Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

								aA1 B1b			m(b a) ,
aA2 B2b				M (b a).
														(9.9)		,
		y	A2													aABb
			A2				B2
							B2
							B
			A									.
	m		A1				B1
			A1										9 . 3 .
								x					9 . 3 .
		0	a				b	x		1	dx
										1
									I				.
					9.7				I		1	x4	.
					9.7					0	1	x4
				.	1 1 x4	2		0 x 1;				1	1	1, .	. m	1 ,
												2	1	x4		2
M	1,	b	a	1.
					1	I	1.
					,	I	1.
					2
	11.													.
			f (x)				,	g(x)					[ ; ], g(x) 0, m			M
								f (x)		[	;	] ,
					m g( x) dx			f ( x) g( x)dx M g(x)dx.
	12.								.
					f (x)							[ ;	] ,
[	;	],
							f (x)dx		f (	)(		),
																21

. .
[ ; ]	(	)		.
.	,			f (x)
[ ; ]		m		.
: m f (x) M ,	x [ ; ] ,		10	:

m() f (x)dx M ().

f (x)dx

m M .

f (x)dx

f (x) . [;]

f (x) , m M ,

,	[ ; ]		,	f ( )	.	,
	f (x)dx
f ( )		,				(9.10)
f ( )		,				(9.10)

f (x)dx f ()().

	f ( ) ,						(9.10),
					f (x)		[ ;	] .
y	y f (x)		B		12		,	f (x) 0,	x [ ; ],
	y f (x)		B		12		,	f (x) 0,	x [ ; ],
					.	9.8.			f (	)(	)
A	f (	)
	f (	)
							(	)	f (	),
0					x				,
0
	. 9.8						,
	. 9.8					aABb .
						aABb .
13.						.
	f (x)			,	g(x)			[ ; ]	g(x) 0 ,
			(	;	) ,
			f (x) g(x)dx f ( )				g(x)dx.
14.						.
	f 2 (x)	g 2 ( x)				[ ; ] ,
			f (x) g(x)dx			f 2 (x)dx g 2 (x)dx .
15.
.
			f (x)		,	f (x)dx 2 f (x)dx.					f (x)
							0
,	f (x)dx		0.
											23

16.

. , f (x A) f (x) ,

x	A
I	f (s)ds	x .
	x
17.	f (x)	[ ; ] ,

(x) f (t)dt

f (x), . .

x
(x) ( f (t)dt)	f (x), x [ ; ].

18.		(x)	(x)		x	[ , ]
f (t)	(	) t	( ) ,
	( x)
	f (t)dt		f ( (x)) (x)	f ( (x)) (x) .
	( x)	x
		x
			x2
9 . 4 .		: I (x)	e t 2 dt .	I (x).
			0
.			18	,	(x) 0 , . .	( x) 0,
I (x) e ( x 2) 2	(x 2 )	2xe x 4 .

9.3.

9.3.1.

( (9.7)).

9 . 5 .

dx . x ln x

dx	e2	d (ln x)			e2
			ln	ln x	ln(ln e2 ) ln(ln e) ln 2 0,69.

x ln x	e	ln x			e

9 . 6 .			6				dx
							dx
								.
								.
			1				3 x
6	dx	6		1					6
6	dx	6		1					6
.			(3 x)			d (3 x) 2 3 x			2( 9	4) 2.
					2
					2
1	3 x	1							1

9.3.2.

	9.5.	f (x)	[	; ] ,
x	(t)		[t1 , t2 ],	([t1 ,t2 ]) [ ; ]

(t1 ) , (t2 ) ,

	t2
f (x)dx	f ( (t))	(t)dt.	(9.11)
	t1

. F (x) f (x)

[;] . (t1 ) , (t2 ) ,

t2	t2
f (x)dx F ( ) F ( ) F ( (t2 )) F ( (t1 )) d ( (t))	F ( (t)) (t)dt
t1	t1

f ((t))(t)dt .

(9.11)

x (t) , dx (t )dt , (t)

t , (t1 ) (t2 ) .

9 . 7 .	R
9 . 7 .		R2 x2 dx .
	0

x R sin t , , x 0 R , t

0 . 2


R			2		2	R2 2

	R2	x2 dx		R2 R2 sin2 t R costdt R2 cos2 tdt			(1 cos 2t)dt
						2 0
0		0		0

R	2	t	sin 2t		2		R	2
R		t	sin 2t				R	.


2			2	0		4
				0

, ,

9.3.3.
u(x)	v(x)			[ ; ]
x .	d (uv) udv vdu.
[	; ]
	d (uv)	udv	vdu.	(9.12)

d (uv) uv .

, (9.12)

udv uv	vdu .	(9.13)

(9.13)

	.
9 . 8 .	x sin xdx .
	0

. x sin xdx	xd ( cos x) x( cos x)	( cos x)dx
		0
		0
0	0	0

x cosx	sin x	( cos	0 cos 0) (sin	sin 0)	.
	0	0
	0	0

9.4.

, :

1) a b ;

2) f x;b

9.4.1.

()

f xa;.

a;b, a b.

lim f (x)dx ,

f x

;

f (x)dx .

f (x)dx	lim f (x)dx .		(9.14)
a	b	a

f (x)dx

, ,

f (x)dx .

		f x	( ;b] :
b		b
f (x)dx	lim f (x)dx .		(9.15)
	a	a
		a

f x

;

f (x)dx ,

	c		; .
f ( x)dx	f ( x)dx	f ( x)dx, c	; .
		c

		c		b
f ( x)dx	lim f ( x)dx			lim f ( x)dx .	(9.16)
	a	a	b	c
		a		c

. ,

f (x)dx .

(9.14)(9.16)

. ,

f (x)dx

f (x)dx F (x)	F ( ) F (a) ,	(9.17)
a	a

F () lim F (b) .

(9.17) , ,

F (b) b .

		9 . 9 .																	dx	,		R .
		9 . 9 .																		,		R .
																		1 x
		.			1.					dx			limln x		b		lim(ln b				ln1)	.
										dx

									1 x			b			1		b
															1


1.
	dx	lim b		dx	lim		x1	b	lim			1		(b1		1)	,					1,
								b									,					1,
																	1

1 x				x				1			1											1.
1 x		1		x	b	1		1	b		1						,					1.
			b		b				b
			dx														1
																	1
,									1								1.

		1 x
		1 x
		9 . 1 0 .																			dx	.
		9 . 1 0 .															1				x2	.
																	1				x2

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]