Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

Аналогично, если существует передел

lim an +1 = L ,

n→∞ an

то, применив признак Д’Аламбера, получим

Как отмечалось ранее, степенной ряд общего вида (16.25) заменой x − α = X

предыдущим случаем неотрицательное число R называют радиусом сходимости, а интервал (α − R;α + R) − интервалом сходимости степенного ряда (16.25).

183

т. е. интервал сходимости − 5 < x − 3 < 5 или − 2 < x < 8 . В точке x = −2 получаем

ряд ∑∞ 1 . Таким образом, область сходимости ряда есть полуинтервал [− 2;8).

n=1 n

16.12. Свойства степенных рядов

184

Теорема 16.17. Операции почленного дифференцирования и интегрирования на любом промежутке [x0 ; x] (− R; R) степенного ряда (16.26) не изменяют его радиуса сходимости.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая, когда существует

Аналогично, пусть R2 − радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием ряда

185

Теорема 16.18. Если радиус сходимости степенного ряда (16.26) отличен от нуля, то степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости и для его суммы S(x) справедливо равенство

n=1

Доказательство. Пусть x − произвольная точка интервала сходимости

Следствие 16.5. Степенной ряд на интервале сходимости (− R; R), R ≠ 0,

можно почленно дифференцировать любое число раз.

Доказательство. Действительно, так как результатом почленного дифференцирования степенного ряда является степенной ряд с тем же радиусом сходимости, то к нему применима теорема 16.18 и т. д.

Теорема 16.19. Степенной ряд (16.26) можно почленно интегрировать на любом отрезке [x0 ; x], принадлежащем интервалу сходимости.

Доказательство теоремы следует из равномерной сходимости степенного ряда (16.26) на отрезке [x0 ; x] (− R; R) и теоремы 16.13 о почленном интегрировании функционального ряда.

Следствие 16.6. Степенной ряд (16.26) можно почленно интегрировать любое число раз на отрезке [x0 ; x] (− R; R).

186

16.13. Ряды Тейлора

Пусть функция f (x) имеет в окрестности точки x0 производные любого порядка. Поставим ей в соответствие степенной ряд

и называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости R степенного ряда (16.30) может быть как равным нулю, так и отличным от него, причем в последнем случае сумма S(x) ряда Тейлора может не совпадать с f (x) . Если S(x) = f (x) на (x0 − R; x0 + R) , то говорят, что функция f (x) разложена в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .

Легко видеть, что частичные суммы ряда (16.30)

187

Из равенства (16.32) следует Теорема 16.20. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в

окрестности точки x0 функция f (x) разлагалась в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы

Подчеркнем, что в равенство (16.33) входит остаточный член не ряда, а формулы Тейлора, которые в общем случае различны.

В самом деле, если ряд Тейлора сходится к S(x) ≠ f (x) , то из равенств

Rn (x) = f (x) − Pn (x) = f (x) − Sn (x), rn (x) = S(x) − Sn (x)

следует, что Rn (x) ≠ rn (x). Если S(x) = f (x) , то очевидно, что Rn (x) = rn (x) .

188

На практике часто используется следующий достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 16.21. Если для любых x (x0 − R; x0 + R) все производные функции f (x) ограничены одной и той же константой M , то ряд Тейлора (16.30)

сходится к функции f (x) в интервале x − x0 < R.

Доказательство. Согласно представлению остаточного члена формулы

Решим теперь следующую задачу. Известно, что в окрестности точки x0

некоторый степенной ряд по степеням x − x0 сходится к бесконечно дифференцируемой функции f (x) , т. е.

После последовательного почленного дифференцирования степенного ряда (16.34), что допустимо, согласно теореме (16.18) и следствию из нее, имеем:

189

f ′(x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) + ... + nan (x − x0 )n−1 + ...;

f ′′(x) = 2a2 + 3 2a3 (x − x0 ) + ... + n(n −1)an (x − x0 )n−2 + ...;

………………………………………………………………..

f (n ) (x) = n!an + (n +1)n...2an+1 (x − x0 ) + ...;

При x = x0 получаем

Отсюда следует

Теорема 16.22. Если степенной ряд по степеням x − x0 сходится к функции f (x) в окрестности точки x0 , то он является рядом Тейлора функции f (x) в

окрестности этой точки.

16.14. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Получим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

1. f (x) = ex .

Так как f ( n) x) = ex и f ( n) (x) = ex < eA при x < A , где A − сколь угодно большое

190

поскольку an = f ( n) (0) = 1 . n! n!

2. f (x) = ch x .

Используя разложение (16.35), определение функции y = ch x и свойство

суммы сходящихся рядов, имеем

3. f (x) = sh x .

Так как shx = 12 (ex − e−x )= (ch x)′, то на основании теоремы о почленном

дифференцировании степенного ряда, используя формулу (16.36), получаем разложение

4. f (x) = sin x .

191

6. f (x) = ln(1 + x).

На основании теоремы 16.19 о почленном интегрировании степенного ряда с учетом выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем

т. е.

x (−1;1].

7. f (x) = (1 + x)α , α R .

192