Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

17.6. Нули и изолированные особые точки аналитических функций

Пусть f (z) есть однозначная аналитическая в области D функция. Нулем функции f (z) называется комплексное число z0 , для которого f (z0 ) = 0 .

Из представления (17.22) аналитической функции f (z) в окрестности точки

z0

∞

f (z) = ∑cn (z − z0 )n

n=0

следует, что, если z = z0 – нуль функции f (z), то c0 = 0 .

Говорят, что точка z = z0 является нулем порядка k функции f (z), если коэффициенты c0 , c1 ,..., ck −1 ряда (17.22) равны нулю, a ck ≠ 0 . При k = 1 нуль z = z0 называется простым. Если z0 есть нуль порядка k функции f (z), то можно представить

f (z) = (z − z0 )k ϕ (z), ϕ(z0 ) ≠ 0 ,

где ϕ(z) – аналитическая в окрестности точки z = z0 функция

∞

ϕ(z) = ∑ck +m (z − z0 )m

m=0

Теорема 17.12. Для того чтобы точка z = z0 была нулем порядка k функции f (z), необходимо и достаточно выполнения соотношений:

f (z0 ) = 0, f ′(z0 ) = 0, f ( k −1) (z0 ) = 0, f ( k ) (z0 ) ≠ 0.

263

Точки называют изолированными, если их можно окружить непересекающимися окрестностями, сколько малыми бы они не были. Нули

в этом случае сходится во всякой точке z, лежащей внутри этой окрестности, кроме точки z = z0 и изображает функцию f (z) всюду внутри окрестности, кроме точки z0 .

В основу классификации изолированных особых точек однозначной функции f (z) положен способ ее разложения в окрестности таких точек.

степеней. В этом случае точка z0 называется существенно особой точкой функции f (z) .

264

Таким образом по виду ряда Лорана для функции f (z) в окрестности точки z0 можно определить тип особой точки z0 .

Классифицируем особые точки по характеру поведения функции f (z) в их окрестности.

Определение 17.13. Особую точку z0 называют устранимой особой точкой функции f (z) , если существует предел этой функции в данной точке

lim f (z) = c , c =const .

z→z0

Чтобы устранить особенность f (z) в точке z0 , достаточно положить

f (z0 ) = limz z f (z) = c .

→ 0

В окрестности устранимой особой точки функция f (z) ограничена.

Определение 17.14. Особую точку z0 называют полюсом функции f (z) ,

если

lim f (z) = ∞.

z→z0

265

Критерии типа бесконечно удаленной особой точки, связанные с рядом Лорана, изменяются в сравнении с критериями для конечных особых точек. Если z = ∞ является устранимой особой точкой функции f (z) , то ее лорановское разложение в окрестности этой точки не содержит положительных степеней z , если z = ∞ – полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z , а когда z = ∞ – существенно особая точка, то разложение включает бесконечное множество положительных степеней z .

Разложение в ряд Лорана функции f (z) в окрестности z = ∞ имеет вид

266

Решение. а) f (z) = sinz3 z . Особые точки z0 = kπ, k = 0,±1,..., где sin z = 0 . В

этих точках lim f (z) = ∞. При k = 0 z0 = 0 есть полюс второго порядка, так как

z→z0

z0 = 0 есть нуль первого порядка для числителя и нуль третьего порядка для знаменателя:

Точки z0 = kπ, k = ±1, ± 2,... являются нулями третьего порядка для sin 3 z , а для дроби есть полюсы третьего порядка.

Тот факт, что z0 =1 – существенно особая точка данной функции, подтверждает ее разложение в ряд Лорана (пр. 17.4), которое содержит бесконечное число отрицательных степеней z −1.

17.7.Вычеты и их приложения

1.Вычет аналитической функции относительно изолированной особой точки.

Если функция f (z) есть аналитическая в точке z0 , то по теореме Коши

∫ f (z) dz = 0 ,

Г

где путем интегрирования Г служит произвольный гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точку z0 и малый настолько, что функция f (z) остается аналитической всюду внутри этого контура, включая точки самого контура. Если же z0 будет изолированной особой точкой функции f (z) и замкнутый контур Г

267

целиком лежит в окрестности этой точки z0 , то значение ∫ f (z) dz будет, вообще

Г

говоря, отличным от нуля. Это значение, как следует из теоремы Коши, не зависит от формы контура Г и легко может быть вычислено. В самом деле, в

который будет равномерно сходиться на линии Г, так как контур Г лежит в окрестности точки z0 . Интегрируя почленно ряд (17.26) вдоль линии Г, получим:

1 ∫ f (z)dz

2πi Г

268

Так как правая часть последнего равенства есть степенной ряд, то его сумма будет непрерывной функцией в точке z0 . Тогда, переходя к пределу при z,

стремящемся к z0 , получим:

c−1 = limz z (z − z0 )f (z),

→ 0

то есть

Пусть, в частности, функция f (z)= ψϕ ((zz)) , где функции ϕ(z) и ψ(z)

270

В случае, когда z = z0 – существенно особая точка функции f (z), то для отыскания вычета Re s f (z) надо найти коэффициент c−1 разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки z0 .

3. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.

Понятие вычета можно распространить на случай бесконечно удаленной точки. Предположим, что бесконечно удаленная точка z = ∞ является изолированной особенностью функции f (z), и обозначим через Г произвольный замкнутый контур, лежащий целиком в окрестности этой точки, например, за Г можно взять окружность достаточно большого радиуса. По-прежнему, условимся

контуру Г в отрицательном направлении, так как контур Г нужно проходить по часовой стрелке, чтобы бесконечно удаленная точка оставалась все время с левой стороны. В окрестности точки z = ∞ разложение Лорана имеет вид:

Вычет функции f (z) относительно бесконечно удаленной точки равен коэффициенту при первой отрицательной степени 1z разложения Лорана,

взятому с противоположным знаком.

271

Слагаемое cz−1 принадлежит правильной части ряда Лорана. Если функция f (z) в точке z = ∞ имеет устранимую особенность, то не всегда вычет равен нулю, например, для функции 1z вычет

Re s 1 = −1.

z=∞ z

4. Основная теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Определяющей в теории вычетов является:

Теорема 17.13 (основная теорема о вычетах). Пусть функция f (z) есть аналитическая в односвязной области D, за исключением конечного числа особых точек z1 , z2 ,...., zn и Г – произвольный кусочно-гладкий замкнутый положительно

k =1,n , так, чтобы эти окружности не пересекались (рис. 17.7) и целиком лежали внутри контура Г. По теореме Коши для многосвязной

272