Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

Теорема 15.22. Если вектор u(x)+iv(x) − решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с действительными коэффициентами ak j (x) и функциями ϕk (x), k, j =i,n , то действительная часть решения u(x) и его мнимая часть v(x) также будут решениями этой системы.

15.27.Системы линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Определение 15.31. Система

в которой коэффициенты aij , i, j =i, n − действительные числа, называется

нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В матричной записи система (15.98) имеет вид

dydt = Ay ,

называется совокупность ее n-линейно независимых решений вида

113

Если Y (i ) (t), i =1,n − фундаментальная система решений, то общее решение

системы (15.98) имеет вид

Y (t) = ∑n CiY (i ) (t),

i=1

где C1 ,C2 ,...,Cn − произвольные постоянные.

Для нахождения фундаментальной системы решений используют метод Эйлера, который состоит в следующем. Линейно независимые частные решения

Для того, чтобы система (15.99) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

114

Для определения λ из равенства (15.100) имеем уравнение n-й степени, которое является характеристическим уравнением матрицы А и называется

характеристическим уравнением системы (15.98). Характеристическое уравнение матрицы А (15.100) имеет n корней с учетом их кратностей, т. е. корни λ1 ,λ2 ,...,λn − собственные значения этой матрицы.

При решении характеристического уравнения возможны следующие случаи.

1.Корни характеристического уравнения λ1 ,λ2 ,...,λn − действительные и

различные. Подставляя их поочередно в систему (15.99) и решая ее, находим n линейно независимых собственных векторов матрицы А:

Этим собственным векторам соответствует n векторов-решений системы (15.98):

Система (15.102) линейно независима. Ее определитель Вронского отличен от нуля для всех x R .

115

Пусть γ1 =1, тогда (1,0,1) − собственный вектор, соответствующий корню

→

− собственный вектор, соответствующий корню λ3 = 2 и j3 =[3,−2,1]T .

Координаты всех собственных векторов определяются с точностью до числового множителя. Итак, получена следующая фундаментальная система

Общее решение исходной системы в векторной форме

117

Так как коэффициенты системы – действительные числа, то сопряженное число λ = α − iβ тоже будет корнем характеристического уравнения. Этим корням

(комплексно-сопряженным собственным значениям матрицы А) будут отвечать собственные векторы с комплексно-сопряженными координатами:

Следовательно, векторы

118

многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена, то на основании этого находим, что число λ1 = 2 − корень характеристического уравнения. Разделив левую часть уравнения на (λ − 2), получим уравнение

λ2 − 6λ + 10 = 0, которое имеет комплексные корни λ2 = 3 + i , λ3 = 3 − i .

Определим собственные векторы.

119

120

z2 = (2 − i)e(3+i )t = (2 − i)e3t (cost + isin t)= e3t (2cost + sin t + i(2sin t − cost)).

Для λ3 = 3 − i частное решение имеем вид

x3 = e(3−i )t = e3t (cost − isin t),

y3 = (1 − i)e(3−i )t = e3t (1 − i)(cost − isin t)= e3t (cost − sin t − i(sin t + cost)), z3 = (2 + i)e(3−i )t = e3t (2 + i)(cost − isin t)= e3t (2cost + sin t + i(2sin t − cost)).

Поскольку действительная и мнимая части комплексного решения исходной системы в отдельности будут решениями этой системы, а комплексным сопряженным корням соответствуют одни и те же решения, возьмем частное решение для λ2 = 3 + i и отделим в нем действительную и мнимую части. Тогда действительные части дадут одно частное решение, а мнимые – другое. Следовательно, для чисел λ2 = 3 + i , λ3 = 3 − i получаем два линейно независимых частных решения:

x2(1) = e3t cost, y2(1) = e3t (cost − sin t), z2(1) = e3t (2cost + sin t),

x3(2 ) = e3t sin t, y3(2 ) = e3t (sin t + cost), z3(2 ) = e3t (2sin t − cost).

Общее решение исходной системы примет вид

x = C1 x1 + C2 x2(1) + C3 x3(2 ) = C1e2t + e3t (C2 cost + C3 sin t),

121

y= C1 y1 + C2 y2(1) + C3 y3(2 ) = C1 0 + e3t (C2 (cost − sin t)+ C3 (sin t + cost))=

=e3t ((C2 + C3 )cost + (C3 − C2 )sin t),

z = C1 z1 + C2 z2(1) + C3 z3(2 ) = C1e2t + e3t (C2 (2cost + sin t)+ C3 (2sin t − cost))=

=C1e2t + e3t ((2C2 − C3 )cost + (C2 + 2C3 )sin t).

3.Среди корней характеристического уравнения есть кратные.

Укажем вид частных решений, соответствующих кратным корням. Корню λm кратности S соответствует решение вида

y1 = P1 (x)eλm x , y2 = P2 (x)eλm x ,…, yn = Pn (x)eλm x ,

где P1 (x), P2 (x),..., Pn (x) − многочлены от x степени не выше S −1 (они могут вырождаться в числа), причем среди коэффициентов всех этих многочленов S коэффициентов являются произвольными, а остальные выражаются через них. Полагая поочередно один из этих произвольных коэффициентов равным постоянному числу, а остальные равными нулю, построим S линейно независимых частных решений, соответствующих λm . Если λm - действительное число, то эти частные решения также действительны. Если λm = α + iβ −

комплексный корень кратности S , то λm = α − iβ также будет корнем характеристического уравнения той же кратности S . Найдя, указанным ранее методом, S линейно независимых комплексных частных решений, соответствующих корню λm = α + iβ, и отделив в них действительные и мнимые

122