Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

1

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

	3		2				x 3		2		3		4			4
											3

S 2		( x		4 x 3 )dx				2 x		3 x								.
S 2	1	( x		4 x 3 )dx		3		2 x		3 x	1		3			3		.
	1					3							3			3

								,				S				4			4				8			. .
								,				S			3				3				3			. .
															3				3				3
									9 . 1 6 .																,
y		x2				3x			y 4	3x (				. 9.20).
																			.
					10			y															,
					10																		,
											y			x 2				3 x,
											y			4		3 x,						A				2;10 , B 2;		2 .
								2																	(9.23)			f x			x2 3x,
								2	x																				1
																													1
		-2 0								f2 x 4 3x, a													2, b 2 ,
		-2 0						B		f2 x 4 3x, a													2, b 2 ,
								B							:
									. 9.20						:
									. 9.20
							b			2															2			2
		S					( f2 (x)		f1 (x))dx	(4 3x x2								3x)dx								(4 x2 )dx 2 (4 x2 )dx
							a			2															2			0
									2 4x		x3			2	2		8		8				32				. .
														2


																			3						3
										3				0					3						3
									9 . 1 7 .					0											,
									9 . 1 7 .																,
y 2		2x							y2	4x x2				(			. 9.21).
y															.																,
y							A							x	2 2					y 2			4 ,							,
2							A



																										C(2; 0)				R	2 .
0					2				x
0					2
-2							B

. 9.21

41

y 2	2x,
y 2	4x x2 ,

: O(0; 0), A(2; 2), B(2; -2).

2					2				2
						4x x2 dx
S 2 4x x2			2x dx 2					2 xdx .
0					0			0

, . . ,

		2 2	3		\|2		8
	S 2		x	2		2		. .
		3					3
					0

				8			8
S	1	R2	S 4	2		2			. .
S		R2	S 4	2		2			. .
				3			3
				3			3
9 . 1	8 .						,

x a cost, y b sin t (. 9.22).

.

y

B(0;b)

OAB,

		A(a;0)
		x			a
	O		1		a
		:	1	S	ydx .
		:		S	ydx .
		4			0
					,
		. 9.22

42

				:	x	a cost , y	bsin t .	dx	a sin tdt .	x1 0 ,
t1		,	x2 a,	t	2	0 .	,
t1	2	,	x2 a,	t	2	0 .	,
	2

a	0		0	2		2	1		cos 2t
				2		2	1		cos 2t
S 4 ydx	4 bsin t asin t dt	4ab	sin		tdt	4ab				dt
S 4 ydx	4 bsin t asin t dt	4ab	sin		tdt	4ab			2	dt
0	2		2			0			2
	2		2

		1		2
	2ab t		sin 2t	ab . .
		2
				0

, a b R : S R2 .

9.5.2.

, l,

r r(), .

										,
			r	r(	)
B	r r ( )	,		( .					9.23).
B
		A			,	.			.	,
				,
		i ,	i	,	i		1, n	,
O		O,					r		r(	)
	. 9.23	O,					r		r(	)
	. 9.23		.							,
			.							,

r r() , .

.

43

B	1.	,	n
B
	k

A	0 1	...	n	.


	k	k k		k 1, k		1, n.
	k	k k		k 1, k		1, n.
O	u
O		k , k	1, n .
		k , k	1, n .
	. 9.24	OAB						n
		OAB						n

( . 9.24).

2. k 1 ,k , k 1, n ,

k	r	:
k

rk r(k ), k 1, n .

3. ,

r r rk r(

k (. . 9.24).

	S		1	r 2 (		)		.
	S	k	2	r 2 (	k	)	k	.
		k			k		k

OAB

n :

n		n	1		r	2	( k	)
S	Sk
S	Sk		1 2
k	1	k	1 2

k 1 ,k

k ) .

rk r(k )

,

k . (9.24)

(9.24) , 1,, . .

n. (9.24)

12 r2 () [,] .

44

4.	S
(9.24)	max	k
	,	k
	,

OAB

0 :

1		n	r	2			def 1
S lim					( k	) k			r 2 ( )d .
							2
0 2		k	1

,

	S	1	r 2 ( )d .	(9.25)
	S	2	r 2 ( )d .	(9.25)
		2
	9 . 1 9 .			,

r a 1 cos (. 9.25).

.

B

, ,

OAB.

O

u

0

.

