Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

В качестве примера ортогональной системы функций рассмотрим основную тригонометрическую систему

Сформулируем свойства этой системы в виде теоремы.

Теорема 16.23. Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной 2l , например на [−l,l], причем норма

первого члена системы равна 2l , а любого другого l .

Для доказательства ортогональности системы функций (16.49) нужно показать, что определенный интеграл в пределах от − l до l произведения любых двух функций этой системы равен нулю.

Аналогично доказывается, что

203

разложения (16.51) на ϕn (x) и почленно проинтегрируем результат на отрезке

[a,b]:

b b b b

∫ f (x)ϕn (x)dx =∫c0ϕ0 (x)ϕn (x)dx +∫c1ϕ1 (x)ϕn (x)dx +... + ∫cn ϕ2n (x)dx +...

a a a a

В силу ортогональности системы (ϕn (x)) , все интегралы в правой части равенства, кроме интеграла с коэффициентом cn , равны нулю.

Имеем:

b b

∫ f (x)ϕn (x)dx = cn ∫ϕ2n (x)dx, n = 0,1,...

a a

Используя понятия скалярного произведения и нормы функции, запишем

Тогда ряд (16.51) можно записать в виде:

Числа cn называются коэффициентами Фурье. Для любой функции f (x) L2 [a,b] можно формально составить обобщенный ряд Фурье по ортогональной системе функций (ϕn (x)) , определив его коэффициенты по

206

формулам (16.52). Однако вопрос о сходимости ряда Фурье не решен. В частности, неизвестно, является ли сумма полученного ряда равной f (x) , даже в случае сходимости ряда, его сумма может не совпасть с f (x) .

До выяснения этих вопросов будем говорить, что обобщенный ряд Фурье порожден функцией f (x) и эту формальную связь записывают в виде

∞

f (x) ~ ∑cn ϕn (x) .

n=0

16.19.Приближение функции в среднем

Вматематике используются различные понятия близости функций ϕ(x) и

f (x) на [a,b].

За меру отклонения f (x) от ϕ(x) на отрезке [a,b]часто принимается число

ρ, определяемое соотношением ρ = ρ(f ,ϕ)= ∫b (f (x) − ϕ(x))2 dx и называемое

a

средним квадратичным уклонением.

Число ρ ≥ 0 имеет смысл для функций f (x) и ϕ(x) из L2 [a,b], поэтому его называют метрикой или расстоянием в L2 и говорят, что оно характеризует близость функций f (x) и ϕ(x) в среднем квадратичном. Используя определение нормы функции, можно записать

ρ = ρ(f ,ϕ)= f (x) − ϕ(x) .

207

Предположим, что обобщенный ряд Фурье (16.53) сходится в некотором смысле в точке x [a,b](или для всех x [a,b]) к функции f (x) . Тогда f (x) с

любой степенью точности может быть приближенно представлена его частичной суммой, называемой ортогональным многочленом Фурье:

Рассмотрим следующую задачу. Пусть заданы функция f (x) L2 [a,b],

ортонормированная на [a,b]система функций (ϕn (x)) и порядок n многочлена

Sn (x) = ∑n αk ϕk (x) .

k =0

Требуется подобрать коэффициенты αk таким образом, чтобы среднее квадратичное уклонение ρ( f , Sn ) было минимальным.

В этом случае говорят, что обобщенный многочлен Sn (x) аппроксимирует функцию f (x) на [a,b]наилучшим образом в смысле минимума среднего квадратичного уклонения или Sn (x) аппроксимирует f (x) в среднем (в смысле метода наименьших квадратов).

Теорема 16.24 (об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье). Среди

многочлен Фурье, т. е. такой многочлен, коэффициенты которого находятся по формулам αk = ck = ( f ,ϕk ) .

208

b

ρ2 ( f , Sn ) = f (x) − Sn (x) 2 = ∫( f (x) − Sn (x))2 dx =

a

Очевидно, что квадратичная аппроксимация будет наилучшей, когда αk = ck , т. е. когда аппроксимирующий многочлен является n-ой частичной

Из последнего неравенства, справедливого при любом n N , следует

∞

сходимость ряда ∑ck2 . Действительно, n–ые частичные суммы этого ряда

k =0

209

образуют неубывающую и ограниченную сверху последовательность. Как известно, такая последовательность сходится, т. е. существует предел ее частичных сумм.

Найдем ее предел при n → ∞.

имеем,

Неравенство (16.55) называется неравенством Бесселя.

В случае ортогональной (но не нормированной) системы функций

С неравенством Бесселя связан ответ на вопрос о сходимости рядов Фурье. Различают сходимость в среднем квадратичном и равномерную сходимость.

Определение 16.14. Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к функции f (x) L2 [a,b] на отрезке [a,b], если последовательность его частичных сумм (Sn (x)) сходится к функции f (x) равномерно, т. е. для любого ε > 0 можно указать такое натуральное число n0 = n0 (ε) , что при всех n > n0 выполняется соотношение f (x) − Sn (x) < ε x [a,b].

Из определения равномерной сходимости следует, что при n → ∞ max f (x) − Sn (x) → 0 x [a,b].

210

Определение 16.15. Ряд Фурье называется сходящимся в среднем квадратичном к функции f (x) на отрезке [a,b], если последовательность его частичных сумм (Sn (x)) сходится к функции f (x) в среднем квадратичном, т. е.

b

limn→∞ ∫a (f (x) − Sn (x))2 dx = 0 .

∞

Теорема 16.25. Если обобщенный ряд Фурье ∑ck ϕk (x) функции f (x)

k =0

сходится на [a,b]равномерно к функции f (x) L2 [a,b], то он сходится к функции f (x) на [a,b]и в среднем квадратичном.

Доказательство. Пусть ряд Фурье функции f (x) L2 [a,b] сходится к ней на

[a,b]равномерно. Тогда для любого ε > 0 можно найти такое число n0 (ε) , что при всех n > n0 будет выполняться неравенство

Тогда для всех n > n0

откуда следует

b

limn→∞ ∫a (f (x) − Sn (x))2 dx = 0 ,

211