Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

для всех t ≥ t0 .

Определение 15.34. Решение (15.115) называется неустойчивым, если хотя бы для одного решения (15.116) при сколь угодно малом δ не выполняются неравенства (15.119).

Замечание 15.12. Если дифференциальная система (15.113) представляет закон движения, то решение (15.115) называют невозмущенным движением, а решение (15.116) – возмущенным, тогда приведенное выше определение устойчивости по Ляпунову означает следующее: в каждый момент времени t ≥ t0

точка траектории возмущенного движения лежит в достаточно малой окрестности соответствующей точки невозмущенного движения.

Теперь допустим, что аргумент t может принимать любое значение из интервала [t0 ,+∞), тогда при t → +∞ вводится понятие асимптотической устойчивости по Ляпунову.

Определение 15.35. Если решение (15.115) дифференциальной системы (15.113) устойчиво и, кроме того,

то решение (15.115) называется асимптотически устойчивым.

Пример 1 5 . 4 9 . Исследовать на устойчивость частное решение системы

при начальных условиях

133

Таким образом,

Очевидно, даже при малых значениях ε неравенства (15.119) не выполнены, при t → ∞ разности решений не стремятся к 0, следовательно, решение (15.123) неустойчиво.

134

Пример 1 5 . 5 0 . Исследовать устойчивость решения системы

удовлетворяющего начальным условиям

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям

Слегка изменим начальные условия и найдем соответствующее частное

135

Оценим разность найденных решений:

Очевидно, при любом t > 0 и малом ε они малы, т. е. решение (15.128)

устойчиво, притом – асимптотически устойчиво, т. к. при t → +∞ (x1 − x1 )→ 0

(x2 − x2 )→ 0 .

свести к исследованию на устойчивость тривиального решения системы

поэтому в основе исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений лежит устойчивость положения равновесия, т. е. точки покоя.

136

Устойчивость линейных дифференциальных систем. Основные теоремы

Определение 15.36. Линейная дифференциальная система вида

называется устойчивой (или неустойчивой) по Ляпунову, если все ее решения

устойчивы (или не устойчивы) по Ляпунову при t → ∞.

Теорема 15.23. Для устойчивости линейной системы (15.131) необходима и достаточна устойчивость тривиального решения соответствующей однородной

137

Теорема 15.24. Линейная дифференциальная система (15.131) асимптотически устойчива только тогда, когда асимптотически устойчиво тривиальное решение соответствующей однородной системы (15.133)

Обыкновенные и особые точки фазовой плоскости

Для простоты и возможности наглядной геометрической интерпретации будем рассматривать систему дифференциальных уравнений, соответствующую уравнениям движения механической системы с одной степенью свободы:

дифференцируемы и не обращаются в нуль одновременно. Через каждую обыкновенную точку проходит единственная фазовая траектория. Точка (x10 , x20 )

наз. особой, если f1 (x10 , x20 ) = f2 (x10 , x20 ) = 0. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности. Физический смысл особых точек: это точки покоя (равновесия), допускающие устойчивые или неустойчивые положения равновесия.

Предварительные замечания. Качественная теория устойчивости основана на исследовании уравнений возмущенного движения без их интегрирования с помощью построения так называемых функций Ляпунова, однако, общих правил построения таких функций нет. В связи с этим в практических инженерных расчетах широко применяются приближенные методы, одним из основоположников которых является профессор Вышнеградский И.А. При

138

исследовании устойчивости регуляторов прямого действия он допустил, что характер устойчивости установившегося движения системы проявляется уже в тех малых возмущенных движениях, какие возникают около невозмущенного движения в течение малого промежутка времени после достаточно малого начального возмущения. Поэтому при решении вопроса об устойчивости в уравнениях возмущенного движения отбрасывались все члены выше первого порядка относительно координат и скоростей, полученная при этом линеаризованная система исследовалась на устойчивость невозмущенного движения, что давало возможность приближенно судить об устойчивости возмущенного движения. Такие методы содержатся в теории “первого приближения”. Теория первого приближения не всегда приводит к правильным заключениям об устойчивости возмущенного движения. В конце данного параграфа будут приведены две теоремы Ляпунова, в которых формулируются условия, когда заключения об устойчивости линеаризованной системы справедливы и для исходной системы.

Рассмотрим линейную однородную дифференциальную систему с постоянными коэффициентами:

Как известно, решение такой системы определяется характером корней характеристического уравнения. Представим корни характеристического уравнения в комплексной форме: λ1 = α1 + iβ1 , λ2 = α2 + iβ2 ,...,λn = αn + iβn .

139

Простейший случай для системы с одной степенью свободы: тогда системе (15.135) будет соответствовать система из двух линейных дифференциальных уравнений:

Очевидно, особая точка – начало координат – изображает невозмущенное равновесное состояние системы. В зависимости от корней характеристического уравнения возможны четыре случая, в каждом из которых будет свой тип расположения фазовых траекторий около особой точки, что даст геометрическую иллюстрацию характера устойчивости невозмущенного состояния линейной системы с одной степенью свободы.

Ляпунов предложил предварительно привести систему к каноническому виду с помощью линейной подстановки:

которое представляет собой характеристическое уравнение системы (15.136), каноническая система уравнений имеет вид:

или

140

1-й случай. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков. Каноническая система уравнений и ее решения имеют вид:

Изображающая точка по этим кривым удаляется от начала координат, т. е. равновесное состояние неустойчиво. Особая точка такого типа называется седло.

изображены на рисунке:

141