cosβt −

cosβt

t sinβt .

2β

302

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3230 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]