Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

частичных	сумм неограничена, тем более неограничена последовательность
n+1	∞
In+1 = ∫ f (x)dx , т.е. интеграл ∫ f (x)dx расходится.
1	1

В случае сходимости ряда, переходя в неравенстве (16.8) к пределу при n → ∞ , получаем

S ≥ ∞∫ f (x)dx ≥ S − a1 ,

откуда следует

∫∞ f (x)dx ≤ S ≤ ∞∫ f (x)dx + a1 .

Из интегрального признака Коши следует, что сходимость (расходимость)

∞

интеграла ∫ f (x)dx является необходимым и достаточным условием сходимости

∞

(расходимости) соответствующего ряда ∑an .

n=1

Пример 1 6 . 3 . Исследовать на сходимость обобщенный гармонический

ряд

			∞	1
			∑	1	, p R .			(16.9)
			∑	p	, p R .			(16.9)
			n=1	n
Решение. При p =1	ряд (16.9) совпадает с гармоническим рядом (16.6) и
расходится. Если p ≤ 0 ,	то	1	≥1,	n N и		lim	1	≠ 0 . В этом случае ряд
расходится. Если p ≤ 0 ,	то	n p	≥1,	n N и		lim		≠ 0 . В этом случае ряд
		n p				n→∞ n p

расходится, так как нарушается необходимое условие сходимости ряда. Пусть p > 0 и p ≠1. Положим f (x) = x1p . Функция f (x) монотонно убывает на

[ ) ∞ dx

промежутке 1;+∞ . Рассмотрим не собственный интеграл ∫1 x p :

163

если

p >1,

∞ dx

= lim b

x1− p

−1) =

= lim

lim(b1− p

−1

∫1 x p

b→∞ ∫1 x p

b→∞1 − p

− p b→∞

если

0 < p <1.

∞,

Следовательно, обобщенный гармонический ряд (16.9) сходится при p >1 и

расходится при p ≤ 1.

∞

Теорема 16.4

(признак

сравнения).

Если

для

членов рядов ∑ an и

∑bn

n=1

справедливо неравенство

0 ≤ an ≤ bn , n ≥ n0 N ,

то

∞

из сходимости ряда ∑bn следует сходимость ряда

∑ an ;

n=1

∞

из расходимости ряда ∑ an следует расходимость ряда ∑bn .

n=1

Доказательство. Предположим сначала, что n0 = 1.

∞

и Sn′

Пусть ряд

∑bn

сходится.

Обозначим через

n-ые частичные

n=1

∞

≤ Sn′,

суммы рядов ∑ an

и ∑bn соответственно. Заметим,

что Sn

n N . Тогда,

n=1

∞

согласно

теореме 16.2,

из

сходимости

ряда

∑bn

следует

ограниченность

n=1

последовательности (Sn′) ,

значит,

последовательности (Sn ) .

Из

∞

ограниченности последовательности

(Sn )

вытекает сходимость ряда ∑ an .

n=1

∞

Пусть

ряд

∑ an

расходится.

Тогда

последовательность

(Sn )

n=1

неограничена, следовательно, неограничена и последовательность (Sn′) , а значит,

∞

ряд ∑bn расходится.

n=1

164

	Если n0	>1, то для доказательства теоремы достаточно рассмотреть ряды
∞	∞
∑an	и ∑bn ,	так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его
n=1	n=1

сходимость.

∞

Доказанный признак является достаточным для сходимости ряда ∑an и

n=1

∞

расходимости ряда ∑bn .

n=1

Теорема 16.5 (предельный

признак сравнения).

Пусть для

членов рядов

∞

∑an ,

> 0 , и ∑bn , bn > 0 , существует предел lim

= L , 0 < L < ∞ . Тогда ряды

n=1

n→∞ b

∞

∑an

и ∑bn сходятся или расходятся одновременно.

n=1

Доказательство.

Из

определения

предела

lim

= L

для любого

n→∞ b

положительного ε,

например,

0 < ε < L ,

найдется

номер n0 ,

такой,

что

L − ε <

< L + ε, n ≥ n

или, так как b > 0

(L − ε)bn < an < (L + ε)bn , n ≥ n0

∞

Из сходимости ряда ∑bn , согласно свойству 3 числовых рядов (см. §16.3),

n=1

∞

следует

сходимость

ряда

∑(L + ε)bn , а

значит, по

теореме 16.4

ряд

∑an

n=1

сходится.

