∫ |
f (z)dz = 2πi |
n |
Re s f (z). |
(17.34) |
|
∑ z=zk |
|
Г |
|
k =1 |
|
|
Из теоремы следует, что если функция f (z) есть аналитическая на всей расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек z1 , z2 ,...., zn . то сумма всех вычетов функции f (z), включая и вычет в точке z = ∞, равна нулю
n |
|
|
|
∑ Re s f (z)+ Re s f (z) = 0 . |
k=1 |
z=z |
k |
z=∞ |
|
|
Особые точки аналитических функций и вычеты в них играют важную роль в комплексном анализе. С помощью вычетов можно вычислять различные интегралы, не прибегая к предельному переходу или не находя первообразных. Вычеты применяются при решении задач методами операционного исчисления, методами теории аналитических функций.
Теорема 17.13 и следствие из нее позволяют вычислять интегралы по замкнутым кривым, когда подынтегральная функция в области, ограниченной такой кривой, имеет особые точки.
С помощью вычетов можно вычислять некоторые определенные интегралы.
Интеграл вида 2∫πR(sin t,cost)dt , где R(sin t, cos t) – дробно-рациональная функция
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от sin t и cost , заменой |
e it = z , |
sin t = eit |
− e−it |
= |
z − z−1 |
, |
cos t = |
z + z−1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
2i |
|
2 |
|
dz = i ei t dt = i z dt приводится к интегралу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
z − z−1 |
|
z + z |
−1 |
|
dz |
|
|
|
|
|
∫ R(sin t,cost)dt = ∫ |
R |
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
2i |
2 |
|
|
iz |
|
|
|
|
0 |
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
273
который вычисляется с помощью основной теоремы о вычетах. В самом деле, так как z = eit , t [0,2π] – уравнение окружности z =1, то функция z = ei t отображает отрезок [0,2π] на окружность z =1, ориентированную положительно
|
∞ |
f |
(x)dx = 2πi |
n |
|
|
> 0, |
e |
|
∫ |
R s f (z), Im z |
|
|
|
|
∑ z=zk |
|
k |
|
|
|
−∞ |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
если функция |
f (z) аналитична в области |
Im z > 0 (верхняя полуплоскость), за |
исключением |
конечного |
числа особых |
точек z1 , |
z2 ,…, zn |
этой области и |
непрерывна вплоть до оси X , несобственный интеграл |
∞∫ f (x)dx сходится и |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
lim ∫ f (z)dz = 0,
R→∞ ΓR
где ΓR – верхняя полуокружность |
|
z |
|
= R , Im z > 0 (рис. 17.8). |
|
|
Ошибка! |
Y |
|
ГR |
|
|
|
|
|
|
|
– R |
|
0 |
R |
|
x |
|
|
Рис. 17.8 |
|
|
Аналогично можно получить |
|
|
|
|
∞ |
f (x)dx = −2πi |
n |
|
< 0, |
|
∫ |
Re s f (z), Im z |
|
|
|
∑ z=zk |
k |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
Пример 1 7 . 7 . Найти вычет функции f (z) = z cos z 1−1 в особой точке.
|
Решение. Точка z0 =1 является |
существенно |
особой точкой данной |
|
функции. Тогда вычет равен коэффициенту c−1 |
|
ряда Лорана для данной функции в |
|
окрестности точки z0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re s = z cos |
1 |
|
|
= −1 |
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
z=1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. пример 17.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 17.8. Вычислить интеграл |
∫ |
|
|
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=2 e |
|
−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как подынтегральная функция |
|
|
имеет внутри круга |
|
ez −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 ≤ 2 одну особую точку z = 0 (полюс первого порядка), то имеем
∫ |
|
|
|
dz |
|
= 2πi Re s f (z) = 2πi |
1 |
|
|
|
= 2πi |
1 |
|
|
= 2πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 e |
z |
−1 |
(ez −1)′ |
|
|
e |
z |
|
|
z=0 |
|
|
|
|
|
z−1 |
|
|
|
|
z=0 |
|
|
|
z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методы теории функции комплексного переменного широко применяются при решение многих задач электротехники, гидродинамики, теории теплопроводности, фильтрации, различных областей физики, механики и т. п.