. 9.25
,	(9.25),

S 2	1	r 2d	a 2 (1 cos ) 2d	a 2 (1 2 cos	cos2 )d

2		0	0	0

a 2 1 2cos	1		cos 2	d	a2	3		2sin	1	sin 2		3	a 2 . .
a 2 1 2cos			2	d	a2			2sin		sin 2		2	a 2 . .
0			2		2				4		0	2
9 . 2 0 .								,					r 3
	r		6cos3	(	. 9.26).

45

	.		OABC,
			.
	C	9	r	3,
	O	9	r	3,
	O
	B	u	r	6cos3	,
	B
	A
	. 9.26				A C.
	. 9.26
		6 cos 3	3 cos 3	1 ,	.
				2	9
, A	; 3 , C	; 3 .
	9	9
					ABCA,
		OABCO	OACO:

				1		9				2		1	9			2
S 3S	ABCA	S	S	3					6cos3		d		3				d
S 3S		S	S	3					6cos3		d		3				d
		OABCO	OACO	2								2
				2								2
						9							9

9	9	9
3 36 cos2 3 d	9 d	3 18 1 cos6 d 9 \|		3(18 3sin6 )\|
3 36 cos2 3 d	9 d	3 18 1 cos6 d 9 \|	9	3(18 3sin6 )\|	9
		0		0
0	0	0

9		3
3			17,22 . .
		2

46

9.5.3.

		y	f	x
y
yk	Mk-1	Mk		B
			yk	B

yk-1
yk-1	M1	xk
		xk

	A
O	a=x0 x1 xk-1	xk		x
O	a=x0 x1 xk-1	xk	b=xn
	. 9.27
...	xn b .		xk	xk xk 1 , k

,

AB n .

								a, b
			l
(			. 9.27).
				l,
								x	a
	x		b .
									a, b
								n
			a	x0	x1		... xk 1		xk

	1,n
	1,n	.		xi ,	i	1, n ,
Oy ,								l.

l (), AM1M2 Mn-1B,

AB. ln:

n

ln AM1 M1 M 2 M n 1 B lk ,

k 1

lk	,	Mk-1Mk.
	AB l	ln .	,
n	a, b		,
	,
	AB.		ln

47

max xn	0 ,		l,
[ a,b]
	:
		n
	l lim	lk .	(9.26)
	0	k 1

, f xa,b

f x, l ,

.

Mk-1Mk :

							yk	2

		2			2	1		xk .
		2			2
lk	M k -1 M k		xk	yk
lk	M k -1 M k		xk	yk			xk
							xk

yk

f

xk

f

xk 1

f

k ,

xk 1,xk .

x

x

x

k

1

k

k

k

, l

k

1

f

k

2

x

k

.

(9.26),

n

l

lim

1

f

2

x .

(9.27)

k

0

k

1

(9.27)

1 f x 2

a, b .

a, b:

48

n

def b

2

2 dx .

l lim

1

f

k

xk

1

f x

0

k

1

a

,

f

x

a, b

, AB l

	b
	b				2 dx .
l	1		f	x	2 dx .				(9.28)
	a
							,
:	x x t ,			y	y t , t [t1 , t2 ],			x t ,	y t
			,			x t	0	t	[t1 , t2 ].
									(9.28),

:

x x t , dx x t dt, yx	yt	.
x x t , dx x t dt, yx		.
		xt

t2		yt	2
t2	1
l			x	t dt
l		xt	x	t dt
t1		xt
t 2
t 2	x t 2			t 2 dt .
l	x t 2		y	t 2 dt .		(9.29)
t 1

r r(), ,. , r r, .

49

x r	cos , y r sin ,

,, t .

(9.29). x y :

x	r	cos	r sin ,	2	y	2	r 2	r	2 .
y	r	sin	x
			r cos

,

l

r 2

r 2 d .

(9.30)

9 . 2 1 . x2 y 2 R2 .

. ,

	.						y	R2 x2 ,
				x
0 x R.	y					.	,	(9.28),
0 x R.	y					.	,	(9.28),
			R 2	x 2

1			R		x2		R		Rdx				x			R
		l	1				dx					R arcsin					R		.
		l	1				dx					R arcsin					R		.
4			0		R2 x2		0		R2	x2			R			0	2
4			0		R2 x2		0		R2	x2			R			0	2
,							l	2 R .
y											9 . 2 2 .
y
					x		a cos 3 t ,			y		sin 3 t (					. 9.28).
										.
0			a		x												,
																	,
-a
. 9.28

50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]