Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

ξ2

ξ1

0

Рис. 15.9

начинающиеся в начале координат, следовательно, особая точка – узел, устойчивый или неустойчивый.

траектории изображены на рисунке 15.10, особая точка – неустойчивый узел.

143

x2

x1

0

144

логарифмические спирали. Точки покоя такого типа называются фокусы. При α > 0 с возрастанием ϕ возрастает r , т. е. изображающая точка удаляется по

спиралям от начала координат, значит, состояние равновесия неустойчиво. При α < 0 с возрастанием ϕ убывает r , изображающая точка по фазовым траекториям асимптотически приближается к началу координат, следовательно, устойчивый фокус и устойчиво равновесное состояние системы.

изображающей точки – окружности с центром в начале координат, описываемые с угловой скоростью β. Особая точка такого типа называется центр,

частью, следовательно, начало координат – точка покоя типа фокус, фазовые траектории – логарифмические спирали: r = ce−ϕ . Т. к. действительная часть корней α = −1 < 0 , то состояние равновесия системы асимптотически устойчиво. Направление движения изображающей точки по спирали – к началу координат – это легко проверить с помощью уравнений исходной системы, т. к. в 1-й четверти dxdt1 > 0 и dxdt2

убывающая. См. рис. 15.10.

145

x1

x2

0

λ1,2 = ±2i .

начало координат – особая точка типа центр.

2-й способ. Решим систему уравнений, тогда общее ее решение представит параметрические уравнения фазовых траекторий в окрестности точки покоя. Формула общего решения в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:

Координаты собственного вектора V, соответствующего собственному значению λ = 2i , найдем из системы уравнений:

146

(0 − 2i)α1 + 1 α2 = 0,− 4α1 + (0 − 2i)α2 = 0,

имеющей кроме тривиального бесчисленное множество решений, т. к. ∆ = 0 ,

Следовательно, параметрические уравнения фазовых траекторий

x1 (t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t,

x2 (t) = −2C1 sin 2t + 2C2 cos 2t.

Исключим из них t :

147

3-й способ. Система представляет 4-й случай для определения типа особой точки, т. к. характеристические числа λ1,2 = ±2i чисто мнимые, следовательно, в

полярных координатах для косоугольной системы фазовые траектории имеют уравнения r = r0 , ϕ = 2t + ϕ0 это окружности, особая точка – начало координат – центр. На рис. 15.12 дан фазовый портрет системы

0

Рис. 15.12

Замечание 15.14. Если определитель матрицы системы (15.136) ∆ = 0 , λ1 = 0 , λ2 = a + d , данная линейная система имеет бесчисленное множество точек покоя, при этом:

а) если λ2 < 0 , фазовые траектории образуют семейство параллельных прямых и все точки покоя, лежащие на них, устойчивы (рис. 15.13);

x2

x1

0

Рис. 15.13

б) если λ2 > 0 , начало координат – неустойчивая точка покоя;

в) λ1 = λ2 = 0 , матрица система нулевая, все точки плоскости устойчивые точки покоя;

148

г) λ1 = λ2 = 0 , d = −a , bc ≤0 , начало координат – неустойчивая точка покоя.

Мы рассмотрели исследование устойчивости линейных (линеаризованных) систем. Теория первого приближения позволяет судить об устойчивости состояния равновесия возмущенного движения, заданного системой:

где X1 (t), X 2 (t),..., X n (t) − функции нелинейные, разложения которых по степеням начинаются с членов 2-го порядка; эти функции отбрасывают и исследуют линеаризованную систему

149

используют метод первого приближения, заменяя правые части уравнений с помощью формулы Тейлора в окрестности точки покоя (x1 →0, x2 →0,...)

суммами линейных членов, отбрасывая слагаемые высшего порядка малости. Тогда исследование состояния равновесия системы (15.146) заменяют приближенно исследованием линеаризованной системы

Ляпунов установил, при каких условиях заключения об устойчивости линеаризованной системы сохраняют силу для исходной, неупрощенной системы:

отрицательны, то невозмущенное движение исходной системы (15.146) устойчиво асимптотически, независимо от членов выше 1-го порядка.

Теорема 15.26. Если среди корней характеристического уравнения имеется по крайней мере один с положительной вещественной частью, то невозмущенное

150

Т. к. α = −54 , то по теореме 15.25 Ляпунова состояние равновесия заданной

и линеаризованной систем асимптотически устойчиво.

Замечание 15.15. В “критическом случае”, если все αi < 0 за исключением хотя бы одного α =0 , надо применять другие методы исследования.

Пример 1 5 . 5 7 .

Т. к. λ1 >0 , по теореме 15.26 Ляпунова состояние равновесия заданной и линеаризованной систем неустойчиво.

Критерии отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения

Из теорем Ляпунова следует, что для суждения об устойчивости положения равновесия линейной системы или движения нелинейных систем по теории первого приближения нужно знать, является ли устойчивым полином – развернутый определитель характеристического уравнения. Устойчивым называется полином, все корни которого αk + i βk лежат слева от мнимой оси, т. е.

все αk <0 . Существуют специальные критерии, позволяющие без нахождения корней полинома, что особенно важно для полиномов степени ≥ 2 , определить:

151

устойчив или неустойчив данный полином. Приведем краткое изложение некоторых критериев.

Критерий Рауса-Гурвица

Критерий Льенара-Шипара

коэффициентами все корни имеют отрицательную действительную часть(αk < 0),

если положительны все ∆i с четными индексами, т. е. ∆2 ,∆4 ,... или положительны все ∆i с нечетными индексами.

Пример 1 5 . 5 8 . Проверить устойчивость некоторой системы,

характеристический полином которой 1,25λ3 + 50,6λ2 + 675λ + 3000 .

Вычислим определители Гурвица

152