Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

lim

(x)dx −

= 0

∑

∫

(x)dx lim

∑

n→∞

∫

k =0

или

b	2	n	2	= limρ	2	( f , Sn ) = 0	x [a,b],
lim ∫ f		(x)dx − ∑ck		= limρ		( f , Sn ) = 0	x [a,b],
n→∞ a		k =0		n→∞

т. е. ряд Фурье сходится к функции f (x) среднем квадратичном и теорема доказана.

Ортогональная система функций (ϕk (x)) , для которой выполняется равенство Парсеваля-Стеклова, называется замкнутой в L2 [a,b], а само равенство

– уравнением замкнутости.

Из теоремы 16.26 следует, что любая функция f (x) L2 [a,b] может быть разложена в сходящийся к ней в среднем квадратичном ряд Фурье по ортогональной на [a,b] системе функций, если эта система является замкнутой в

L2 [a,b].

16.20. Тригонометрические ряды Фурье

Ряд Фурье для функции с периодом T = 2l

Пусть f (x) – кусочно-непрерывная функция с периодом T = 2l .

Рассмотрим основную тригонометрическую систему функций, ортогональную на любом интервале длиной 2l , в частности на [− l,l]:

213

(ϕn (x)) = 1,cos

πx		πx		nπx		nπx
	,sin		,...,cos		,sin		,... .	(16.57)
l	,sin	l	,...,cos	l	,sin	l	,... .	(16.57)
l		l		l		l

Выше были найдены нормы функций

1 =

2l ;

sin nx = cos nx =

l .

Можно показать, что основная тригонометрическая система функций

обладает полнотой, т.е. для любой

f (x), интегрируемой с квадратом, выполняется

равенство Парсеваля-Стеклова.

Поэтому периодическую функцию

f (x)

периодом

Т = 2l можно

разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к

f (x) в среднем квадратичном:

f (x) = ∑cn ϕn (x) = c0

+ c1 cos πx + c2 sin πx + c3 sin 2πx + c4 cos 2πx + ...

∞

n=0

Коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a , при синусах –

буквой b , поэтому ряд Фурье примет вид

∞

nπx

f (x) =

+ ∑

cos

+ bn sin

, где

n=1

214

(1, f )

1 l

a0 =

∫

f (x)dx,

−l

nπx

f ,cos

1 l

nπx

∫

f (x)cos

dx,

n N

nπx

cos

l −l

nπx

f ,sin

1 l

nπx

∫

f (x)sin

dx,

n N

nπx

sin

−l

Определение 16.16. Тригонометрический ряд

	a	0	∞			nπx		nπx
f (x) =		0	+ ∑ a		cos		+ b sin	,
f (x) =	2		+ ∑ a		cos	l	+ b sin	,
	2		n=1	n		l	n	l

(16.58)

(16.59)

коэффициенты которого определяются по формулам (16.58), называется

тригонометрическим рядом Фурье для периодической функции

f (x) L2 [a,b].

Преобразуем равенство Парсеваля-Стеклова с учетом обозначений

коэффициентов ряда Фурье:

∞

c2n−1 = an

∞

∫ f 2 (x)dx =

∑cn2

ϕn

2l + l∑cn2 =

c2n = bn

l + l∑(an2 + bn2 ).

−l

n=0

n=1

Отсюда

a02

+ ∑∞ (a2

+ b2 )= 1

(16.60)

n=1

215

Пример 1 6 . 1 4 . Разложить в ряд Фурье функцию

x +1,	x [−1,0);	, имеющую период T = 4.
f (x) =	x [0,3)	, имеющую период T = 4.
0,	x [0,3)
		y

-8

-5 -4

-1 0

3 4

7 8

Рис 16 1

Длина отрезка [−1,3] равна периоду, то при нахождении коэффициентов

Фурье можно интегрировать по этому отрезку:

1 (x +1)2

;

∫ f (x)dx =

∫(x +1)dx + ∫

0dx

2 2

−1

2 −1

−1

1 3

f (x)

cos nπx

dx =

1 0

(x +1)cos

nπx

dx =

2 −∫1

nπx

2(x +1)

nπx

nπ

cos

sin

1 − cos

;

nπ

(nπ)

nπx

−1

nπx

f (x)sin

dx =

(x +1)sin

dx =

2 −∫1

216

	1	4	2		nπx 2(x +1)				nπx	0	1	2		nπ

=				sin		−		cos		=			sin		−1 .
	2	(nπ)			2		nπ		2					2
										−1	nπ nπ

При вычислении интегралов применено интегрирование по частям. Искомое разложение имеет вид:

	1		1	∞		2				nπ		nπx		1	2		nπ
f (x) =		+		∑				1	− cos		cos		+			sin		−
	8					2						2					2
			π n=1		n		π			2				n nπ

Ряд Фурье периодической функции с периодом

Ряд Фурье для такой функции получается из ряда (16.59)

	a0			∞
f (x) =				+ ∑(an cos nx + bn sin nx),

2				n=1
					1	π
где				a0 =		−∫π f (x)dx,
					π
		1		π
an =				−∫π f (x)cos nxdx,			n N ,
		π
			1	π
bn =				−∫π f (x)sin nxdx,			n N.
			π

	nπx
1 sin		.
	2

T = 2π

при l = π:

(16.61)

Пример 1 6 . 1 5 . Разложить в ряд Фурье периодическую периода 2π

+1		при	- π ≤ x < 0,
функцию f (x) =	−1	при	0 ≤ x < π.

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье:

217

a0 =

−∫π f (x)dx =

−∫π1dx +

∫0 (−1)dx = 0 ,

−∫π f (x)cos nxdx =

−π∫cos nxdx −

∫0 cos nxdx =

sin nx

−

= 0 − 0 = 0,

πn

−π

1 π

bn =

−∫π f (x)sin nxdx =

−π∫sin nxdx −

∫0 sin nxdx = −

cos nx

−π

πn

n = 2k,

(cos nπ −1) =

((−1)n

−1)=

πn

n = 2k −1.

