Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

13.4.7.

: rot

k .

, (,

, ).

														,								,
					x			y			z 2			1,
	.																	,
																						.		,
	,														,
. 13.11						z x2						y 2					z 2		x2			y 2 .
. 13.11
																		,						,
	,																						z	1,
	(						. 13.11).

																						2zk
	.													:				i			j		,
																n		i			j


																		1		1		4z 2
,	cos													.

									)					2zk			3z
	rot			(						i			j								;
								k
		a	n		zj

											2			4z 2	2			4z 2
											2			4z 2	2			4z 2

dxdz

2 4z 2 dxdz ; rot

2 4z 2 dxdz

3zdxdz .

| cos

2 4z 2

171

		1	1 z 2	1		2			z 2		z 4	1	3
												1

rot and	3 zdz	3 zdz	dx	3 (1	z		)zdz	3						.

									2	4			4
	Dxz	0	0	0					2			0	4
												0

, (M)

, .

13.4.8.

V .

(

. 13.12).

rot

(M )

rot a

nd .

(M )

rot

. 13.12

rot

(M )

| rot

(M ) | cos

| rot

(M ) | cos

cos .

0 ,

. .

rot

(M )

rot

(M )

| rot

(M ) | .

| rot

(M ) |

max

172

14.

14.1.

14.1.1.

(M)

(M ) , (M) grad (M ) M V .

(M ) (M).

14.1.2.

( grad grad() ).

2.	M1 V , M 2 V

3. (M) ,

AB , V,

(P)

Pdx Qdy Rdz

(B) ( A)

4. V ,

V, .

173

( . .

6. :

rotgrad

0 .

x y

y z

z x

x y

z y

x z

y x

: (M),

, .

14.1.3.

. V (M) :

1.	V		;
2.		(M)	( . . rot		(M )		),	(M)	V
						0

				a

. : (

, ) ,

B	,		,
T			,
S			,
S
A	(	. 14.1).
A
.14.1		,	;

174

, , , .

(M) AB , V,

ASB ATB , .

ASBTA. -,

0 ,

rot a

ASBTA

rot

(M )

0 .

a dr

a dr .

ASBTA

ASB

BTA

ASB

ATB

ASB

ATB

M 0

(M )

grad (M ) , . .

M 0 M

(M )

(M).

P(x, y, z),

Q(x, y, z),

R(x, y, z) .

M (x, y, z) G,

M (x, y, z)			M (x x, y, z)


G				x
G	M		x0 , y0 , z0
O	M	0	x0 , y0 , z0
O

. 14.2

M (x x, y, z) G (. 14.2)

(M )	Pdx Qdy Rdz ,
	M 0 M

( M )	Pdx Qdy Rdz	Pdx Qdy Rdz	Pdx Qdy Rdz
	M 0MM	M 0 M	MM

175

			x	x
(x	x, y, z)		(x, y, z)	P(x, y, z)dx (	MM	y const, z			const )
				x
				x	x
x (x, y, z)		(x	x, y, z)	(x, y, z)	P x, y, z dx P		x	, y, z	x
					x

x x lim

(

)

P(x, y, z) .

x .

x 0 ,

lim P(x, y, z)

P(x, y, z) .

x x

Q(x, y, z),

R(x, y, z) .

		14.1.4.
					,
			(M),	(M )				,		M 0 V -
			(M),	(M )		a	dr	,		M 0 V -
					M 0 M
z		.								(0,0,0)
z	(x,y,z)			,						M 0 (x0 , y0 , z0 )
	(x,y,z)
0(0,0,1)
0(0,0,1)										;
		y		,						.
		y		,						.
x	. 14.3				,					,
	. 14.3
					(				. 14.3).
		x		y						z
	(M )	P(x, y0 , z0 )dx		Q(x, y, z0 )dy						R(x, y, z)dz .
		x 0		y 0						z0

176

1 4 . 1 .

(x, y, z )

y cos(xy )

x cos(xy)

sin(xy)

z 2

V, (0,0,0).

rot

(M )

P Q

P(x, y, z)

y cos(xy)

Q(x, y, z)

x cos(xy)

, R(x, y, z)

sin(xy)

z 2

x cos(xy)

;

x cos(xy)

;

y cos(xy)

z 2

y cos(xy)

;

cos(xy)

xy sin(xy)

;

cos(xy) xy sin(xy)

z 2

. (M ) adr

	M 0 M
,	0(0,0,1).

177

		x	0	cos(x		0)		y	x	cos(xy)	z	sin(xy)
(x, y, z)							dx				dy				dz
(x, y, z)				1			dx			1	dy				dz
0				1				0		1	1		z 2
sin(xy)	y sin(xy)				z	sin(xy)				sin(xy)	sin(xy)			sin(xy)		.



	0		z		1				0	z			1,		z
	0



,													(				,

sin(xy)

adr ) (x, y, z) .

M 0M1

14.2.

14.2.1.

(M) V,

div a (M ) 0 .

, V

; ,

div rot a (M ) a 0 .

14.2.2.

V V , .

178

V V , .

3.:

(M).

and

div a (M ) lim lim ,

M V M V

and 0 , div a (M ) 0 .

4. V () .

(M) , ,

, .

V () ,

V, , ; V ,

. , ,

q,		q		,	,	r 0 ,
	E
			r
		r 3

. ,

179

14.3.

14.3.1.

(x, y, z)

2	2		2
					.
x 2		y 2		z 2	.

(x, y, z)

2	2		2
					,
x2		y 2		z 2	,

x 2

y 2

z 2

2 () grad div grad ,

14.3.2.

() ,

2			2	2
0					0 .		(M)

		x2	y 2
		x2	y 2	z 2
,
, . .	(M) grad		(M ) ,			0 .
, . .	(M) grad		(M ) ,			0 .
,
						,
						180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]