Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3226 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Выполним два разреза M1 N1 и M 2 N2 и добавим к границе области D линии

M1 N1 , N1M1 , M 2 N2 , N2 M 2 . В результате область D превратим в односвязную.

По теореме (17.2) Коши

∫+ ∫	+ ∫ +	∫ +	∫	+ ∫ +	∫ = 0 ,	(17.13)
Г M1 N1	γ1−	N1M1	M 2 N2	γ2−	N2 M 2

где γ1− , γ−2 , контуры, ориентированные по часовой стрелке, т. е. противоположно контуру Г . Так как

∫	= − ∫ ,	∫	= − ∫ ,	∫	= −∫ , k =1,2,
M1 N1	N1M1	M 2 N2	N2 M 2	γk−	γk

то из равенства (17.13) получим (17.12).

Из теоремы Коши следуют формулы, связывающие значение аналитической функции f (z) в любой точке z D со значениями этой функции в граничных точках области D .

Теорема 17.4.	Пусть	f (z) – аналитическая функция в								замкнутой
односвязной ориентированной области D с границей Г . Тогда										для любой
внутренней точки z D
		f (z)=			1	∫	f (ξ)dξ.			(17.14)

				2πi Г			ξ − z
Формула (17.14) называется интегральной формулой Коши.
Теорема 17.5.	Пусть	f (z)	–		аналитическая функция в					замкнутой
многосвязной области D		с	внешним контуром Г и внутренними
непересекающимися	между	собой	контурами γk , k =						. Тогда	для любой
								1,n
внутренней точки z D

253

f (z) =	1		f (ξ) dξ −	1	n	f (ξ) dξ.
		∫			∑ ∫		(17.15)

	2πi Г		ξ − z	2πi k =1 γk		ξ − z

Формула (17.15) называется интегральной формулой Коши для многосвязной области.

Так как аналитическая функция имеет производные любого порядка, то,

дифференцируя (17.14), найдем
f (n) (z) =	n!	∫	f (ξ)n+1 dξ.	(17.16)

	2πi Г		(ξ− z)

Формулы (17.14 – 17.16) дают возможность вычислять интегралы

			f (ξ)
			Г∫ ξ − z dξ = 2πi f (z),			(17.17)
∫		f (ξ)n+1	dξ = 2πi	f (n) (z),	ξ Г, z D .	(17.18)
Г	(ξ− z)		n!
Таким образом,		если	f (z) – аналитическая в области D			функция
(выполняются условия		Коши-Римана		(17.2)),	то ∫ f (z)dz вычисляется по
					l

формулам (17.10), (17.11), если f (z) не является аналитическая в области D , то интеграл вычисляют по формулам (17.7), (17.8), (17.9), (17.12), (17.17), (17.18)

соответственно.

Замечание 17.2. Если f (z) аналитическая функция, то интеграл можно считать и по формулам (17.7), (17.8), (17.9).

254

Пример 1 7 . 2 . Вычислить ∫Im zdz , где l – прямолинейный отрезок,

соединяющий точки zA = (0;0) и zB =(2;1) .

Решение.

Подынтегральная

функция

w =u +iv = Im z = y

не

является

аналитической в комплексной плоскости.

Здесь

z = x +iy, dz = dx + idy,

u = y,

v = 0.Уравнение линии

l : y =

, тогда dy =

1 dx. По формулам (17.7),

(17.8)

получим ∫Im zdz = ∫ydx −0dy +i∫0dx + ydy = ∫2

+i∫1

ydy =

0 2

Пример 1 7 . 3 . Вычислить интеграл

∫sin2 zdz,

где Г – любой замкнутый

контур, который не проходит через точку z =0 .

Решение.

Если

точка

z = 0

находится

вне

контура

Г ,

то

функция

f (z) =

sin z

аналитическая на контуре Г

и в области D , ограниченной этим

контуром. Тогда по теореме Коши ∫sin2 zdz = 0.

Если же точка z = 0 , где f (z) не определена, принадлежит области D ,

ограниченной контуром

Г , то по формуле (17.18)

∫sin2 z dz =

2πi (sin z)′

= 2π i cos0 = 2π i .

Г z

z=0

17.5. Ряды аналитических функций

Пусть fn (z), n =1,2,... – последовательность аналитических функций.

Определение 17.10. Ряд вида

f1 (z)+ f2 (z)+... + fn (z)+... = ∑∞	fn (z),	(17.19)
n=1

255

членами которого являются функции fn (z), называется функциональным рядом.

Пусть Sn (z) = ∑ fk (z) – его n -ая частичная сумма, n =1,2,... . Ряд (17.19)

k =1

сходится к сумме f (z), если lim Sn (z) = f (z).

n→∞

Определение 17.11. Функциональный ряд (17.19) называется сходящимся к функции f (z), если для любого ε > 0 можно указать номер N = N(ε, z) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство

f (z) − Sn (z) < ε.

