Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 3

Пример 1 5 . 4 0 . Для уравнения

yIV − y = eαx + e-αx + cosβx

указать

вид

частного решения.

Решение. Характеристическое уравнение λ

4

−1 = 0 имеет

корни λ1

=1,

λ

= −1, λ

= i , λ

= −i , поэтому

= C ex

+ C

e−x + C

cos x + C

sin x .

2

3

4

y

3

4

1

2

y* = y* + y* + y* ,

1

2

3

где y* = Aeαx ,

y* = Be-αx ,

y* = C sin βx + Dcosβx соответственно частные решения

1

2

3

уравнений yIV

− y = eαx ,

yIV − y = e-αx , yIV

− y = cosβx .

Пример 1 5 . 4 1 .

Для

уравнения

y′′′ + y′ = 2x − 3 + e2 x (x2 −1)+ x3 cos x

указать вид частного решения.

Решение.

Характеристическое уравнение λ3 + λ = λ(λ2 +1)= 0 имеет корни

λ1 =1, λ2,3 = ±i .

Правая

часть

дифференциального уравнения состоит из трех

слагаемых:

f1

= 2x − 3,

f2 = e2 x (x2

−1) и

f3 = x3 cos x .

По

принципу

суперпозиции

частное решение

ищется в виде

y* = y* + y* + y* ,

где

y*

= x(Ax + B),

y* = (Cx2

+ Dx + E)e2 x ,

1

2

3

1

2

y3* = x[(Fx3

+ Gx2 + Kx + L)cos x + (Mx3 + Nx2 + Px + Q)sin x].

Рассмотрим уравнение

y(n ) + a1 (x)y(n−1) + ... + an−1 (x)y′ + an (x)y = f (x),

(15.80)

где функция a1 (x), i =

и f (x) непрерывны для x (a;b).

Соответствующее

1,n

однородное уравнение имеет вид

y(n ) + a1 (x)y(n−1) + ... + an−1 (x)y′ + an (x)y = 0 .

C1′(x)y1

+ C2′(x)y2 +... + Cn′(x)yn = 0

C ′(x)y ′ + C ′(x)y ′ +... + C ′(x)y ′ = 0

1

1

2

2

n

n

(15.81)

. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

.

C ′(x)y(n−2 ) + C

′

(x)y(n−2 )

+... + C

′(x)y(n−2 ) = 0

1

1

2

2

n

n

C ′(x)y(n−1) + C

′

(x)y(n−1)

+... + C

′(x)y

(n−1)

=

f (x)

1

1

2

2

n

n

где f (x) − правая часть данного уравнения.

Как было описано ранее, для уравнения второго порядка

y′′ + a1 (x)y′ + a2 (x)y = 0

система (15.81) имеет вид

′

′

(x)y2

= 0,

C1

(x)y1 + C2

C ′(x)y

′ + C

′(x)y

′

= f (x).

1

1

2

2

C1 (x)

= −

∫

f (x)y2 (x)dx

+ C1 , C2 (x)= −

∫

f (x)y1 (x)dx

+ C2 ,

(15.82)

W (y , y

)

W (y , y

)

1

2

1

2

где W (y , y )=

y1

y2

− определитель Вронского частных решений y

и y

1

2

y ′

y ′

1

2

1

2

однородного уравнения второго порядка.

Пример 1 5 . 4 2 . Решить уравнение y′′ + 4 y =1/ sin 2x .

Решение.

Характеристическое уравнение

λ2 + 4 = 0 имеет

комплексные

сопряженные корни

λ1,2 = ±2i , следовательно,

общее

решение

однородного

уравнения

= C1 cos 2x + C2 sin 2x .

y

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

y =C1 (x)cos 2x +C2 (x)sin 2x .

(15.83)

Так как y = cos 2x ,

y

2

= sin 2x , y ′ = −2sin 2x , y

′ = 2cos 2x , то имеем систему:

1

1

2

′

′

(x)sin 2x = 0,

C1 (x)cos 2x + C2

− 2C ′(x)sin 2x +

2C

′(x)cos 2x = 1

,

1

2

sin 2x

W (y , y

)=

cos 2x

sin 2x

= 2 .

1

2

− 2sin 2x

2cos 2x

C1′(x)=

1

0

sin 2x

1

1

= −

,

W (y1

, y2 )

2cos 2x

sin 2x

2

C2′(x)=

1

cos 2x

0

1

1

=

Ctg2x .

