Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

a0 = 1,25 > 0 ;

∆1 = a1 = 50,6 > 0 ;

∆2

50,6

3000

= 30405 > 0 ;

1,25

675

50,6

3000

∆3 =

1,25

675

= 3000∆2 > 0 .

50,6

3000

По критерию Рауса−Гурвица характеристический полином устойчив, т. е. все действительные части его корней αk ± iβk − αk < 0 следовательно, положение равновесия системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Пример 1 5 . 5 9 . Проверить устойчивость состояния равновесия некоторой системы по Ляпунову, если ее характеристическое уравнение

λ4 +12λ3 + 98λ2 +150λ +1600 = 0 .
		a0	=1 > 0 , a1 =12 ,				a2		= 98,		a3 =150 ,			a4 =1600,
			∆	1	= a =12 > 0 ,		∆	2	=	12		150	=1026 > 0 ,
			∆		= a =12 > 0 ,		∆		=	12		150	=1026 > 0 ,
					1					1		98
										1		98
	12	150	0								12	150		0	0


											1	98		1600	0
∆3 =	1	98	1600			= −76500 < 0 ,			∆4 =		1	98		1600	0	=1600∆	3 < 0 .
	0	12	150								0	12		150	0
	0	12	150								0	1		98	1600
											0	1		98	1600

153

Характеристический полином неустойчив по обоим критериям, следовательно, состояние равновесия соответствующей системы неустойчиво.

154

16.РЯДЫ

16.1.Числовые ряды. Основные понятия

Определение 16.1.	Пусть	(an ) = a1 ;a2 ;...;an ;...	–	числовая
последовательность. Выражение вида
		∞
a1	+ a2 + a3	+ ... + an + ... = ∑ an		(16.1)

n=1

называется числовым рядом, числа a1 ,a2 ,...,an – членами ряда, а число an – n-ым или общим членом ряда.

Примеры числовых рядов:

∞

1 + 2 + 4

+ ... +

2n−1 + ... = ∑ 2n−1 ,

n=1

1 + 1 + 1

+ ... +

+ ...

= ∑

1 .

∞

1 2

2 3

3 4

n(n −1)

n=1 n(n +1)

Определение 16.2. Сумма конечного числа n первых членов ряда (16.1)

Sn = a1 + a2 + ... + an = ∑ ak

k =1

называется n-ой частичной суммой данного ряда. Таким образом,

155

S1 = a1 ,

S2 = a1 + a2 ,

S3 = a1 + a2 + a3 ,

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an .

Определение 16.3. Если для последовательности (Sn ) частичных сумм ряда

(16.1) существует конечный предел

lim Sn = S ,

n→∞

то ряд (16.1) называется сходящимся, а число S – суммой данного ряда

∞
S = a1 + a2 + ... + an + ... = ∑ an .
n=1
Если предел последовательности (Sn ) не существует	или равен
бесконечности, то ряд называют расходящимся.
Пример 1 6 . 1 . Рассмотрим, например, ряд
∞
a − a + a − a + ... = ∑(−1)n−1a(a R, a ≠ 0) .	(16.2)
n=1
Последовательность частичных сумм
S1 = a,
S2 = 0,
S2n−1 = a,
S2n = 0,...

156

Теперь исследуем вопрос о сходимости ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:

a + aq + aq2 + ... + aqn−1 + ... = ∑n aqn−1

n=1

Сумма n первых членов этого ряда имеет вид:

Sn		= a + aq + aq2		+ ... + aqn−1 =			a(1 − qn )
Sn		= a + aq + aq2		+ ... + aqn−1 =			1 − q
							1 − q
		0,	если	q		<1,
		0,	если	q		<1,
Так как lim q	n
Так как lim q		=	если	q	>1,
n→∞		∞,	если	q	>1,

(a ≠ 0)

(16.3)

(q ≠1) .

		a	,	если	q		<1,
		a

		− q
lim Sn = 1
lim Sn = 1
n→∞				если	q	>1.

