Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Ряд Фурье для функции f (x) на отрезке [0,l] содержит только синусы:

f (x) = ∑ f (x)sin nπx							,
			∞
			n=0		l
где
b =	2	l	f (x)sin	nπx		dx.
b =		l	f (x)sin			dx.
n	l ∫0			l
	l ∫0			l

Пример 16.16. Разложить в ряд Фурье а) по косинусам; б) по синусам

					π
	x		x 0,		2	,
функцию					2
функцию	f (x) =	π	π
		π	π
		2	x	, π .
		2	2

		π
		2
	− π −	π 0	π			x
− 2π		π 0	π	π	2π	4π
− 2π		2	2	π	2π	4π
	Рис. 16.4
Продолжим	f (x) на отрезок [− π,0]				четным образом, затем периодически

продолжим ее с периодом 2π на всю ось Ox . Для полученной функции имеем:

		2	π	π	π			3
		2	2		π			3
a0	=		∫ xdx + ∫			dx	=		π;
a0	=		∫ xdx + ∫		2	dx	=	4	π;
		π	0	π	2			4
				2

223

π π

2 cos nx

xsin nx

sin nx

∫ xcos nxdx +

∫ cos nxdx

	2		nπ
=		cos		− 1 ; bn	= 0
=	πn2	cos	2	− 1 ; bn	= 0
	πn2		2

Так как периодически продленная функция является непрерывной, то дляx [0,π] справедливо равенство

	3		2	∞	1		nπ
f (x) =		π +		∑		cos		− 1 cos nx.
	8				n2		2
			π n=1

б)

− π	−	2	π	− π	π	π	2π	π	4	π	х
3		2		− π	2	π		3	4		х
					2

Рис 16 5

График функций с нечетным продолжением на отрезок [− π,0] продлен периодически с периодом 2π на всю ось Ox (рис. 16.5). Для этой функции

an = 0 n = 0,1,2,...

π π

∫ xsin nxdx +

∫sin nxdx

sin nx −

cos nx

−

sin nx

πn

224

= π2n2 sin n2π + (−1)n n+1 .

Так как полученная функция непрерывна в точке x = 0 и разрывна в точке x = π , то

∞	2				nπ		(−1)n+1		x [0,π)
f (x) = ∑				sin		+		sin nx
		πn	2		2		n
n=1

В точке x = π S(x) = 0.

16.24. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Пусть f (x) L2 [− l,l] − периодическая функция с периодом T = 2l.

Известно, что если эта функция представима сходящимся тригонометрическим рядом (16.59), то коэффициенты этого ряда определяются формулами (16.58).

Воспользовавшись формулами Эйлера,
cos αx =	eiαx + e−iαx	,	sin αx =	eiαx − e−iαx	,

2			2

можно получить другую форму записи тригонометрического ряда Фурье.

∞

nπx

f (x) =

+ ∑ an

cos

+ bn

sin

n=1

inπx

− inπx

inπx

− inπx

∞

+ e

− e

+ ∑

+ bn

(16.62)

n=1

225

∞

− ib

inπx

+ ib

−

inπx

+ ∑

e l +

n=1

Введем обозначения:

− ib ),

+ ib )

(16.63)

−n

Тогда ряд (16.62) можно записать

∞

inπx

−inπx

f (x) = c0 + ∑

cn e

+ c−n e

n=1

или

∞

inπx

f (x) = ∑cn e

(16.64)

n=−∞

Ряд (16.64) называется комплексным рядом Фурье. Найдем коэффициенты этого ряда, использовав формулы (16.58) и (16.63):

1 l cn = 2l −∫l

f (x) cos

c0 = 21l ∫l f (x)dx,

−l

nπx		nπx		1 l
	− isin		dx =
l				2l −∫l
		l

−inπx

f (x)e l dx,

nπx

1 l

inπx

c−n

∫

f (x) cos

+ isin

dx =

∫ f (x)e

l dx n N .

2l −l

Выражения для c−n

и cn можно записать одной формулой:

226

−inπx

n = 0,±1,±2,...

f (x)e l

(16.65)

2l −∫l

В рядах Фурье в комплексной форме принята

терминология: e

inπx

называются

гармониками,

числа

αn =

nπ

n = 0,±1,... −

волновыми

числами

∞

функции

f (x) = ∑cn eiαn x ,

множество

всех волновых

чисел –

спектром,

n=−∞

коэффициенты cn − комплексными амплитудами.

16.25. Интеграл Фурье

Рассмотрим множество кусочно-непрерывных и абсолютно интегрируемых

∞

на R функций, т. е. функций, для которых ∫ f (x)dx существует. Это множество

−∞

обозначают L′. На любом отрезке [− l,l] функция f (x) L′ разложима в ряд Фурье. Запишем ряд Фурье в комплексной форме для k Z.

