Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

0 dx

lim

limarctgx

1 x

01 x

1 x

limarctgx	b	lim (arctg0 acrtga)	lim(arctgb arctg0) 0			0	,

	0			2	2
b		a	b

. .

			f (x)dx	,
,	y f (x) 0,	x a	y 0 (	),
	,		(	. 9.9).
	Y

y	f x
a	b	X
a	b
0
	. 9.9
	b
	f (x)dx	f (x)dx
,	. 9.10	.

)

y f	x			y		f x
a	0 b	X	a	0	b	X

. 9.10

;

, .

9.6 (	).		a;
f x	x	0 f (x)	(x),

(x)dx

f (x)dx

	9 . 1 1 .
.	1
	x 1
	x 1	x5 (1 7x )
		x5 (1 7x )

1 x5 (1 7 x )

f (x)dx ,

(x)dx .

				dx			.
		1 x5 (1			7 x )		.
1	.			1		1		.
	.		1 x5					.
x5			1 x5		4

9.7

(

lim

f (x)

k, 0 k

( f (x) 0,

(x)

0) ,

f (x)dx

(x)dx

(x)

9.8.

y f (x)

f (x)

f (x)dx .

f (x)dx

f (x)

dx .

9 . 1 2 .

				5				2
				ln	x			2

							5	1
		lim			x			1	lim
		lim					1		lim
		x					1		x

						x5
ln	x5	2	dx						.
ln			dx						.
1 x5		1

9.4.2.

f x

lim f (x)

xb0

ln	x5	2	dx .

1 x5		1

1 x5


ln(1	1			)		1
ln(1		x5		)		x5 1
			1		lim	x5 1		1,
			1		lim			1,
	1				x		1
	x5						x5

()

a;b

b , . . b

f x

			b
a;b	,	0, . .	f (x)dx,

	b
lim	f (x)dx,
0	a

f x

f (x)dx.

b b

f (x)dx	lim		f (x)dx,	0 .	(9.18)
a		0 a
,	f x				x a ,
b		def	b
f (x)dx			lim f (x)dx.		(9.19)
a			0 a

f x

a;b,

b	c	b			c 1			b
f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx lim		f (x)dx	lim		f (x)dx .	(9.20)
a	a	c	1	0	a	2	0	2
a	a	c			a		c	2

(9.18)(9.20) ,

a, b

	1	dx
	9 . 1 3 .		.
	9 . 1 3 .	x3	.
	0	x3
.	x 0	y	1		.

				x3
				x3

1 dx	1	dx	1	1
	lim			lim
0 x3		x3
	0 0		2	0 x2

, ,

x	a,	x	b,
(x	a	0,	x	c 0) ,
	Y
a)

)

y f x

1	1	(1


0	2

(

lim	1	)	,
	2
0

y f (x),

x b 0

.9.11 ).

y f x

a b - b

0 a a+

) Y

. 9.11

0 a

c - 1 c c + 2 b

	9.9	(	).	b (
			a )	f (x)
x ,	0	f (x)	(x).
b				b
(x)dx				f (x)dx,
a				a
			b	b

f (x)dx (x)dx .

9.10 (). f (x) , x,

a;b x b .

	f (x)		b		b
lim		k, 0 k	,	f (x)dx	(x)dx
	(x)
x b			a		a

, c (a;b).

1		dx
9 . 1 4 .		dx		.


0	3 x 3x 2		4x

, .	x	0 .											(x)	1		:
, .	x	0 .											(x)			:
													3		x
		1			1		,	x	(0;1) ,
							,	x	(0;1) ,
	3	x 3x2	4x		3 x
		1	dx			1		1			3				1		3
								1
												lim3 x2						,
					lim			x 3 dx
			3		lim			x 3 dx
		0	3	x		0				2			0				2
		0		x		0				2			0				2
				1				dx
9.8								dx						.

					3			3x 2		4x
				0		x
				0		x

9.5.

9.5.1.

, f x 0 , x [a, b] , ,

y f x, x x a, x b (. 9.12),

f (x)dx

ydx ,

(9.21)

S 0 .

f x

0 ,

[a, b] ,

f (x)dx

0 , a

( . 9.13).

f (x)dx

ydx .

(9.22)

. 9.13

. 9.12

x ( y) ,

Oy y c, y d (. 9.14), :

S ( y ) dy xdy ,

( y) 0 , y [c, d ] ;

S ( y ) dy xdy ,

( y) 0 , y [c, d ] (. 9.15).

y			y
d			d
d
+			_
+
x	y	x	y
		x	y
c		x	c	x
0		x	0	x
0			0
. 9.14			. 9.15

f xa,b, (9.21)

, Ox (

+) () (. 9.16).

		y	f x
		+		+	,
	a				,
0	_ c1	c2	c3	b	x
0	_ c1	c2	c3	b	a,b
			_
		. 9.16			,

f x, (9.21) (9.22).

c	c		c	b
1	2		3	b
S	f ( x ) dx	f ( x ) dx	f ( x ) dx		f ( x ) dx .
a	c		c	c	3
	1		2		3

						y	f1	x 0 ,
y f2 x	0 , x a,	x b (		. 9.17, ),			(9.21)
(9.22)
	b		b	b	b	b
	b		b	b	b	b
S	f2 (x)dx		f1 (x)dx	f2 (x)dx	f1 (x)dx	f2 (x) f1 (x)	dx .	(9.23)
	a		a	a	a	a

a) y				) y
	y	f2 x				y f 2	x
						y f 2	x
A2		B2			A2		B2
A2		B2			A2		B2
0 a		b		x	A1		B1
							B1

						y	f1 x

		B1
A1							x
				0	a		x
		y f	1 x	0	a		b
		y f	1 x
				. 9.17

A1 A2 B1 B2 . 9.17(, )

								b	b
S A A B B			2	S aA B b		S aA B b		f 2 x dx	f 1 x dx
1	2	1	2	2	2	1	1	a	a
								a	a

y f 2 x

0 a	b x f	2	x	f	1	x
		2			1

f 2 x f1 x dx .

f2 xdx f1 xdx

[a,b],

. ,

y f1x

(. 9.18)

. 9.18

S f1 x f2xdx f2x f1xdx f1 x f2 xdx.

a c d

				,
	:	x x t , y	y t ,	t1 t t2 ,
x a, x b,	x t1	a, x t2	b ,	S	y t 0

S ytxtdt ,

y yt , dx xt dt .

a	x t1	, b	x t2 .
			9	. 1 5 .
y	x2	4x	3
	y
	3

(9.21)

x x t ,

t1 t2

(. 9.19).

x1 1

x2 3.

[0;1]

0		3		x	;				S1
	1			x
	1					(9.21).						[1;3]
-1						(9.21).						[1;3]
-1
		. 9.19				;						S2
		. 9.19
						(9.22).								S
	S1	S2 .
		1					x 3				1	1		4
		1	2				x 3		2			1		4
	S1	( x		4 x	3)dx			2 x		3x			2 3		;
	S1	( x		4 x	3)dx	3		2 x		3x		3	2 3	3	;
		0				3					0	3		3
											0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]