Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, т. е. начальное положение точки и ее начальную

= x , y , z , x0 , y , z0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

d 2

. .

= X t, x,

y, z, x,

y, z ,

d 2

= Y

. .

t, x,

y, z, x,

y, z ,

. .

= Z

t, x,

y, z, x,

y, z

где X ,Y , Z − проекции вектора F на оси координат x, y, z .

Если считать неизвестными не только координаты точки

проекции скорости

. . .

x, y, z

(15.87)

x, y, z , но и

то получим систему из шести уравнений первого порядка.

x	= u, m du		= X (t, x, y, z,u,v, w),
.
		dt
		dt

y = v, m dv
y = v, m dv			= Y (t, x, y, z,u,v, w),
.
		dt		(15.88)

.		dw
		dw
z = w, m dt
z = w, m dt			= Z(t, x, y, z,u,v, w).

Векторное уравнение (15.86) можно также записать в виде системы двух векторных уравнений, если скорость V = drdt считать неизвестной векторной

функцией:

drdt = V , m dVdt = F( f ,r,V ),

103

V – вектор с проекциями u,v, w .

Если ввести в рассмотрение вектор

R(t) = x(t), y(t), z(t), x(t), y(t), z(t)			,
.	.	.

то уравнение (15.86) или система (15.88) эквивалентны одному векторному уравнению первого порядка

dR	= Φ(t, x, y, z,u,v, w)	(15.89)
dt

в шестимерном пространстве, причем вектор

	1		1		1
Φ u,v, w,		X ,		Y,		Z .
Φ u,v, w,	m	X ,	m	Y,	m	Z .
	m		m		m

Определение 15.27. Шестимерное пространство точек

	. . .	≡ (r ,r ,r V ,V ,V )
x, y, z, x, y, z
		x y z x y z

в физике называют фазовым, а кривую R(t) в шестимерном пространстве,

являющуюся решением (15.89), называют фазовой траекторией.

Фазовое пространство – это пространство состояний движения точки по кривой.

Первые три координаты R(t) характеризуют положение точки в трехмерном пространстве (r(t)), а остальные три координаты R(t) характеризуют ее скорость

r(t). Приведенная терминология дает так называемую кинематическую интерпретацию системы уравнений.

104

Систему (15.88), или, что то же самое, (15.89) называют динамической системой.

Для выделения одной траектории необходимо задать начальные условия:

скорость. Интегральная кривая R(t) будет проходить через точку R0

шестимерного пространства.

Таким образом, физические задачи приводят к необходимости рассмотрения систем дифференциальных уравнений.

15.24. Переход от дифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение n–го порядка

y(n ) = f (x, y, y′,..., y(n−1))

можно свести к системе дифференциальных уравнений. Положим

y = y1 ;						y		= y;
y′= y ′							1
y′= y ′	= y		;			y	2	= y′;
1		2					2
						y3 = y′′;
y′′= y2′ = y3 ;						y3 = y′′;
. . . . . .
. . . . . .					. . . .
y(n−1) = y′	−1	= y		;	yn = y(n−1);
n	−1		n

(15.90)

(15.91)

Следовательно, уравнение (15.90) примет вид

y(n ) = y	n	′ = f (x, y , y	2	,..., y	n	).	(15.92)
	n	1	2		n

105

Таким образом, уравнение (15.90) с учетом равенств (15.91) и (15.92) эквивалентно нормальной системе дифференциальных уравнений

	′	= y2 ;
	y1	= y2 ;
	y2′ = y3 ;
	y2′ = y3 ;
	. . . .						(15.93)
	. . . .						(15.93)
	y′	= y		;
	y′	= y	n	;
	n−1		n
y′	= f (x, y , y		2	,..., y	n	).
n		1	2		n

Решение систем (15.93), согласно равенствам (15.91), служит вектор

y1	(x)		y(x)
y2	(x)		y′(x)		(15.94)
y =		=		,	(15.94)

yn	(x)	y(n−1)(x)

первая координатная функция y1 = y1 (x)= y(x) которого есть решение исходного дифференциального уравнения.

15.25. Методы интегрирования нормальных систем дифференциальных уравнений

Метод исключения неизвестных

Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных, который сводит систему уравнений к одному или нескольким дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом.