∞

Если ряд ∑bn

n=1

∞

ряд ∑an .

n=1

∞

расходится, то расходится ряд ∑(L − ε)bn и, следовательно,

n=1

165

∞

Аналогично доказывается, что их сходимости (расходимости) ряда ∑an

		n=1
		∞
следует сходимость (расходимость) ряда ∑bn .
		n=1
Из предельного	признака	сравнения следует, что сходимость
∞
(расходимость) ряда ∑bn	является	необходимым и достаточным условием

n=1

∞

сходимости (расходимости) соответствующего ряда ∑an , и наоборот.

			n=1
				∞
Теорема 16.6 (признак Д´Аламбера).			Пусть для ряда	∑an , an	> 0 ,
				n=1
существует предел
	lim	an+1	= L .	(16.10)
	lim		= L .	(16.10)
	n→∞ an
Тогда:
	∞
1)	при L <1 ряд ∑an сходится;
	n=1
	∞
2)	при L >1 ряд ∑an расходится.

n=1

Доказательство. По определению предела из равенства (16.10) следует, что для любого ε > 0 , начиная с некоторого номера n0 , выполняются неравенства

		L − ε <	an+1	< L + ε, n ≥ n0	(16.11)

			an
1. Если L <1, то найдется такое ε > 0 , что число					q = L + ε <1. Тогда из
неравенства	an+1	< q , n ≥ n0 следует, что

	an

an0 +1 < an0 q ;

166

an +2

< an +1q < an

q2 ;

+κ

< an +k −1q < an

qk .

∞

Так как ряд ∑ an0 qk при

<1 сходится, то сходится ряд ∑an0 +k

= ∑ an , а

k =1

n=n0 +1

∞

следовательно и ряд ∑ an .

n=1

2. Если L >1, то найдется такое

ε > 0 ,

что число

q = L − ε >1. Тогда из

соотношений (16.11) следует неравенство

an+1

> q , n ≥ n0

или an+1 > qan , n ≥ n0 .

Это означает, что, начиная с номера n0 , члены ряда возрастают, т.е.

необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

∞

Теорема 16.7 (признак Коши). Пусть для ряда ∑ an , an > 0 , существует

	n=1
предел
lim n an = L .	(16.12)

n→∞

Тогда:

∞

1) при L <1 ряд ∑ an сходится;

n=1

∞

2) при L >1 ряд ∑ an расходится.

n=1

Доказательство. По определению предела из равенства (16.12) следует, что для любого ε > 0 найдется такой номер n0 , что выполняются неравенства

L − ε < n an < L + ε, n ≥ n0 .

(16.13)

167

1. Если L <1, то найдется такое ε > 0 , что число q = L + ε <1. Тогда из

соотношения (16.13) имеем an	< qn ,	n ≥ n0 и, согласно признаку сравнения, из
∞		∞
сходимости ряда ∑qn при 0 < q <1 следует сходимость ряда ∑ an .
n=1		n=1
2. Если L >1, то найдется такое ε > 0 , что число L − ε = q >1. Тогда из
		∞
соотношения (16.13) имеем an	> qn ,	n ≥ n0 . Из расходимости ряда ∑ qn , q >1,

n=1

∞

согласно признаку сравнения, следует расходимость ряда ∑ an .

n=1

16.5. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся называется ряд, все члены которого поочередно меняют знак:

a1 − a2 + a3 − a4 +... + (−1)n−1 an +... ,

где an , n =1,2,..., – числа одного знака. Такой ряд удобно записывать в виде

∞
∑(−1)n−1 an , an	> 0 .	(16.14)

n=1

Для знакочередующихся рядов имеет место следующая Теорема 16.8 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда

(16.14) удовлетворяют условиям:

1) an ≥ an+1 , n N ;

2) lim an = 0 ,

n→∞

168

∞

то ряд ∑(−1)n−1 an сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т. е.

n=1

S ≤ a1 .

Доказательство. Рассмотрим четную частичную сумму ряда (16.14)

S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) +... + (a2n−1 − a2n ) .

Так как все выражения в круглых скобках неотрицательны, то последовательность четных частичных сумм (S2n ) ряда неубывающая.

С другой стороны,
S2n = a1	− (a2 − a3 ) −... − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n ≤ a1 .			(16.15)
Таким образом, последовательность (S2n ) не убывает и ограничена сверху, а
следовательно, она сходится.
Обозначим lim S2n	= S . Из соотношения
n→∞
lim S2n+1 = lim(S2n		+ a2n+1 ) = lim S2n	+ lim a2n+1 = S
n→∞	n→∞	n→∞	n→∞

следует, что и сумма ряда (16.14) равна S . Из неравенства (16.15) заключаем, что S ≤ a1 . Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 16.8, называют рядом Лейбница.

