Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

действительной частью функции w = f (z) и обозначается Re f (z), а функция v = v(x, y) называется мнимой частью функции w = f (z) и обозначается Im f (z).

Однозначную функцию w = f (z) комплексной переменной z геометрически можно интерпретировать следующим образом. Пусть D есть некоторое множество точек на комплексной плоскости Cz. Функция w = f (z), определенная на D, ставит каждой точке z D в соответствие комплексное число w = u + iv , которое изображается точкой на другой комплексной плоскости Cw , и тем самым

Образ множества D при отображении f на плоскости Cw образует некоторое множество E = f (D). Многозначную функцию w = f (z) геометрически нельзя

истолковать как отображение одной плоской фигуры на другую. В этом случае функцию можно рассматривать как отображение на более сложных геометрических образах – римановых поверхностях. Многозначную функцию исследуют, например, выделяя ее отдельные ветви, одна из которых называется главным значением функции.

В комплексном анализе за некоторое множество точек обычно принимают область плоскости, определение которой приведем ниже.

Пусть D есть множество точек расширенной комплексной плоскости С. При любом фиксированном числе ε > 0 множество всех точек z C ,

233

удовлетворяющих неравенству z − z0 < ε, образует на С внутреннюю часть круга радиусом ε с центром в точке z0 . Это множество называют ε-окрестностью точки z0 и обозначают Uε (z0 ). Исключив из окрестности Uε (z0 ) точку z0 , получим

связным, если две любые его точки А и В можно соединить непрерывной кривой (или ломаной), полностью расположенной в D (рис. 17.2).

Определение 17.2. Областью называется множество D точек плоскости, удовлетворяющее условиям:

1)D состоит только из внутренних точек;

2)любые две точки множества можно соединить ломаной с достаточно большим числом звеньев так, чтобы все точки этой линии принадлежали самому множеству.

Таким образом, область есть открытое, связное множество.

Область D с присоединенной к ней границей Г является замкнутой и

обозначается D . Область D называется n-связной, если ее граница состоит из n

234

связных, непересекающихся множеств. Например, круг z < R есть односвязная область, кольца 0 < z < R , r < z < R – двухсвязные области. Единственным

примером области без границы служит расширенная комплексная плоскость С. Введем понятия предела и непрерывности функции комплексной

переменной.

•

Пусть функция w = f (z) определена в проколотой окрестности U ε (z0 )

точки z0 , называется непрерывной в точке z0 , если существует

limz z f (z) = f (z0 )

→ 0

Функция f (z) непрерывна в точке z0 = x0 +iy0 тогда и только тогда, когда функции u и ν непрерывны в точке (x0 , y0 ) .

Функция f (z) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

235

На функцию комплексного переменного f (z) распространяются многие

определения, утверждения, связанные с понятием предела и непрерывности

комплексные числа, также однозначная функция, определенная и непрерывная

где коэффициенты a0 , a1 , ...,an , b0 , b1 ,...,bm в общем случае комплексные числа,

−

однозначна, определена и непрерывна на всей плоскости C , за исключением тех точек , где знаменатель обращается в нуль.

Показательная функция w = ez комплексной переменной z = x + iy

определяется равенством

ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + isin y).

действительно,

236

ez+2 πi = ex+( y+2π)i = ex (cos( y + 2π) + isin( y + 2π)) = ex (cos y + isin y) = ex+iy = ez .

показательной функция z = eiw . Полагая w = u + iw, z = z eiϕ , ϕ = arg z, получим

z = z eiϕ = eu+iv = eu eiv .

237

При k = 0 получим главное значение логарифма

ln z = ln z + i arg z .

Таким образом,

w = Ln z = ln z + 2k πi, k Z

есть многозначная функция, определенная для всех z ≠ 0 . Если z действительное положительное число, arg z = 0 и главное значение логарифма совпадает с логарифмической функцией ln x действительного переменного.

С помощью логарифмической функции можно определить степенную функцию w = zα с любым показателем α ( α − комплексное число)

w = zα = eα Ln z = eα( Ln z +2kπi ) ,

т. е. степень комплексного числа, вообще говоря, является многозначной функцией, значение zα = eαln z при k = 0 называется главным значением степени.

Показательная функция w = a z , a ≠ 0 − комплексное число, определяется через ez и Ln a следующим образом

w = az = ez Ln a .

238

Обратные тригонометрические и гиперболические функции также выражаются через логарифмическую функцию и являются многозначными

w = Arcsin z = −i Ln (i z ± 1 − z2 ),

w = Arccos z = −i Ln (z ± z2 −1),

w = Arcsh z = Ln(z + z2 +1),

w = Arcch z = Ln(z + z2 −1),

w = Arcth z = 12 Ln11 +− zz ,

w = Arccth z = 12 Ln zz +−11 .

Приведем пример отображения области с помощью однозначной функции комплексного переменного.

Пример 1 7 . 1 . Найти образ f (D) области D , где D − четверть круга

239

z ≤1,Re z ≥ 0,Im z ≥ 0

при отображении w = z2 .

Решение. Представим z и w в показательной форме z = reiϕ , r = z ,

17.2. Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции. Условия Коши-Римана

Пусть f (z) есть функция комплексного переменного, определенная и однозначная на некотором множестве D и z0 − предельная точка этого

240

множества, т. е. в каждой окрестности этой точки содержится бесконечное множество точек, принадлежащих D .

Определение 17.5. Производной функции f (z) в точке z0 называется

z → z0 , если этот предел существует, т. е.

Определение 17.6. Функция w = f (z), имеющая в точке z0 производную,

называется дифференцируемой или моногенной в этой точке. Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Если выполнено соотношение (17.1), то разделив его на ∆z ≠ 0 и перейдя к

пределу при ∆z → 0 , получим f ′(z0 )= A . Равенство (17.1) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции w = f (z) в точке z0 . Так как A = f ′(z0 ), то

f (z0 + ∆z)− f (z0 )= f ′(z0 )∆z + o(∆z ).

Отсюда, в частности следует, что функция f (z), дифференцируемая в точке z0 , непрерывна в этой точке.

241

Из определения производной и свойств пределов функций комплексного переменного вытекает, что основные правила, известные из дифференциального исчисления функций действительных переменных, распространяются и на производные по множеству от функций комплексных переменных.

В определении производной функции f (z) в точке z0 предполагается, что

достаточно, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были непрерывно дифференцируемы в той же точке (как функции двух действительных переменных) и выполнялись условия

Условия (17.2) имеют основное значение в теории функций комплексного переменного и в приложениях к задачам механики и физики. Они называются условиями Коши-Римана или условиями Д’Аламбера-Эйлера. Если представить z = reiϕ , то уравнения (17.2) примут вид

242