106

Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений (15.84), где функции fi , i =1,2,...,n , n-раз непрерывно дифференцируемы в рассматриваемой области D . Эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению n.

Из первого уравнения системы (15.84) дифференцированием по х находим

′′

∂f1

∂f1′

′

+... +

∂f1

′

∂f1

f1 +... +

∂f1

fn = F2 (x, y1 ,..., yn ),

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

поскольку yi′ = fi , i =1,2,..., n .

Дифференцируя теперь это равенство, находим y1′′′= F3 (x, y1 ,..., yn ).

Продолжая этот процесс, получаем новую систему дифференциальных

уравнений
y1′ = f1	(x, y1 ,..., yn ),
y1′′= F2	(x, y1 ,..., yn ),
. . .		. . . . .
. . .		. . . . .
y(n ) = F		(x, y ,..., y	n	).
1	n	1	n

При определенных условиях из этой системы можно выразить производную y1(n ) в виде функции от x, y1 , y1′,..., y1(n−1) , т. е. получить дифференциальное уравнение y1(n ) = f (x, y1 , y1′,..., y1(n−1)).

Таким образом, нормальную систему n уравнений первого порядка можно свести к одному дифференциальному уравнению порядка n. На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений – метод исключения.

d 2 y = x,

Пример 1 5 . 4 3 . Найти общее решение системы dt 2

d 2 x = y.dt 2

107

Решение. Это однородная система уравнений второго порядка.

Продифференцируем дважды первое уравнение системы:

d 2 x

d 4 y

. Подставляя

dt 2

dt 4

затем во второе уравнение системы выражение для

d 2 x

получаем уравнение

dt 2

d 4 y

− y =

0 . Соответствующее характеристическое уравнение λ −1

= 0 имеем

dt 4

корни λ1

=1,

λ2

= −1,

λ3 = i , λ4 = −i . Общее решение

уравнения

yIV − y = 0

y(t)= C et

+ C

e−t

+ C

cost + C

sin t .

По данному первому уравнению системы x = d 2 y находим x(t). Имеем dt 2

dydt = C1et − C2 e−t − C3 sin t + C4 cost ,

тогда

x = d 2 y = C1et + C2e−t − C3 cost − C4 sin t . dt 2

Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид

x(t)= C et + C		e−t − C	cost − C	sin t ,
1	2	3	4
y(t)= C et + C		e−t + C	cost + C	sin t .
1	2	3	4

Метод интегрируемых комбинаций

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, с помощью которых можно найти решение системы.

108

Определение 15.28.	Интегрируемой	комбинацией	называется
дифференциальное уравнение

F(x, y1 , y2 ,..., yn , y′n , y1′, y′2 ,..., y′n )=0 ,

являющееся следствием уравнений системы (15.93) и интегрирующееся проще, чем входящие в нее уравнения. После интегрирования этого уравнения получают выражение Φ(x, y1 , y2 ,..., yn )= C , называемое первым интегралом системы (15.93).

Найдя несколько интегрируемых комбинаций, можно с их помощью уменьшить число неизвестных функций и даже выполнить интегрирование до конца.

Пример 1 5 . 4 4 . Найти общее решение системы методом интегрируемых

комбинаций

xy′ = y,

+ y

= 0.

xzz′ + x

Решение. Решая первое уравнение системы, получаем

= y ,

= ln

+ ln

. Отсюда имеем y =C x

−

первый

интеграл

∫ y

∫ x

2zz′ + 2x + 2 y2

x = 0 .

системы. Преобразуем второе уравнение системы к виду

Так

как

из

первого

уравнения

данной

системы

имеем

y′ =

, то

2zz′ + 2x + 2 yy′ = 0 , откуда d(z2 + x2 + y2 )= 0 .

Следовательно x2 + y2 + z2

= C2

также служит первым интегралом системы.

Итак,

совокупность

C x = y ,

x2 + y2 + z2 = C

является

общим

интегралом

исходной системы.

109

15. 26 Линейные нормальные системы дифференциальных уравнений

Определение 15.29. Нормальная система дифференциальных уравнений

вида

dy1

= a

(x)y

+ a

(x)y

+ ... + a

(x)y + ϕ

(x),

dy2

= a

(x)y

+ a

(x)y

+ ... + a

(x)y

+ ϕ

(x),

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

dyn

= a

(x)y

+ a

(x)y

+ ... + a

(x)y

+ ϕ

(x)

называется линейной.