276
18.ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
18.1Оригинал и изображение
Пусть (f )tдействительная функция действительного аргумента t.
Определение 18.1. Оригиналом называется функция f (t) , определенная на
всей числовой оси t и удовлетворяющая условиям:
1.(f )t непрерывна во всей области определения, за исключением, возможно,
конечного числа точек разрыва первого рода на любом отрезке конечной длины;
2.f (t) = 0 t < 0 ;
3.(f )t при t → +∞ возрастает не быстрее показательной функции, т. е.
существуют такие постоянные M > 0 и s ≥ 0 , что
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
≤M est |
t ≥ 0 |
(18.1) |
|
|
Определение 18.2. Точная |
нижняя |
грань so всех чисел s, для которых |
выполняется неравенство (18.1) |
называется показателем роста оригинала |
f (t) , |
т. е. sо = inf s . |
|
|
|
|
|
Замечание 18.1. Оригинал |
f (t) может быть и комплексной функцией |
|
f (t ) = f1 (t ) + if2 (t)
действительного аргумента t. Каждая из функций f1 (t) и f2 (t) в этом случае,
должна удовлетворять условиям 1-3, наложенным на оригинал. Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда
график которой изображен на рис. 18.1.
f (t)
1
t
Рис. 18.1
Очевидно, что для этой функции выполняются условия 1–2. Проверим выполнение условия 3.
Из неравенства
(t) = 1 ≤ est s ≥ 0 , t ≥ 0
следует, что при M=1 и s ≥ 0, условие 3 выполняется. Показатель роста so =0.
Любую функцию f (t) , определенную на R, с помощью единичной функции
Хевасайда можно записать в виде:
0, |
t < 0, |
f (t) (t) = |
t ≥ 0, |
f (t), |
Поэтому, если f (t) – оригинал, то можно всякий раз не оговаривать, что f (t) = 0
t < 0 , а пользоваться указанным произведением. Но так как в дальнейшем будут рассматриваться только функции-оригиналы, то для упрощения записи множитель (t) будем опускать и, как правило, писать f (t) вместо f (t) (t) .
F (p)
|
Пример 1 8 . 1 . |
Предполагая, |
что f (t) = f (t) |
(t) , установить, какие из |
функций являются оригиналами: а) |
f (t) = eat ; б) f (t) = t k , k > 0 ; в) f (t) = cos t ; |
г) |
f (t) = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Функция eat является оригиналом, так как она непрерывная на |
R; |
f (t) = 0 t < 0 , т. е. |
условия 1-2 |
выполняются. |
|
f (t) |
|
= |
|
eat |
|
= eat ≤ est s ≥ a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ≥ 0 . Из последнего соотношения следует выполнение условия 3 при M =1 и s ≥ a . Показатель роста оригинала so =a.
б) Степенная функция t k (k >0) удовлетворяет условиям 1–2. Кроме того,
любая степенная функция t k (k >0) растет медленнее, чем показательная функция
|
est , |
s > 0 . Применяя правило Лопиталя, легко проверить, что lim |
t k |
= 0 |
s > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→∞ est |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, M > 0 такое, что |
|
≤ M t ≥ 0 |
или |
|
t k |
|
≤ Mest s ≥ 0 , |
t ≥ 0, |
|
|
|
|
|
est |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. t k (k > 0) является оригиналом с показателем роста s =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
в) Функция cost является оригиналом, так как для ее выполняются условия |
|
1-2. |
Кроме того, |
|
|
cos t |
|
≤1 ≤ est s > 0 , t ≥ 0, т. е. |
условие 3 выполняется при |
|
|
|
|
M =1 и s ≥ 0 . Показатель роста so = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г). Функция |
1 |
не является оригиналом, также lim |
1 |
= +∞, т. е. t = 0 точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t→0+0 t |
|
разрыва II рода; условие 1 не выполняется.
Каждому оригиналу f (t) (комплексному или действительному) поставим в соответствие функцию комплексного переменного p = s + iω,
определенную как интеграл
F(p) =∫∞ f (t)e−ptdt |
(18.2) |
0 |
|
Определение 18.3. Интеграл, стоящий в правой части равенства (18.2) называется интегралом или преобразованием Лапласа функции f (t) . Функция
F( p) называется изображением оригинала f (t) .