	1	∞	l	−ikπt		ikπx
f (x) =		∑	∫ f (t)e		dt e		.	(16.66)
				l		l

	2l k =−∞ −l

Полагая uk	=	kπ	, имеем	∆uk = uk +1 − uk	=	π	, k Z.
		l				l

Выражение (16.66) примет вид

	1	∞	∞	1	∞ l
f (x) =		∫ du ∫ f (t)e−iuk t dt eiuk x ∆uk =			∑ ∫ f (t)eiuk ( x−t ) dt ∆uk .	(16.67)

	2π−∞		−∞	2π k =−∞ −l

227

Выражение (16.67) можно рассматривать как интегральную сумму для

функции g(u) = ∫ f (t)eiu ( x−t ) dt на R . Так как f L′, то l можно взять сколь угодно

−l

большим. Переходя к пределу в (16.67), получим

	1	∞	∞
f (x) =	1	∫ du ∫ f (t)ei( x−t )u dt, x R .		(16.68)
f (x) =		∫ du ∫ f (t)ei( x−t )u dt, x R .		(16.68)
	2π −∞		−∞

Формулу (16.68) называют интегралом Фурье функции f (x) в комплексной форме.

Преобразуем (16.68) к виду

f (x) =	1	∞	1	∞	−iut		iux	dx,
f (x) =		∫		∫ f (t)e		dt e		dx,
	2π −∞		2π −∞

получим соотношения:

F(u) =	1	∞	(16.69)
		∫ f (t)e−iut dt,
	2π −∞

f (x) =	1	∞	(16.70)
		∫ F(u)eiux dx ,
	2π −∞

которые называют преобразованиями Фурье, где F(u) − прямое преобразование Фурье, а f (x) − обратное преобразование Фурье. F(u) называют также спектральной функций интеграла Фурье.

В интеграле Фурье (16.68) запишем

228

eiu ( x−t ) = cos(x − t)u + isin(x − t)u .

Тогда

	1	∞	∞
f (x) =	1	∫ du ∫ f (t)(cosu(x − t) + isin u(x − t))dt .		(16.71)
f (x) =		∫ du ∫ f (t)(cosu(x − t) + isin u(x − t))dt .		(16.71)
	2π−∞		−∞

Формулу (16.71) называют тригонометрической формой интеграла Фурье.

С учетом свойств четности и нечетности функций, интегрируемых по симметричному промежутку, имеем

	1	∞	∞
f (x) =	1	∫ du ∫ f (t)cosu(x − t)dt .		(16.72)
f (x) =		∫ du ∫ f (t)cosu(x − t)dt .		(16.72)
	π 0		−∞

Формулу (16.72) называют интегралом Фурье в вещественной форме.

Так как,

e−iut = cosut − i sin ut, eixu = cosux + i sin ux ,

то формулы (16.69) и (16.70) примут вид:

F(u) =	1	∞	i	∞
		∫ f (t)cosutdt −		∫ f (t)sin utdt,
	2π −∞		2π −∞

f (x) =	1	∞	i	∞
		∫ F(u)cosuxdt +		∫ F(u)sin uxdx .
	2π −∞		2π −∞

229

Если f (x) − нечетная, то

∞

∫ f (t)cosutdt = 0.

−∞

Тогда

F(u) = −	i	∞
		∫ f (t)sin utdt,
	2π −∞

f (x) =	i	∞
		∫ F(u)sin uxdx,
	2π −∞

или, введя обозначения,

F (u) = iF(u) =	2 ∞ f (t)sin utdt
s	π∫0
s

f (x) = π2	∞	π2	∞
f (x) = π2	∫0 iF(u)sin uxdu =	π2	∫0	Fs (u)sin uxdu .

(16.73)

(16.74)

Формулы (16.73) и (16.74) называют синус − преобразованиями Фурье.

Если функция f (x) − четная, то

F(u) =	1	∞
		∫ f (t)cosutdt,
	2π −∞

230

f (x) =	1	∞
		∫ F(u)cosuxdu
	2π −∞

или

	π∫0		f (t)cosutdt,	(16.75)
F (u) = 2		∞
c

f (x) = π2	∞
f (x) = π2	∫0	Fc (u)cosuxdu .	(16.76)

Формулы (16.75) и (16.76) называют косинус – преобразованиями Фурье.

231

17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

17.1. Функции комплексного переменного

Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего понятия функции.

Пусть даны две комплексные переменные z = x + i y и w = u + iv ,

принадлежащие множествам D и E соответственно.

Определение 17.1. Комплексная переменная w называется функцией от комплексной переменной z, принадлежащей множеству D, если по некоторому правилу или закону каждому значению z D ставится в соответствие одно или некоторая совокупность значений w E .

Функция называется однозначной, если каждому z D ставится в соответствие только одно число w E , и многозначной, если ставится в соответствие несколько значений w E .

Функциональную зависимость между переменными z и w обозначают,

например, w = f (z). Говорят, что функция	f (z) определена на множестве D и
принимает значения w = f (z) из множества E.
\Функция w = f (z) преобразует	комплексные числа z = x + i y в

комплексные числа w = u + iv . Для каждого z D

w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).

Таким образом, комплекснозначную функцию комплексной переменной z = x + i y можно рассматривать как пару действительных функций u = u(x, y) и v = v(x, y) двух действительных переменных x и y. Функция u = u(x, y) называется

232

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]