	∞,

		При q = −1 ряд (16.3) совпадает с рядом (16.2), при q =1,			Sn	= na и
lim Sn = ∞.
	n→∞
		Следовательно, ряд (16.3) сходится при	q	<1 и его сумма S =	a		, при
					a
	q				1 − q
		≥1 он расходится.			1 − q


		Выражение вида

∞

rn = an+1 + an+2 +... = ∑ak ,

k =n+1

представляющее собой числовой ряд, называется n-ым остатком ряда (16.1). Для сходящегося ряда можно записать равенство

157

∞	n		∞
S = ∑an	= ∑ak	+	∑ak	= Sn + rn .
n=1	k =1		k =n+1

Очевидно, что если числовой ряд (16.1) сходится, т. е. lim Sn = S , то

n→∞

lim r = 0	(16.4)
n→∞ n

Можно доказать, что условия (16.4) является не только необходимым, но и

∞

достаточным для сходимости ряда ∑an , т. е. из его выполнения следует

n=1

сходимость указанного ряда.

16.2. Необходимый признак сходимости ряда

∞

Теорема 16.1. Если ряд ∑an сходится, то

n=1

lim an = 0 .	(16.5)
n→∞

Доказательство. Пусть S = lim Sn . Так как Sn = Sn−1 + an , то

n→∞

lim an	= lim(Sn	− Sn−1 ) = lim Sn	− lim Sn−1 = S − S = 0.
n→∞	n→∞	n→∞	n→∞

Итак, если ряд (16.1) сходится, то выполняется условие (16.5). Отсюда вытекает достаточный признак расходимости ряда, сформулированный в виде следствия из теоремы 16.1.

Следствие 16.1. Если условие (16.5) не выполнено, т. е. предел lim an не

n→∞

∞

равен нулю или не существует, то ряд ∑an расходится.

n=1

158

Подчеркнем, что из выполнения условия (16.5) не обязательно следует сходимость ряда (16.1), т. е. оно не является достаточным признакам сходимости ряда.

Пример 1 6 . 2 . Исследовать на сходимость гармонический ряд

1 + 1	+ 1	+ ... + 1		+ ... = ∑1 .	(16.6)
				∞
2	3		n	n=1 n

Решение. Очевидно, что lim 1 = 0 , однако гармонический ряд расходится.

n→∞ n

Действительно, предположим, что ряд (16.6) сходится и его сумма равна S , тогда

lim(S	2n	− Sn ) = lim S	2n	− lim Sn = S − S = 0 .
n→∞		n→∞		n→∞

Из неравенства

S2n − Sn =

+ ... +

≥ n

, n N

n +1

n + 2

предельным переходом по n получаем противоречие 0 ≥ 12 .

16.3. Простейшие свойства числовых рядов. Линейные операции над сходящимися рядами

1 . Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость).

Доказательство. Действительно, указанные операции изменят на одну и ту же постоянную величину все частичные суммы ряда, начиная с некоторого

159

номера, а это не влияет на сходимость или расходимость последовательности частичных сумм ряда.

	∞	∞
2 .	Если ряды ∑ak	и ∑bk	сходятся		и	их	суммы равны Sa и Sb
	k =1	k =1
	∞					∞
соответственно, то ряд ∑(ak		+ bk ) также сходится и ∑(ak + bk ) = Sa + Sb .
	k =1					k =1
Доказательство. Действительно,
∞	n		n	n			n	n
∑(ak	+ bk ) = lim ∑(ak + bk	) = lim ∑ak		+ ∑bk	= lim ∑ak			+ lim ∑bk =Sa	+ Sb .
k =1	n→∞ k =1	n→∞ k =1		k =1	n→∞		k =1	n→∞ k =1
				∞
Отметим, что из сходимости ряда				∑(ak + bk )		в общем случае не следует

k =1

∞

сходимость рядов ∑ak

k =1

∞

и ∑bk .