Следствие 16.2. Остаток	r = (−1)n (a	n+1	− a	n+2	+...)	ряда Лейбница
	n	n+1		n+2

удовлетворяет неравенству rn ≤ an+1 .

Доказательство. Действительно, ряд Лейбница

∞

∑(−1)k −n−1ak = an+1 − an+2 + an+3 −...

k =n+1

169

только знаком отличается от остатка rn ряда (16.14) и не превосходит своего первого члена an+1 .

Пример 1 6 . 4 . Исследовать на сходимость ряд ∑∞ (−1)n−1 .

n=1 n4

Так как

1)	1	>	1			, n N ;
	n4		(n +	1)	4

2) lim 1 = 0, то данный ряд сходится.

n→∞ n4

16.6. Знакопеременные ряды

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Примеры знакопеременных рядов:

1)	sin α + sin 2α + ... + sin nα + ... = ∑sin nα				, α ≠ πk , k N ;
			∞
					2
	2	n	n=1	n	2
			n(n−1)		∞	n(n−1)
2)	1 −1 −1 +1 +1 −1 −1 + ... + (−1)			+ ... = ∑(−1)			.
2)	1 −1 −1 +1 +1 −1 −1 + ... + (−1)		2	+ ... = ∑(−1)		2	.

n=1

Очевидно, что знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов. Выясним, существует ли связь между сходимостями этих рядов.

∞	∞
Пусть дан ряд ∑an . Рассмотрим знакоположительный ряд ∑		an	.
Пусть дан ряд ∑an . Рассмотрим знакоположительный ряд ∑		an	.
n=1	n=1

170

∞

Теорема 16.9. Если сходится ряд ∑

, то сходится и ряд ∑an .

n=1

∞

n=1

Доказательство. Из сходимости ряда

∑

по

свойству 3

линейных

n=1

∞

операций над рядами (см. §16.3) следует сходимость ряда ∑2

Далее, поскольку 0 ≤ an +

, n N ,

n=1

≤ 2

то

из признака

сравнения

∞

(см. теорему 16.4) вытекает сходимость ряда

∑(an

). А так как ряд ∑an

n=1

представим в виде разности сходящихся рядов ∑∞ an = ∑∞ (an + an )− ∑∞ an , то он

n=1

сходится.

В теореме 16.9 сформулирован достаточный признак сходимости ряда

∞

∑an . Обратное утверждение в общем случае не имеет места, т. е. приведенный

n=1

признак не является необходимым. В связи с этим сформулируем следующее

∞

Определение 16.4.

Если

сходится

ряд ∑

, то

ряд ∑an называется

n=1

∞

абсолютно сходящимся.

Если ряд ∑an

сходится,

а ряд

∑

расходится, то

∞

n=1

ряд ∑an называется условно сходящимся.

n=1

∞

n−1

Пример 1 6 . 5 . Исследовать сходимость ряда ∑

(−1)

n=1

∞

Решение. Ряд ∑

= ∑

– расходящийся гармонический. Исходный ряд

n=1

сходится по признаку Лейбница, следовательно, он сходится условно.

Следует отметить, что абсолютно и условно сходящиеся ряды обладают качественно различными свойствами.

171

16.7. Ряды с комплексными членами

Числовой ряд

	∞	∞	∞	∞
	∑ zn = ∑ (an		+ ibn ) = ∑ an	+ i∑bn	(16.16)
	n=1	n=1	n=1	n=1
члены которого zn	= an + ibn ,	(an ,bn R) – комплексные числа, называется рядом
		∞
с комплексными	членами.	Ряд ∑ an	называется	действительной	частью ряда

n=1

∞

(16.16), а ряд ∑bn – его мнимой частью.

n=1

Составим конечную сумму n первых членов ряда (16.16):

n	n	n
Sn = ∑ zk = ∑ ak		+i∑bk .
k =1	k =1	k =1
Предел lim Sn существует	тогда и	только тогда, когда существуют
n→∞

пределы lim ∑ ak и

n→∞ k =1

сходимость рядов

lim ∑bk . Но существование последних пределов означает

n→∞ k =1

∞	∞
∑ an и	∑bn . Следовательно, ряд (16.16) сходится тогда и
n=1	n=1

только тогда, когда сходятся ряды из действительной и мнимой частей членов ряда (16.16), причем

∞	∞	∞
∑ zn	= ∑ an	+ i∑bn
n=1	n=1	n=1

∞

Теорема 16.10. Если сходится ряд ∑ zn , то сходится и ряд (16.16).

n=1

172

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]