Множество D точек z , в которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Если ряд (17.19) сходится к сумме f (z), то

f (z) = ∑∞ fn (z) = Sn (z) + rn (z),

n=1

где rn (z) = fn+1 (z) + fn+2 (z) +... = f (z) − Sn (z) есть остаток ряда.

Ряд (17.19) сходится в точке z тогда и только тогда, когда lim rn (z) = 0 .

n→∞

Определение 17.12. Функциональный ряд (17.19) называется равномерно сходящимся в области D к сумме f (z), если для любого ε > 0 можно указать такой номер N = N(ε), что при всех n ≥ N

f (z) − Sn (z) = rn (z) < ε

для любого z D .

256

Теорема 17.6 (признак Вейерштрасса). Если члены ряда				∑∞		fn (z)
				n=1
удовлетворяют неравенствам		fn (z)	≤ an для любого z D , n =1, 2,..., где an		≥0 , а
удовлетворяют неравенствам		fn (z)	≤ an для любого z D , n =1, 2,..., где an		≥0 , а
∞			∞
числовой ряд ∑an	сходится, то ряд ∑ fn (z) сходится равномерно в области				D .
n 1			n=1
=

Приведем некоторые свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Если

члены

ряда ∑∞

fn (z) являются

области

аналитическими

n=1

f (z), то f (z) есть

функциями и этот ряд сходится равномерно в

к сумме

аналитическая в D функция.

Пусть члены равномерно сходящегося в области D

ряда ∑∞

fn (z) являются

n=1

аналитическими функциями в

и этот ряд сходится к

f (z) в

равномерно.

Тогда

ряд

∑∞

fn (z) можно

почленно

интегрировать

вдоль любой кривой l ,

n=1

расположенной в D , причем

∫

∞

(z)dz .

∑ fn

(z) dz

=∑∫ fn

n=1

n=1 l

Если ряд

∑∞

fn (z) аналитических в D

функций сходится в каждой точке

n=1

области D ,

а ряд

∑∞

fn′(z)

сходится в

равномерно,

то ряд

∑∞

fn (z) можно

n=1

почленно дифференцировать в D , причем

∑∞

(z) ′ =

∑∞

fn′(z).

n=1

При определении области сходимости комплексных функциональных рядов можно пользоваться, например, признаками Коши или Д’Аламбера. Именно, если существует

257

lim n	fn (z) = L(z)	или	lim	fn+1 (z)	= L(z),

				fn (z)
n→∞			n→∞

∞

то ряд ∑ fn (z) сходится абсолютно при L(z)<1 и расходится при L(z)>1.

n=1

Справедлива

Теорема 17.7 (Вейерштрасса). Пусть fn (z), n =1, 2,... есть аналитические в

∞

замкнутой области D функции и ряд ∑ fn (z) сходится равномерно в D к сумме

n=1

f (z). Тогда

f (z) аналитична в области D .

Рассмотрим частный случай функциональных рядов – степенные ряды.

Ряд

∑∞

cn (z − z0 )n ,

(17.20)

n=0

где cn = an

+ ibn , an , bn R , z = x + i y , z0

= x0

+ i y0 ,

называется комплексным

степенным рядом по степеням z − z0 . При z0

= 0 имеем степенной ряд

∞

∑cn zn .

(17.21)

n=0

∞

Теорема 17.8 (Абеля). Если степенной ряд ∑cn zn

сходится при z

= z , то он

n=0

сходится, и притом абсолютно, при всяком z ,

для которого

т. е., если

данный ряд сходится в точке z* , то он абсолютно сходится во всякой точке, лежащей внутри окружности с центром в нулевой точке, проходящей через точку z* .

Таким образом, для каждого степенного ряда (17.20) существует круг сходимости ряда z − z0 < R с центром в точке z = z0 и радиусом R ≥ 0 .

258

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если этот ряд сходится при z − z0 < R и расходится при z − z0 > R . Если R = 0, степенной ряд сходится в единственной точке z = z0 . Если R =∞, то ряд сходится на всей комплексной плоскости.

В соответствии с признаками Д’Аламбера и Коши

R = lim	cn	или R = lim 1	,
	cn+1
n→∞		n→∞ n cn

если эти пределы существуют.

Теорема 17.9. Пусть R > 0 – радиус сходимости степенного ряда (17.20).

Тогда этот ряд можно почленно дифференцировать в круге z − z0 < R любое число раз. Получаемые при дифференцировании ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Ряд (17.20) можно почленно интегрировать вдоль любой гладкой кривой, расположенной в круге z − z0 < R .

Аналитическую функцию в каждой внутренней точке области аналитичности можно разложить в степенной ряд вида (17.20)

					∞
					f (z) = ∑cn (z − z0 )n .				(17.22)
					n=0
Теорема 17.10.				Пусть	функция	f (z) аналитическая			в замкнутой
односвязной области D с границей Γ и z0						– внутренняя точка области D . Тогда
имеет место разложение в ряд
∞		( n)	(z0 )				f ''(z0 )
f (z) = ∑	f		(z0 )	(z − z0 )n	= f (z0 ) + f '(z0 )(z − z0 ) +		f ''(z0 )	(z − z0 )2	+..., (17.23)
f (z) = ∑		n!		(z − z0 )n	= f (z0 ) + f '(z0 )(z − z0 ) +			(z − z0 )2	+..., (17.23)
n=0		n!				2!