k =1

∞	∞
Например, ряд (1–1)+(1–1)+… сходится, а ряды ∑1 и	∑(−1) – расходятся.
k =1	k =1

∞		∞
Ряд ∑(ak	+ bk )	называется суммой рядов ∑ak
k =1		k =1

∞

и ∑bk .

k =1

	∞					∞
3 . Если ряд ∑ak сходится и его сумма равна S ,				то ряд		∑αak также
	k =1					k =1
∞
сходится и ∑αak	= αS .
k =1
	∞	n	=		n	= αS .
Доказательство. Действительно, ∑αak		= lim ∑αak	=	αlim ∑ak		= αS .
	k =1	k =1		n→∞	k =1
	k =1	k =1			k =1
∞		∞
Ряд ∑αak называется произведением ряда ∑ak на число α.
k =1		k =1

Операции суммирования рядов и умножение ряда на число называются линейными операциями над рядами.

Из данных определений вытекает, что линейные операции над рядами реализуются с помощью линейных операций над их членами.

160

16.4. Ряды с неотрицательными членами

∞

Если задан ряд ∑ an с неотрицательными членами an , то

k =1

последовательность его частичных сумм является неубывающей. Необходимым и достаточным условием сходимости такой последовательности является ее ограниченность. Отсюда следует

Теорема 16.2. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была

ограниченной.
Теорема 16.3	(интегральный признак Коши). Если неотрицательная
интегрируемая функция		f (x)	на промежутке [1;+∞)	монотонно убывает и члены
∞		an =	∞
ряда ∑ an имеют	вид	an =	f (n) , то ряд ∑ an	и несобственный интеграл
n=1			n=1

∞

∫ f (x)d(x) сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости

		∞	∞	∞
		∫ f (x)dx ≤	∑ an	≤∫ f (x)dx + a1 .	(16.7)
		1	n=1	1
Доказательство. В силу монотонности функции					f (x) для k ≤ x ≤ k + 1
справедливо неравенство		f (k) ≥ f (x) ≥ f (k + 1) . Интегрируя его в пределах от k
до k + 1 имеем k∫+1	f (k)dx ≥ k∫+1 f (x)dx ≥ k∫+1 f (k + 1)dx или ak				≥ k∫+1 f (x)dx ≥ ak +1 , так как
k		k	k		k

f (k) = ak . Запишем полученные неравенства для k = 1,n

161

		a1 ≥ ∫2	f (x)dx ≥ a2 ,
		1
		a2 ≥ ∫3	f (x)dx ≥ a3 ,
		2
		............................
		an ≥ n∫+1 f (x)dx ≥ an+1.
		n
Просуммировав их, найдем
		Sn ≥ n∫+1 f (x)dx ≥ Sn+1 − a1 .			(16.8)
		1
Рассмотрим следующие случаи:
		∞		n+1	1
1. Пусть	интеграл	∫ f (x)dx	сходится и равен I, тогда	∫	f (x)dx ≤ I	и
		1		1
Sn+1 ≤ I + a1 = C	или	Sn ≤ C, n N . Итак, монотонно		возрастающая

последовательность частичных сумм (Sn ) ограничена сверху и, следовательно,
∞	∞
сходится, т. е. сходится ряд ∑ an . Наоборот, если сходится ряд	∑ an , то его
n=1	n=1

последовательность частичных сумм (Sn ) ограничена, а тем более ограничена и

сходится	монотонно возрастающая	последовательность	In+1 = n∫+1 f (x)dx , т. е.
			1
	∞
сходится интеграл ∫ f (x)dx .
	1
	∞
2.	Пусть интеграл ∫ f (x)dx	расходится, тогда	в силу неравенства
	1

Sn ≥ n∫+1 f (x)dx	последовательность частичных сумм (Sn ) неограничена, а значит,
1
∞	∞
ряд ∑ an расходится. Если же расходится ряд ∑ an , то последовательность его
n=1	n=1

162

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]