−

πn

Следовательно,

	4	∞	sin(2n −1)x		4		sin 3x		sin 5x
f (x) = −		∑	2n −1	= −		sin x +	3	+	5	+… .

	π n=1				π

cos nx =

16.21. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье

Определение 16.17. Функция f (x) называется кусочно-гладкой на [a,b],

если ее производная f ′(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода.

Теорема 16.27. Если f (x) L2 [− l,l] − кусочно-гладкая на отрезке [− l,l]

функция, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка и для суммы ряда Фурье справедливы соотношения:

1) S(x) = f (x), если x - точка непрерывности функции f (x);

218

2)	S(x) =	f (x0 − 0) + f (x0 + 0)			, если x0 − точка разрыва первого рода функции
			2

f (x);
3) S(−l) = S(l) =			f (−l + 0) + f (l − 0)			.

			2	f (x) L2 [a,b] является кусочно-гладкой и непрерывной
	Теорема 16.28. Если
на	отрезке		[− l,l] и	удовлетворяет условию			f (−l) = f (l), то ее
тригонометрический ряд Фурье на [− l,l] сходится к f (x)							равномерно.

16.22. Тригонометрический ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть	в ряд Фурье разлагается четная функция, т. е. такая, что
f (−x) = f (x)	x [−l,l]. График четной функции симметричен относительно оси

Oy . Так как определенный интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции, то для четной функции имеем

∫l	f (x)dx = 2∫l	f (x)dx .
−l	0

Для нечетных функций, т. е. таких, что f (−x) = − f (x) x [− l,l], имеем

∫ f (x)dx = ∫

−l −l

y=f(x)

-l	0	l
	Рис. 16.2

f (x)dx + ∫ f (x)dx = −S + S = 0.

			y
			y=f(x)
	-l		+		x
x		-	0	l	x
			Рис. 16.3
			Рис. 16.3

219

Из определения четных и нечетных функций следует, что:

1)произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная;

2)произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция. Следовательно, если в ряд Фурье на [− l,l] разлагается четная функция, то

произведение	f (x)cos	nπx	является четной функцией, а произведение
		l

f (x)sin

nπx

− нечетной функцией.

Поэтому коэффициенты ряда Фурье для четной функции находятся по

формулам:

f (x)dx,

∫0

f (x)cos

nπx

dx, b = 0, n N,

l ∫0

а сам ряд Фурье четной функции имеет вид:

f (x) = a0

+ ∑ an cos nπx.

∞

n=1

Если в ряд

Фурье на

отрезке [− l,l]

разлагается нечетная

функция,

то

произведение

f (x)cos

nπx

− нечетная функция, а произведение

f (x)sin

nπx

−

четная функция. Следовательно, коэффициенты ряда Фурье нечетной функции находятся по формулам:

a		= a		= 0, b =	2	l	f (x)sin	nπx	dx, n N,
	0		n
				n	l	∫0		l

220

а сам ряд Фурье для нечетной функции имеет вид:

f (x) = ∑bn sin nπx .
∞
n=1	l

16.23.Разложение непериодических функций

втригонометрический ряд Фурье

Втригонометрический ряд Фурье могут разлагаться только периодические функции с периодом T = 2l или T = 2π. Действительно, если f (x) разлагается в

ряд, сходящийся к f (x) , то сумма этого ряда должна быть периодической T = 2π

или T = 2l ,

так как

sin nx

cos nx

или

cos

nπx

sin

nπx

являются

периодическими функциями с периодом T = 2π и T = 2l .

Если функция f (x)

не

является

периодической,

то

для

того, чтобы

представить ее рядом Фурье поступают следующим образом:

Если

f (x)

задана на отрезке

[− l,l],

то строят вспомогательную функцию

f * (x)

с периодом

2l , которая на [− l,l] совпадает с

f (x) , а на остальной

части f (x) является ее периодическим продолжением.

Если

f (x) задана

на

отрезке

[a,a + 2l],

то строят

вспомогательную

периодическую функцию

* (x) с периодом 2l , которая на отрезке [a, a + 2l]

совпадает

с f (x) ,

а на остальной части числовой

оси

является ее

периодическим продолжением. Ряд Фурье в этом случае определяется

формулой (16.44.), а его коэффициент находится по формулам:

1a+2l

∫a

f (x)dx,

221


an	=	1		a+∫2l		f (x)cos		nπx		dx,

		l a						l
bn	=		1		a+∫2lf (x)sin		nπx		dx.

			l a					l

3.Если кусочно-гладкая функция f (x) задана на отрезке [0,l], то ее можно разложить в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам, либо и по косинусам, и по синусам.

Для разложения функции f (x) в ряд по косинусам ее продолжают на

отрезок [− l,0] четным образом, т. е. строят вспомогательную функцию

f (−x)	x [− l,0)	.
f * (x) =	x [0,l]	.
f (x)	x [0,l]

Затем f * (x) периодически продолжают на всю числовую ось. В этом случае ряд Фурье для функции f (x) на отрезке [0,l] содержит только косинусы:

f (x) = a0 + ∑an cos nπx ,

∞

n=1`

где

∫l

f (x)dx,

an =

∫l

f (x)cos

nπx

dx , n N .

Для разложения функции

f (x),

заданной на отрезке [0,l] в ряд по синусам

ее продолжают на отрезок [− l,0] нечетным образом, т. е. строят вспомогательную функцию

− f (−x)	x [− l,0],
f * (x) =	x [0,l].
f (x)	x [0,l].

222

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]