Интегральное преобразование Лапласа (18.2) лежит в основе операционного исчисления, начало которому положил английский инженер-электрик О.Хевисайд (1850–1925). Разработав операционное исчисление, Хевисайд не дал ему обоснования. В двадцатых годах прошлого столетия операционное исчисление получило обоснование в работах ряда математиков.
|
|
Тот |
|
|
факт, что F( p) является изображением |
оригинала f (t) , условно |
|
записывают равенствами |
F( p) = Lf (t) |
или |
f (t) = L−1 F( p) , |
либо обозначают |
|
символически |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) F(p) |
|
|
или |
F( p) f (t) |
|
|
|
и называют операционными соотношениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1 8 . 2 . Найти изображения оригиналов: |
|
|
|
|
а) f (t) = (t); б) f (t) =eat , a C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По формуле (18.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) F( p) = ∫∞ |
(t)e−pt dt =∫∞ e−pt dt = lim |
e−pt |
|
b |
= − |
1 |
lim(e−pb −1) = |
1 |
|
npu |
Re p > 0. |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
b→+∞ − p |
0 |
|
|
|
p b→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t ) ÷ |
1 |
, |
Re p>0 |
|
|
|
|
|
(18.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
b |
|
|
1 |
lim(e−( p−a)b −1)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) F( p) = |
|
|
eat e− pt dt = e−( p−a)t dt =lim− |
|
|
e−( p−a)t |
|
= − |
|
|
0 |
|
p − a |
0 |
p − a |
|
|
|
|
0 |
|
b→+∞ |
|
|
|
|
b→+∞ |
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
npu Re(p −a) =Re p −Rea >0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
p −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак,
at |
1 |
, Re p>Re a. |
(18.4) |
e |
÷ |
|
p−a |
Естественно встает вопрос, для всякого ли оригинала f (t) существует изображение F( p) ? Ответ на этот вопрос дает теорема, которую приведем без
доказательства.
Теорема 18.1 (существования и аналитичности изображения). Для всякого
оригинала |
f (t) изображение F( p) представляет собой функцию комплексного |
переменного p = s + iω, определенную |
в полуплоскости Rep =s >so , где so – |
показатель |
роста оригинала, и аналитическую в указанной полуплоскости |
(рис. 18.2). |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
Re p > so |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
Рис 18.2
Теорема 18.2 (поведение изображения на бесконечности). Если F(p)
изображение некоторого оригинала, то
lim F( p) = 0 . |
(18.5) |
Re p→+∞ |
|
Доказательство. Пусть F( p) изображение оригинала f (t) . Тогда при
Rep =s >so для интеграла Лапласа справедлива оценка
|
|
F ( p ) |
|
= |
∫∞ |
f (t )e − pt dt |
≤ ∫∞ |
|
f (t ) |
|
|
|
e −( s +iω) t |
|
dt = ∫∞ |
|
f (t ) |
|
e − st ≤ M ∫∞ e so t e − st dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= M ∫∞ e −( s −so ) t dt = − |
|
M |
|
e −( s −so ) t |
|
∞ |
= |
|
|
|
M |
|
|
, Re p = s > so . |
(18.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
s − so |
|
|
|
0 |
|
|
|
− so |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя в (18.6) к пределу при Re p = s → +∞ , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
F( p) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re p→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы 18.1 и 18.2 следует, что не всякая функция F( p) , комплексного |
переменного p, может быть изображением некоторого оригинала |
f (t) . Например, |
функция |
F(p)=ctg p |
имеет бесчисленное |
|
|
множество |
полюсов |
|
|
|
k z . |
|
pk =kn |
, |
Поэтому |
нет |
такой |
полуплоскости |
Rep =s >so , |
в |
которой |
ctg p является |
аналитической функцией. Функция F(p) = |
|
|
|
|
p |
|
также не является изображением, |
|
p −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
F( p) = lim |
|
|
|
|
|
p |
|
|
=1 ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re p→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Re p→+∞ p − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 18.3 (единственности оригинала). Если две непрерывные функции f1 (t) и f2 (t) имеют одно и то же изображение F( p) , то они тождественно равны
(без доказательства).
