Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

Уравнение (15.3) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y′ касательной к интегральной кривой,

проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (15.3) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости 0xy .

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, т. е. в которых выполняется соотношение y′ = C = const , называется изоклиной. Уравнение изоклины, соответствующей значению C, будет, очевидно, f (x, y) = C . Построив семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых.

при C = 2 : x =1, tgα = 2 , α = arctg2 ≈ 63 .

К полученным векторам плавно проведем касательные. Они представляют собой семейство парабол (рис. 15.1).

13

в начале координат и радиусом C (рис. 15.2). Определение 15.6. Уравнение вида

т. е. к уравнению вида (15.7). Проинтегрировав последнее равенство, получаем искомую зависимость:

Интегрируя его, находим:

15

ln x + x = y − ln y + C или ln xy + x − y = C .

Последнее равенство есть общий интеграл данного уравнения. При его нахождении были приняты ограничения x ≠ 0 , y ≠ 0 . Однако функции x = 0 и

y = 0 также являются решением исходного уравнения, что легко проверяется, но не входят в общий интеграл.

Замечание 15.1. При разделении переменных можно потерять некоторые

(15.8). И, если это решение нельзя получить из соотношения (15.9) при некотором значении C , то его нужно рассматривать отдельно от решения (15.9).

Аналогично, если x = x0 − корень уравнения M 2 (x) = 0 , то при любом y x = x0 − решение уравнения (15.8). Поэтому следует отдельно решить уравнение

M 2 (x)N1 ( y) = 0 и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения.

получим общий интеграл исходного уравнения.

Пример 1 5 . 5 . Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости v . Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3c после

начала замедления, если v(0) =100мс , а v(1) = 50мс .

16

Решение. Примем за независимую переменную время t , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки v будет функцией от t , т. е. v = v(t) . Для нахождения v(t) воспользуемся вторым законом Ньютона: m a = F , где a = v′(t) − есть ускорение движущегося тела, F −

результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае F = −kv2 , k > 0 − коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция

15.4. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка

Основной в теории ДУ является задача Коши. Достаточные условия, при которых эта задача для уравнения (15.3) имеет решение, указывает теорема 15.1 Коши. Остановимся на случае, когда условия теоремы Коши нарушаются.

Определение 15.7. Точка (x0 , y0 ) плоскости 0xy называется особой точкой уравнения (15.3), если нарушается хотя бы одно из условий:

17

1)f (x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) ;

2)f y′ непрерывна в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) .

Отметим, что через каждую особую точку проходит более чем одна интегральная кривая дифференциального уравнения.

Определение 15.8. Интегральная кривая дифференциального уравнения первого порядка называется особой, а соответствующее ей решение – особым решением дифференциального уравнения, если через каждую ее точку проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая этого уравнения.

В каждой точке особого решения нарушается единственность решения. Особые решения не могут быть получены из общего решения дифференциального уравнения ни при каких (конечных) значениях произвольной постоянной С.

Пример 1 5 . 6 . Найти все решения уравнения 1 − y2 dx − ydy = 0 .

получить из общего интеграла ни при каких с.

Таким образом, множество интегральных кривых данного уравнения состоит из семейства окружностей радиуса 1 с центром в точках (c;0) и прямых y = ±1 (рис. 15.3).

y

1

0

x

-1

Рис. 15.3

18

Через каждую точку прямых y = ±1 проходит еще одна интегральная

кривая (окружность) данного уравнения. Следовательно, y = ±1 – особые

решения исходного уравнения.

15.5.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Куравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ

первого порядка.

Определение 15.9. Функция f (x, y) называется однородной функцией n-го

измерения (порядка) относительно переменных x и y , если при любом λ справедливо тождество

f (λx, λy)= λn f (x, y).

Пример 1 5 . 7 . Функция f (x, y)= 3 x3 + y3 − однородная функция первого

называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) − однородные функции одного и того же измерения (порядка).

Разрешив уравнение (15.10) относительно производной, получим

19

Интегрируя его, найдем:

Подставляя вместо u отношение yx , находим общее решение или общий интеграл уравнения (15.11).

20

Пример 1 5 . 1 0 . Найти общий интеграл уравнения (x2 − y2 )dx + 2xydy = 0 .

Решение. Данное уравнение однородное, так как функции P(x, y)= x2 − y2

и Q(x, y)= 2xy − однородные функции второго измерения.

Положим y = ux . Тогда dy = xdu + udx . Подставляем в исходное уравнение:

(x2 − u2 x2 )dx + 2x ux(xdu + udx)= 0,

x2 (1 − u2 + 2u2 )dx + 2ux3du = 0 ,

(1 + u2 )dx + 2uxdu = 0 (x ≠ 0).

Последнее уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные

dxx + 1 +2uu2 du = 0

и интегрируя, имеем:

x2 + y2 = Cx .

Замечание 15.3. Исходное уравнение можно было сначала привести к виду

(15.11):

21

необходимости: подстановка (15.12) сразу преобразует уравнение (15.10) в уравнение с разделяющимися переменными.

15.6.Уравнения, приводящиеся к однородным

Коднородным уравнениям приводятся уравнения вида

Если c = c1 = 0, то уравнение (15.13) есть, очевидно, однородное. Пусть теперь c и c1 (или одно из них) отличны от нуля. Сделаем замену переменных: x = x1 + h , y = y1 + k . Тогда

22