Ее можно записать в векторно-матричной форме

dy → dx = Ay + ϕ ,

где

ϕ1

(x)

a11 (x)

a12 (x) … a1n

(x)

ϕ2

a22 (x) …

→

(x)

a21 (x)

a2n (x)

y =

ϕ =

A =

…

...

…

(x)

…

(x)

(15.95)

(15.96)


Если функция			ϕi (x) = 0, i =					, то система (15.95) называется однородной,		в
							1,n
противном случае – неоднородной.
Пусть функции						aij (x), называемые коэффициентами системы (15.95),				и
ϕi (x), i =		,	j =		,	определены и непрерывны на некотором отрезке			[a;b].
	1,n			1,n
Тогда задача Коши для нормальной системы линейных уравнений (15.95)									имеет

110

единственное						решение в достаточно малой окрестности каждой точки
M	0	(x	, y0	, y0	,..., y0 ), x		0	[a;b].
	0	0	1	2		n	0

Для линейных систем дифференциальных уравнений справедливы теоремы, аналогичные сформулированным ранее для линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Введем их без доказательств.

Теорема 15.16. Если y1 (x), y2 (x) − произвольные решения линейной однородной системы dydx = Ay , то их сумма y1 (x)+ y2 (x) также будет решением этой системы.

Теорема 15.17. Если y(x) является решением линейной однородной системы

dydx = Ay , то Cy(x) также будет решением этой системы при любом постоянном C .

		Теорема 15.18. Если	~	решение линейной неоднородной		системы
		Теорема 15.18. Если	y(x) −	решение линейной неоднородной		системы
	dy	→			dy
	dy	= Ay + ϕ, а y(x) − решение соответствующей однородной системы			dy	= Ay , то
	dx				dx	= Ay , то
	dx				dx
		~
сумма y(x)+ y(x) будет решением неоднородной системы.
		Определение 15.30.	Система	векторов y1 (x), y2 (x),..., yn (x)	называется

линейно независимой на интервале (a;b), если тождество

α1 y1 (x)+ α2 y2 (x)+... + αn yn (x)≡ 0,

x (a;b),

(15.97)


выполняется только при α1	= α2 = ... = αn			= 0 . Если же тождество (15.97) имеет
место и при этом среди чисел αi ,		i =		есть хотя бы одно отличное от нуля, то
			1,n
данная система векторов называется линейно зависимой.
Пусть вектор yk (x)	имеет	координаты y1k (x), y2k (x),..., ynk (x), k =				.
					1,n

Запишем тождество (15.97) в скалярном виде:

111

α1 y11 (x) + α2 y12		(x) +... + αn y1n	(x) ≡ 0,
α1 y21 (x) +	α2 y22	(x) +... + αn y2n
			(x) ≡ 0,
. . . . . . . . . . . . . . . .				.

α1 yn1 (x) +
	α2 yn2 (x) +... + αn ynn (x) ≡ 0,

Определитель Вронского (вронскиниан) системы векторов y1 (x), y2 (x),..., yn (x)

имеет вид

	y (x)	y (x) ...		y (x)
	y (x)	y (x) ...		y (x)
W (x) =	y1121 (x)	y1222 (x) ...		y12nn (x)	.
	...	...	...	...
	yn1 (x) yn2 (x) ...			ynn (x)

Теорема 15.19. Для того чтобы система векторов y1 (x), y2 (x),..., yn (x),

являющихся решениями линейной однородной системы дифференциальных


уравнений		dy	= Ay , была линейно-независимой на интервале (a;b) необходимо и
уравнений
		dx
достаточно, чтобы ее вронскиниан был отличен от нуля на (a;b).
Теорема 15.20. (о				структуре общего	решения однородной системы).
Линейная	комбинация			C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x) линейно независимых на
интервале		(a;b) решений y1 (x), y2 (x),..., yn (x)			линейной однородной системы

дифференциальных уравнений dydx = Ay является общим решением этой системы.

Теорема 15.21. (о структуре общего решения неоднородной системы).

Общее решение неоднородной системы дифференциальных уравнений есть сумма общего решения соответствующей однородной системы и произвольного частного решения неоднородной системы.

112

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]