Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

части, получим 2S линейно независимых действительных частных решений. Решения, соответствующие корню α − iβ, будут линейно зависимыми с решениями, соответствующими α + iβ.

Если, кроме кратного корня λm , имеются другие корни, то, построив n

линейно независимых действительных частных решений, соответствующих всем этим корням, и взяв их линейную комбинацию с произвольными постоянными коэффициентами, получим общее решение однородной системы.

Пример 1 5 . 4 7 . Найти общее решение системы дифференциальных

Пусть γ3 =1, тогда имеем γ2 = 15 (3γ1 + 2 1).

Полагая γ1 =1, находим γ2 =1, γ3 = 1. Таким образом, (1, 1, 1) − собственный вектор, соответствующий числу λ1 =1. Координаты собственного вектора определяются с точностью до числового множителя. Соответствующее λ1 =1

частное решение имеем вид x1 = et , y1 = et , z1 = et .

Если λ2 − корень характеристического уравнения кратности S , то ему соответствует решение вида

123

x = P1 (t)eλ2t , y = P2 (t)eλ2t , z = P3 (t)eλ2t ,

где P1 (t), P2 (t), P3 (t) − многочлены от t степени не выше S −1 (они могут вырождаться в постоянные числа), причем среди коэффициентов всех этих многочленов S коэффициентов являются произвольными, а остальные выражаются через них.

Таким образом, для двукратного корня λ = 0 частное решение находим в

виде

Подставляя выражения для x, y, z исходную систему, имеем:

a1 = (4a1 − 5b1 + 2d1 ) t + 4a2 − 5b2 + 2d2 , b1 = (5a1 − 7b1 + 3d1 ) t + 5a2 − 7b2 + 3d2 , d1 = (6a1 − 9b1 + 4d1 ) t + 6a2 − 9b2 + 4d2 .

Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем системы уравнений:

Так как ранг каждой из систем равен 2 и одно из уравнений каждой системы есть следствие двух других, то, решая первую систему, имеем:

124

Подставляя a1 = 13 d1 , b1 = 23 d1 во вторую систему, имеем

С учетом того, что одно из уравнений последней системы есть следствие двух других, находим

Частное решение для двукратного корня λ = 0 принимает вид:

125

z = d1t + d2 .

Полагая d1 = 3, d2 = 0 , получаем частное решение x2 = t −1, y2 = 2t −1, z2 = 3t .

Полагая d1 = 0, d2 = 3 , находим еще одно частное решение x3 =1, y3 = 2 , z3 = 3.

Все три полученных частных решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений:

x1 = et , y1 = et , z1 = et ;

x2 = t −1, y2 = 2t −1, z2 = 3t ;

x3 =1, y3 = 2 , z3 = 3 .

Итак, общее решение исходной системы:

x = C1et + C2 (t −1) + C3 ,

y = C1et + C2 (2t −1) + 2C3 ,

z = C1et + 3C2t + 3C3 .

126

15.28. Элементы теории устойчивости

При исследовании динамики физических систем происходящие в них процессы описываются дифференциальными уравнениями, причем возникают задачи, в которых нужно не только найти конкретное решение, соответствующее заданным начальным условиям, но и определить, как ведет себя решение при изменении начальных условий и при изменении аргумента. Такие вопросы изучаются в качественной теории дифференциальных уравнений, в разделе теория устойчивости движения (или устойчивости решения).

Механическая трактовка нормальной системы д. у. Фазовая плоскость. Фазовые траектории

Пусть точка массы m c координатами x(t), y(t) движется под действием силы

→

F( X ,Y ) , тогда уравнение движения этой точки в векторной форме имеет вид:

Эту систему можно заменить равносильной системой д. у. 1-го порядка:

127

Система (15.105) состоит из четырех д. у. 1-го порядка с четырьмя неизвестными функциями:

x(t), y(t) − координаты движущейся точки; x(t), y(t) − проекции ее скорости.

Движение голоморфных механических систем с конечным числом степеней свободы кинематически определяется заданием обобщенных координат и обобщенных скоростей как однозначных функций времени, при этом равновесному состоянию (состоянию покоя) соответствуют постоянные значения координат и нулевые скорости. В исследованиях устойчивости движения и покоя обобщенные координаты и скорости формально играют одинаковую роль, поэтому для них вводят общие обозначения, например, для системы (15.105):

тогда пространство состояний движения (т. е. пространство обобщенных координат и скоростей) точки M (x1 , x2 , x3 , x4 ) называется фазовым пространством,

а сама точка называется изображающей состояние движения рассматриваемой механической системы.

Система уравнений (15.105) принимает вид:

128

В общем случае движение механической системы с конечным числом степеней свободы описывает система д. у.:

в фазовом пространстве представляют так называемые фазовые траектории – траектории движения изображающей точки, следовательно, уравнения (15.110)

129

можно считать параметрическими уравнениями фазовых траекторий, а система д. у. (15.108) определяет в фазовом пространстве поле направлений, т. е. направление касательной к фазовой траектории, проходящей через каждую точку фазового пространства.

Замечание 15.10. Положение изображающей точки в данный момент времени в фазовом пространстве соответствует определенному состоянию движения механической системы. Состояние покоя системы (координаты системы постоянны, скорости равны нулю) соответствует положению равновесия изображающей точки, следовательно, устойчивость состояния равновесия системы (например, все xi = 0 ) определяется устойчивостью положения изображающей точки в начале координат.

Замечание 15.11. Если правые части дифференциальных уравнений системы (15.108) явно зависят от t, то поле направлений в фазовом пространстве неустановившееся, меняется с течением времени. Если функции f i не зависят явно от t, то поле направлений будет установившимся (стационарным), при этом движение системы, описываемое уравнениями (15.108) называют установившимся, а саму систему автономной.

Простейший пример фазовой трактовки движения автономной системы представляет гармонический осциллятор.

Пример 1 5 . 4 8 . Уравнение гармонического осциллятора

130

фазовые траектории – эллипсы в фазовой плоскости Ox1 x2 , а направление движения изображающей точки по эллипсу, проходящему через точку с координатами:

убывает.

x2

(x10, x20)

Рис. 15.7

131

Устойчивость решений дифференциальных систем по Ляпунову

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений

с начальными условиями

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 , что из системы неравенств

132