W (y , y )

− 2sin 2x

2

sin 2x

1

2

C2 (x) =

1

∫ cos 2x dx + C2

=

1 ln

sin 2x

+ C2 .

2

sin 2x

4

y

′

=

f

1

(x,

y ,..., y

n

),

1

1

y

′

=

f

(x, y

,..., y

),

(15.84)

2

2

1

n

. . . . . . . . .

y

n

′

=

f

n

(x, y ,..., y

n

),

1

Определение 15.24.

Решением

системы

(15.84)

на интервале

(a,b)

называется

совокупность

n

функций

y1

= y1 (x),

y2 = y2 (x),..., yn = yn (x),

непрерывно дифференцируемых на (a,b) и удовлетворяющих системе.

Задача

Коши для

системы

(15.84)

состоит

в

нахождении

решения

y1 = y1 (x),

y2

= y2 (x),..., yn = yn (x) этой системы, которое удовлетворяет начальным

условиям

y (x

0

)= y0 ,

y

2

(x

0

)= y

0

,..., y

n

(x

0

)= y

0 ,

(15.85)

1

1

2

n

где y0

, y0

,..., y0 − заданные числа.

1

2

n

Для нормальной системы (15.84) имеет место

Теорема 15.15. (о существовании и единственности решения нормальной

системы). Пусть функции

fi (x, y1 , y2 ,..., yn ),

i =

, определены в (n +1)-мерной

1,n

области D изменения переменных x, y1 , y2 ,..., yn . Если

они

непрерывны в

некоторой окрестности ∆

внутренней

точки M

0

(x

, y0 , y0

,..., y

0 )

области

D и

0

1

2

n

имеют в этой окрестности непрерывные частные производные

∂fi

,

k =

, то

1,n

∂yk

найдется интервал (x0 − δ; x0

+ δ), в котором существует единственное решение

такие C = C0 , C

= C0

,…, C

= C0 , что функции y

= y

(x,C0

,C0

,...,C0 ), i =

,

2

n

i

i,n

1

1

2

n

i

1

2

n

удовлетворяют этим начальным условиям, т. е.

y

(x

,C0

,C0

,...,C0 )= y0 ,

i =

.

i,n

i

0

1

2

n

i

Замечание 15.9.

Частным

решением

системы

дифференциальных

y1

f1

f2

y2

,

y =

;

f =

yn

fn

Пусть y = (y1 (x), y2 (x),..., yn (x))T − решение системы (15.84)

на интервале

(a,b). Графиком этого решения служит множество точек из D ,

определяемое

равенством

Множество Gy представляет

собой параметрически заданную кривую

параметра x (a,b) в (n +1)-мерной

области переменных x, y1 ,..., yn . Эта кривая

точки

в

n -мерном

пространстве

переменных

y1 , y2 ,..., yn .

Это

пространство

x

называется

фазовым

(при

n = 2

оно

называется

b

M 0

Интегральная

x0

фазовой

плоскостью),

а

кривая

кривая, описываемая в нем

a

движущейся

точкой,

−

фазовой траекторией.

0

Y2

Взаимосвязь

между

Y1

(y0

, y0 )

интегральной

кривой

системы

и

фазовой

1

2

Фазовая

траекторией состоит в том,

траектория

Рис. 15.6

что траектория

является

проекцией

интегральной

кривой, расположенной в (n + 1)-мерном пространстве переменных x, y1 ,..., yn

на

n -мерное пространство переменных

y1 , y2 ,..., yn

(рис. 15.6). Фазовая траектория

y = (y1 (x), y2 (x),..., yn (x))T

обладает тем же свойством,

что составляющие скорости

y ′(x),

y

′(x),..., y

′(x)

в

момент

времени

х равны

значениям

правых частей

1

2

n

f1 (x, y(x)), f2 (x, y(x)),..., fn (x, y(x)) системы (15.84) в точке (x, y1 (x), y2 (x),..., yn (x)).

Геометрическая интерпретация автономной системы выглядит следующим

образом.

Говорят, что

в области G Rn

определено векторное

поле

f ,

если

каждой точке y G поставлен в соответствие вектор

f = f (y). Тогда решение у

автономной системы y′ = f (y) описывает траекторию движения

точки в фазовом

Если точка массы m движется под действием заданной силы (вектора)

, то по закону Ньютона и механическому смыслу второй производной

F t,r, r

..

.

(15.86)

mr = F t,r, r .