Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

Теорема 16.10 позволяет для исследования сходимости рядов с комплексными членами применять доказанные ранее признаки сходимости рядов с положительными членами.

16.8. Функциональные ряды. Основные понятия

Пусть u1 (x);u2 (x);...;un (x);... – последовательность функций, определенных на некотором множестве X .

Определение 16.5. Ряд вида

173

n=1

членами которого являются функции un (x) , называется функциональным.

∞

Каждому значению x0 X соответствует числовой ряд ∑un (x0 ) . Этот

n=1

∞

числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если ряд ∑un (x0 )

n=1

сходится, то x0 называется точкой сходимости функционального ряда (16.17).

Множества всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Обозначим ее через D . Очевидно, что D X . Если множество D пусто, то ряд (16.17) расходится в каждой точке множества X .

Конечная сумма

n

Sn (x) = u1 (x) + u2 (x) +... + un (x) = ∑uk (x)

k =1

называется n–й частичной суммой ряда (16.17), а функция S(x) = lim Sn (x) ,

n→∞

определенная в области D , суммой ряда (16.17).

Функция rn (x) , определенная в области D и задаваемая формулой

∞

rn (x) = S(x) − Sn (x) = ∑uk (x)

k =n+1

называется n–ым остатком ряда. Очевидно, что rn (x) → 0 x D , если n → ∞ .

174

Так как из абсолютной сходимости ряда в точке следует его сходимость, то D1 D .

Пример 1 6 . 7 . Найти область абсолютной сходимости ряда

n=1

Решение. Применим признак Д´Аламбера

∞

Следовательно, ряд ∑ x n−1 сходится при x <1 и расходится при x ≥1.

n=1

Таким образом, областью абсолютной сходимости функционального ряда (16.18) является интервал (−1;+1).

16.9. Равномерная сходимость функциональных рядов

Определение 16.6. Функциональный ряд (16.17.) называется равномерно сходящимся в области D к функции S(x) , если для любого E > 0 существует номер n0 (E) , не зависящий от x , такой, что

rn (x) = S(x) − Sn (x) < E, n > n0 (E), x D

Отметим, что различие определений поточечной и равномерной сходимостей функционального ряда состоит лишь в том, что в первом случае номер n0 зависит от E и x D , т. е. n0 = n0 (E, x), а во втором – только от E , т. е. n0 = n0 (E) .Поточечную сходимость называют также неравномерной.

175

ε > 0 n0 (ε) : rn < ε n ≥ n0 (ε) .

Согласно неравенству (16.19),

По определению это и означает равномерную сходимость ряда (16.17) в области D .

∞

Числовой ряд ∑an , члены которого удовлетворяют неравенствам (16.19),

n=1

называется мажорантным рядом или мажорантой для функционального ряда (16.17), а функциональный ряд (16.17) в этом случае называется мажорируемым на множестве D .

176

основании признака Вейерштрасса заключаем, что областью равномерной сходимости заданного ряда является вся числовая ось.

16.10. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Теорема 16.12 (о непрерывности суммы функционального ряда).Если на множестве D функциональный ряд (16.17) с непрерывными членами сходится

177

при x − x0 < δ, что и означает непрерывность функции S(x) в произвольной точке x0 D.

Из теоремы (16.12) следует, что если сумма S(x) функционального ряда с непрерывными членами разрывна в области D , то сходимость этого ряда заведомо неравномерная в области D.

Следствие 16.3. В равномерно сходящемся ряде возможен почленный переход к пределу, т. е.

Доказательство. Действительно, в силу непрерывности суммы S(x)

Теорема 16.13 (о почленном интегрировании функционального ряда). Если функциональный ряд (16.17) с непрерывными членами сходится к функции S(x)

равномерно на отрезке [a;b], то его можно почленно интегрировать на любом отрезке [x0 ; x] [a;b] и справедливо равенство

∞ x

причем ряд ∑ ∫uk (t)dt сходится равномерно на отрезке [a;b].

k =1 x0

Доказательство. В силу равномерной сходимости ряда (16.17)

178

Оценим величину

x [a;b], n > n0 (ε) .

∞ x

А это означает, что ряд ∑ ∫uk (t)dt сходится равномерно на отрезке [a;b] к

k =1 x0

функции ∫x S(t)dt, т. е. справедливо равенство (16.22).

x0

ряд (16.23) сходится равномерно по всей числовой оси. Интегрируя его почленно на отрезке [0, x], получаем

179

равномерно по всей числовой оси.

Теорема 16.14 (о почленном дифференцировании функционального ряда)

Если ряд (16.17) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке [a;b] членами

∞

сходится к функции S(x) , а ряд ∑u′n (x) сходится равномерно на этом отрезке, то

n=1

исходный ряд (16.17) сходится равномерно [a;b], его сумма S(x) - непрерывно дифференцируемая функция и справедливо равенство

Левая часть полученного равенства дифференцируема по x . Следовательно, дифференцируема по x и правая его часть, а S′(x) = δ(x) , т. е. справедливо равенство (16.24). Равномерная сходимость на [a;b] ряда (16.17) следует из теоремы 16.13.

Теоремы 16.12-16.14 являются достаточными условиями для непрерывности суммы функционального ряда, почленной интегрируемости и дифференцируемости функциональных рядов соответственно.

180

16.11. Степенные ряды

Определение 16.7. Ряд вида

где an , x, α − действительные числа, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом по степени x − α.

При α = 0 получаем степенной ряд по степеням x

n→∞

an x0n < M n N.

Пусть x < x0 , тогда

181

Следствие 16.4. Если в точке x1 ≠ 0 степенной ряд (16.26) расходится, то он расходится во всех точках x , таких, что x > x1 .

Доказательство. Действительно, если бы ряд (16.26) сходился в точке x , то по теореме Абеля он сходился бы абсолютно в точке x1 , что противоречит условию.

Из теоремы Абеля и следствия вытекает, что если степенной ряд (16.26) сходится хотя бы в одной точке x ≠ 0 , то всегда существует число R > 0 такое, что степенной ряд сходится (абсолютно) для x (−R; R) и расходится для

x (−∞; R) (R;+∞) . При x = ±R ряд (16.26) может быть как сходящимся, так и

182