259

причем ряд сходится в круге z − z0 < r , где r – расстояние от точки z0 до контура

Γ .

Ряд (17.23) называется рядом Тейлора функции f (z) в окрестности точки z0 . При z0 = 0 ряд называют рядом Маклорена

∞	f	( n)	(0)
f (z) = ∑				zn .	(17.24)

n=0	n!
Итак, всякая функция f (z) ,		аналитическая в круге				z − z0	< r ,

раскладывается в сходящийся в этом круге степенной ряд (17.22), коэффициенты cn которого определяются формулами

cn =	f ( n) (z0 )	=	1	f (ξ)dξ	,	(17.25)
	n!		2πi	∫γ (ξ− z0 )n+1

где γ – окружность z − z0 = ρ < r , r расстояние от центра разложения z = z0 до ближайшей особой точки функции f (z) в области D .

На окружности круга сходимости степенного ряда всегда имеется по крайней мере одна точка, в которой функция перестает быть аналитической. Эта точка называется особой точкой функции. Например, точка разрыва функции является ее особой точкой. Следовательно, радиус сходимости ряда Тэйлора равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции f (z) .

Обобщением ряда Тэйлора является ряд Лорана, содержащий

положительные и отрицательные степени z − z0 , в			который	раскладывается
аналитическая в кольце r <	z − z0	< R функция.

Теорема 17.11. Функция		f (z) , аналитическая	в кольце	r <	z − z0	< R ,

раскладывается внутри этого кольца в сходящийся ряд

260

∞	∞	c−n
f (z) = ∑cn (z − z0 )n + ∑		c−n
f (z) = ∑cn (z − z0 )n + ∑		(z − z0 )n
n=0	n=1	(z − z0 )n

∞
= ∑cn (z − z0 )n .	(17.26)

n=−∞

Коэффициенты этого ряда определяются формулами

∫

f (z)

dz ,

c−n =

∫ f (z)(z − z0 )n−1 dz ,

(17.27)

2πi γ

(z − z0 )n+1

2πi γ

где γ – окружность

z − z0

= ρ, r < ρ < R .

Разложение (17.26) единственно.

Ряд (17.26) называют рядом Лорана функции

f (z) в окрестности точки

∞

z = z0 .

Ряд

Лорана

состоит

из

двух частей:

степенного ряда

∑cn (z − z0 )n ,

n=0

сходящегося в круге

z − z0

< R ,

который называют правильной или регулярной

∞

c−n

частью ряда Лорана, и ряда ∑

, сходящегося при

z − z0

> r , называемого

(z − z0 )n

n=1

главной частью ряда Лорана.

Область сходимости ряда (17.26) есть кольцо r <

z − z0

< R ,

r < R . Если

r > R ,

то

ряд

всюду

расходится.

Кольцо

может

вырождаться

области

0 <

z − z0

< R , r <

z − z0

< ∞, 0 <

z − z0

< ∞.

При помощи ряда Лорана аналитическая в кольце r <

z − z0

< R

функция

может быть представлена в виде

f (z) = f1 (z) + f2 (z) ,

где f1 (z)

аналитическая в

круге

z − z0

< R

и раскладывается по положительным степеням z − z0 ,

f2 (z) –

аналитическая

вне

круга

z − z0

> r

функция,

раскладывающаяся по

отрицательным степеням

z − z0 . Это представление используют при разложении

функции в ряд Лорана.

261

Разложение в ряд Тэйлора или Лорана выполняют либо по формулам

(17.23) – (17.27) соответственно, либо используя известные разложения для

ez ,

sin z, cos z, sh z, ch z,

(1 + z)m ,

ln(1 ± z) и других функций.

Ряд Тэйлора для аналитической в окрестности точки z0 функции

f (z)

является частным случаем ряда Лорана, когда коэффициенты c−n = 0, n =

1,∞

Пример 1 7 . 4 . Разложить в

ряд

Лорана

функцию

f (z) = z cos

z −1

окрестности точки z0

=1. Указать область сходимости ряда.

Решение. Разложение в ряд в окрестности точки z0

=1 есть разложение по

∞

(−1)

(z*)

степеням z −1. Воспользуемся известным разложением

cos z* = ∑

(2n)!

n=0

z *

< ∞, взяв z* =

. Представим

−1

f (z) =[(z −1)+1] cos

=[(z −1)+

1] 1

−

−...

z −1

2! (z −1)

(z −1)

= (z −1) +1 −

−

+ ....

(z −1)

(z −1)2

(z −1)3

Получили ряд по степеням z −1. Так как ряд cos z * сходится при всех z * < ∞, то

полученный ряд сходится при	1	< ∞ , т. е. при 0 <	z −1	< ∞.

	z −1

262

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3226 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]