Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

В данном случае оценка производных f ( n) (x) затруднительна, поэтому воспользуемся другим, более общим приемом. Функция f (x) = (1 + x)α

удовлетворяет равенству

и условию f (0) =1.

Так как решение задачи Коши для дифференциального уравнения (16.39)

∞

единственно, то если найдется степенной ряд 1 + ∑ an xn , удовлетворяющий

n=1

уравнению (16.39), то он будет искомым разложением заданной функции. Итак

(1 + x) (a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + nan xn−1 + ...) = α(1 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ...)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , имеем

193

поскольку радиус сходимости полученного ряда равен 1, что несложно проверить, использовав признак Д’Аламбера. Ряд, стоящий в правой части формулы (16.40), называется биномиальным.

При α = n N все коэффициенты ряда (16.40), начиная с номера n +1, обращаются в нуль, и степенной ряд преобразуется в бином Ньютона.

16.15. Приложение степенных рядов

Приближенное вычисление значений функций

Для нахождения приближенного значения функций f (x) в точке x0 с

заданной точностью поступим следующим образом. Разложим функцию f (x) в

ряд по степеням x − x1 с интервалом сходимости, содержащим точку x0 , где x1 −

точка, в которой значение функции и ее производных легко вычисляются точно. Переменной x придадим значение x0 и в полученном числовом ряду

194

соответствующей оценки либо остатка Rn (x0 ) формулы Тейлора, либо остатка rn (x0 ) ряда Тейлора, так как в случае сходимости степенного ряда функции f (x)

они равны между собой.

Пример 1 6 . 1 0 . Вычислить с точностью ε = 0,01 число e .

Решение. Так как

или

e ≈ 2,72 (ε = 0,01) .

Приближенное вычисление интегралов

Многие определенные интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях, могут быть вычислены с помощью рядов

Решение. Используя разложение (16.37) для sin x , получаем

195

Вычисление сумм числовых рядов

Используя известные разложения в степенные ряды, сумму заданного числового ряда иногда удается выразить через значение некоторой функции в определенной точке.

Пример 1 6 . 1 2 . Найти сумму сходящегося числового ряда

Решение. Рассмотрим степенной ряд

сходящийся (равномерно) при x [− 1;1]. Ряд

196

сходится равномерно на [0;1], поскольку в этом случае он является рядом Лейбница и

Тогда ряд S(x) можно дифференцировать почленно на [0;1]. Решая дифференциальное уравнение S′(x) = xarctgx с начальным условием S(0) = 0,

находим

Так как сумма числового ряда (16.41) равна S(1) , то

Интегрирование дифференциальных уравнений

Степенные ряды могут применяться также для решения дифференциальных уравнений, например, в случае, если их решение не удается найти в элементарных функциях.

Пример 1 6 . 1 3 . Найти решение

197

однако интеграл от левой части уравнения (16.43) не выражается в элементарных функциях. Будем искать решение в виде ряда Маклорена

Так как y(0) = π2 , а

то y′(0) = π2 . Дифференцируя по x обе части равенства (16.44), находим

этот процесс, можно получить любое число членов разложения в ряд Маклорена искомого решения y = y(x) :

198

y = π + 2 x − 22 x2 + ...

2 π π3

Заметим, что применение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений не ограничивается случаем их решения в квадратурах.

РЯДЫ ФУРЬЕ

16.16. Периодические процессы и периодические функции

Ряды Фурье используются для описания периодических процессов, решения дифференциальных уравнений, приближения периодических и непериодических функций. В этих случаях, функцию, описывающую периодический процесс, представляют как сумму конечного и бесконечного числа периодических функций вида Asin(ωx + ϕ0 ) , где A, ω, ϕ0 − постоянные. Эти функции описывают простейшее колебательное движение и называются гармониками. A > 0

называется амплитудой, ω − частотой колебания, ωx + ϕ0 − фазой колебания,

ϕ0 − начальной фазой.

Используя формулы тригонометрии, можно записать

Asin(ωx + ϕ0 ) = a cos ωx + bsin ωx,

где a = Asin ϕ0 , b = Acosϕ0 .

Более сложные периодические процессы описываются в виде конечного или бесконечного числа простых гармоник, т. е. функций вида

199

∑(an cosωn x + bn sin ωu x)

n

Во всех этих случаях имеем дело с периодическими функциями. Напомним свойства этих функций.

1.Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодические функции периода Т.

2.Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) (a ≠ 0) имеет период T / a .

3.Определенный интеграл от периодической функции f(x) с периодом Т по любому отрезку длиной Т имеет одно и то же значение, т. е. для любых х справедлива формула

Действительно, т. к. производная от интеграла

т. е. не зависит от х.

16.17. Ортогональные системы функций

Определение 16.8. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть может,

конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода.

200

Пусть f(x) – кусочно-непрерывная на [a,b] функция и x0 [a,b] − точка разрыва первого рода. Тогда в этой точке существуют односторонние пределы f (x0 ± 0) , поэтому на каждом участке непрерывности существуют определенные

функцией с интегрируемым квадратом.

Так как на множестве кусочно-непрерывных функций определены линейные операции, удовлетворяющие аксиомам линейного пространства, то это множество образует линейное пространство. Введем в нем операцию скалярного произведения функций ϕ(x) и ψ(x) .

Определение 16.9. Скалярным произведением функций ϕ(x) и ψ(x) на отрезке [a,b] называется число

Скалярное произведение функций обладает следующими свойствами:

1)(ϕ,ψ) = (ψ,ϕ);

2)(ϕ1 + ϕ2 ,ψ) = (ϕ1 ,ψ) + (ϕ2 ,ψ);

3)(αϕ,ψ) = α(ϕ,ψ) α R;

4)(ϕ,ϕ) ≥ 0, (ϕ,ϕ) = 0 ϕ = 0, т. е. удовлетворяет аксиомам евклидова пространства.

Множество всех кусочно-непрерывных функций на [a,b] со скалярным произведением, введенным по формуле (16.47), обозначают L2 [a,b] и называют пространством L2 , которое бесконечномерное.

201

Определение 16.10. Неотрицательное число ϕ = ∫b ϕ2 (x)dx называется

a

нормой функции ϕ(x) в L2 [a,b]. Учитывая, что ∫b ϕ2 (x)dx = (ϕ,ϕ) , можно записать

a

Функция ϕ(x) называется нормированной, если ее норма равна единице.

Определение 16.11. Две функции ϕ(x) L2 [a,b] и ψ(x) L2 [a,b] называются ортогональными на [a,b], если их скалярное произведение на [a,b] равно нулю,

b

т. е. (ϕ,ψ) = ∫ϕ(x)ψ(x)dx = 0.

a

Определение 16.12. Система функций (ϕn (x)) = (ϕ1 (x),ϕ2 (x),...ϕn (x)...)

(конечная или бесконечная) называется ортогональной на отрезке [a,b], если все функции этой системы попарно ортогональны на [a,b], т. е.

(ϕm ,ϕn ) = 0 m ≠ n, m, n N .

Определение 16.13. Ортогональная система функций (ϕn (x)) на отрезке

b

[a,b] называется ортонормированной, если ϕ 2 = (ϕn ,ϕn ) = ∫ϕ2n (x)dx =1n N .

a

Любую ортогональную на [a,b] систему функций (ϕn (x)) с ϕn ≠ 0 можно нормировать. Для этого достаточно разделить каждую функцию системы на ее норму. Получим ортогональную систему функций (ϕn (x) /ϕn ).

202