Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

аналитической в точке z0 , если она дифференцируема как в самой точке z0 , так и в некоторой ее окрестности. Функция w = f (z) называется аналитической

(голоморфной, регулярной) в области D , если она аналитична в каждой точке этой области.

Точка z0 , в которой функция f (z) аналитична, называется правильной точкой функции. Если же f (z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z0 и не аналитична в самой точке z0 или не определена в ней, то z0

называется особой точкой функции f (z).

Теорема 17.1. является также необходимым и достаточным условием и для аналитичности функции в точке z0 .

Произвольная комплекснозначная функция f (z), вообще говоря, не является дифференцируемой (аналитической) в смысле определения 17.5, даже если функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы. Они должны быть связаны

∂∂ux =1,

∂∂vy = −1, ∂∂uy = ∂∂vx = 0 , т. е.условия (17.2) не выполняются ни в одной точке (x, y).

Следовательно, функция f (z) = z не дифференцируема (не аналитична) ни в одной точке комплексной плоскости.

Производные аналитических функций находят, используя определение элементарных функций комплексного переменного, определение производной и правила дифференцирования, а также соотношения (17.3). Производная аналитической функции также является аналитической функцией. Таким образом, аналитическая функция имеет производные любого порядка.

243

причем функции u(x, y) и v(x, y) имеют непрерывные частные производные до

действительной или мнимой частью аналитической в этой области функции. По известной действительной u(x, y) или мнимой части v(x, y) аналитической функции (предварительно убедившись, что u или v есть гармоническая функция), используя условия Коши-Римана, можно определить сопряженную гармоническую функцию v(x, y) или u(x, y) соответственно, и тем самым восстановить саму аналитическую функцию f (z). Пусть, например, дана функция

244

u(x, y). Проверяем, является ли она гармонической, и , если u(x, y) −

v = ∫ ∂∂vyd y + ϕ(x) = ∫ ∂∂uxd y + ϕ(x),

где ϕ(x) − неизвестная функция. Чтобы найти ϕ(x), полученную функцию v(x, y)

подставим во второе уравнение Коши-Римана

∂∂vx = − ∂∂uy , , ∂∂uy = − ∂∂x ∫ ∂∂uxd y − ϕ′(x).

Отсюда, с точностью до константы, находим ϕ(x) и тем самым функцию v(x, y).

Аналогично, если известна функция v(x, y), то

u = ∫ ∂∂uxd x + ψ(y)= ∫ ∂∂ vyd x + ψ(y),

где ψ(x) − неизвестная функция. Из второго условия (17.2) получим

∂∂y ∫ ∂∂vyd x + ϕ′(y)∂∂uy = − ∂∂vx .

Найденную из этого соотношения с точностью до константы функцию ψ(x)

представляем в выражении для u(x, y).

245

17.3. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Конформное отображение

Выясним геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции f (z). Из определения производной получим

растяжения бесконечно малых векторов в точке z0 при отображении w = f (z) и не

246

плоскости Cz , поворачиваются при отображении w = f (z) на один и тот же угол arg f ′(z0 ). В этом и состоит геометрический смысл аргумента производной аналитической функции.

Итак, отображение с помощью аналитической функции w = f (z) обладает в каждой точке z0 , где f ′(z0 )≠ 0 , свойствами постоянства растяжений и сохранения

(консерватизма) углов, другими словами, есть отображение подобия в бесконечно малом.

Определение 17.8. Отображение одной плоской области на другую плоскую область, осуществляемое однозначной непрерывной функцией w = f (z)

называется конформным в точке z , если все бесконечно малые дуги, выходящие из этой точки, при отображении поворачиваются на один и тот же угол и получают одно и то же растяжение.

Если при этом сохраняются не только величины углов, но и направления их отсчета, то говорят о конформном отображении первого рода, если же

247

направления отсчета углов изменяются на противоположные, то отображение называют конформным второго рода.

Следовательно, отображение, устанавливаемое с помощью аналитической функции w = f (z) есть конформное во всех точках, где f ′(z)≠ 0 . И обратно, если однозначная функция w = f (z) дает конформное отображение, то f (z) есть аналитическая функция с производной, не равной нулю.

17.4. Интегрирование функций комплексного переменного

Наиболее часто применяются интегралы от функций комплексного переменного вдоль линий на комплексной плоскости.

Пусть в области D комплексной плоскости определена однозначная и непрерывная функция f (z)= u(x, y)+ i ν(x, y) и l – кусочно-гладкая или гладкая ориентированная кривая в D с начальной точкой A и конечной точкой B

(рис. 17.5).

248

Отсюда следует, что существование интеграла (17.6) равносильно существованию криволинейных интегралов

∫u dx − v dy и ∫v dx + u dy .

функций u (x, y) и v(x, y) действительных переменных x и y .

Если гладкая кривая l задана уравнением z = z (t)= x(t)+ i y (t), t [α,β], то

249

Интеграл ∫ f (z)dz , вообще говоря, зависит от пути интегрирования. Однако,

l

если f (z) аналитическая функция в односвязной области D и l D , то значение

интеграла не зависит от линии интегрирования l , а только от начальной и конечной точки этой линии. Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница

где A и B начальная и конечная точки линии l (рис. 17.5), F(z) – первообразная для f (z), аналитическая в области D функция, F′′(z)= f (z). Методы вычисления

интегралов от аналитических функций в комплексном анализе те же, что и в действительном (замена переменных, интегрирование по частям и т. д.). В частности, если путь интегрирования является лучом, исходящим из точки z0 = A

результатов теории функций комплексного переменного является теорема Коши.

контура Г , целиком принадлежащего области D , равен нулю

251