Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

yz		y xy sin(xyz)
				y2 z3 z xz sin(xyz) k	.
			j
x2 y2
	z2

			:
1.						(M)														,		rot a			;
																								0
																								0
2.			rot 1			1		2		2			1 rot			1	2 rot		2	(
2.			rot 1	a		1		2	a	2			1 rot		a	1	2 rot	a	2	(
					1a1				2a 2				1			a1	2			a2 );
3.							u										,			rot u		a	gradu a u rot a (
	a	u	u		a		u					a	).				,				(M)
	a	u	u		a		u					a	).				,				(M)
,			ua					u			a		grad u				a .
														.

rot u

(uR)

(uQ)

(uR)

(uP)

uP uQ uR

(uQ)

(uP)

R Q

R P

y z

u rot a

x y z

Q R

grad u a u rot a .

151

13.2.3.

(),

a(M ) const .

, (M)

, , , ,

(M) P(x, y)i Q(x, y) j .

, , , .

div a

rot

, I,

x 2

y 2

Oz.

M V

(M)

(M ) u(M )

yj zk .

div

1 1 1 3 ,

rot

div u r r gradu u div r 3u r gradu ,

152

rotu r grad u r u rot r grad u r .

u(M)

r, . .

(M ) u(r)

x2 y 2

z 2 .

, gradu (r ) u (r ) grad r

grad r

u (r)

y 2

z 2

div u(r)

grad u(r) u(r) div

u (r)

3u ru (r) ,

rot u(r)

grad u(r)

u rot

u (r)

(

)

-, ():

3u ru (r) 0	du	3	dr	ln \| u \| 3ln \| r \| ln \| C \|	u	C
	u		r			r 3

a (M ) C r . r 3

, -,

r , .

153

13.2.4.

(M) ,

V (M) V

.	,			V
,	.
13.1.			(M)	,
13.1.			(M)	,
,		(M).		,
		(M).

().

(t) x(t)i

y(t) j z(t)k .

(t) x(t)

y(t)

z(t) k

, . .

x(t) i y(t) j z(t) k

Pi Qj Rk

P(x, y, z)

Q(x, y, z)

R(x, y, z)

					.			P, Q, R
		,						.	,
,			0 x0 , y0 , z0 V P x0 , y0 , z0					0 .
	dy		Q(x, y, z)	;	dz	R(x, y, z)	.	P, Q, R
	dx			;			.	P, Q, R
	dx		P(x, y, z)		dx P(x, y, z)

154

y(x 0) y 0 , z(x0 ) z0 .

, ,

,	,								a				2x2 k		.
,	,								a	xi		yj	2x2 k		.
			dx					dy		dz	.							dx		dy	,
				x				y			.							x			,
				x				y		2x2								x		y
y x C ,		dx dz											z x2		C		,		,
y x C ,													z x2		C	2	,		,
1		x					2x2									2
		x					2x2
y	x	C1 ,
z	x2	C			2	.
					2
										L											V,
																	.
2								L						;
								L						;
																			.
							L							,
1													(	. 13.3).
L										:							,
										:							,
. 13.3														1 ,
														1 ,

2 . ,

, , , .

13.3.

, v (M ) n (M )d . ,

155

, ,

;

13.2.

V, (M).

n (M ) .

(M)

(M) n (M )

a (M )n (M )d.

. a n n a an , an (M )d .

nd d,

a (M ) d . d

d (cos

cos

) d (cos

d )

(cos d )

(cos d )k

j cos

dydz

dxdz

dxdy

156

(M ) P(M )i Q(M ) j R(M )k ,

P(M )dydz Q(M )dxdz R(M )dxdy ,

. . .

13.3.1.

, ,

. , (, ),

1. :

a1 a2 nda1 nda2 nd .

2. :

a (M )n (M )da (M )n (M )da (M )n (M )d .

1 2 -,

;

, 1 2 .

157

3. (

M n (M ) n (M ) ).

13.3.2.

a (M )n (M )dP(M )dydz Q(M )dxdz R(M )dxdy ,

1 3 . 2 .

y 2

z 3 k

a xi

y 2 ,

y 2

z 2

6 ( . 13.4).

Dxy

y 2 ,

. 13.4

x 2

y 2

;

z 2

6 ,

2 ;

Oxy

2 .

2xi

2 yj

2zk

;

"+",

4x 2

4 y 2

4z 2

Oz,

(

0 ).

x2 y 2 z 2 6 ,

yj zk

, | cos |

158

x2 y 2 z

0 ,

2xi

2 yj

"+",

4x2

4 y 2

, | cos

4x2

4 y 2

= 1+ 2,

(M )

(M )d ,

(M )

(M )d ,

Oxy R 2 ,

											x2			y3			z4								6																																				r2
																																													2					2						2
1		a( M) n( M) d																																									dxdy				cos			2		d												rdr
																							z
														6																																														6 r2

										Dxy																																			0											0
	1									Dxy																	z				6			x		2			y		2				0											0
										r3																																			(6 r 2 ) 6
	2								2						2						2																					2
	2				3				2						2						2											2				3						2																				2
			sin				d						rdr					d						(6						r			)					rdr																			d (6 r						)
			sin				d						rdr					d						(6						r			)					rdr																			d (6 r						)
	0								0	6 r2					0						0																					2 0						6 r 2
												2 6				r 2		5 / 2												92							6					332 .
												2 6				r 2		5 / 2			2									92							6					332 .

												5									0					5																3
																2x2						2 y3							z3
	2				a( M) n( M) d											2x2						2 y3							z3												1 4( x2						y2 )											d

														Dxy 1						4( x				2				y		2		)																			z		x	2	y	2
					2									Dxy 1						4( x				2				y		2		)																						2		2


																																														r 4		2								r		8		2
2	2					2		2		2				3				2		2							2								2					6								2												2
2	2					2		2		2				3				2		2							2								2					6
2	cos			d			r		rdr	2 sin					d				r		rdr								d								r					rdr 2										2										2 .
2	cos			d			r		rdr	2 sin					d				r		rdr								d								r					rdr 2					4					2				8						2 .
0						0				0					0												0						0															0											0
																					332																											0											0
																																																	362				.
									1	2					92			6														2												92	6				362
														5	92			6						3								2												92	6
																																										5								3
																																										5								3

2. ,

. xdydz y 2 dxdz z3 dxdy .

159

I1	xdydz																									1					2					3 ,
													x		0 ,							cos			0 ,	4 ,
				x	0 ,			cos				0 :
	I1		xdydz			xdydz		2			xdydz				2		x							dydz	2			x		x				dydz

																				x		y 2	z									6 y2 z2
																				x		y 2	z									6 y2 z2
		3			4				3							D 1, yz										D2 , yz
	z				(							,
			2		(							,
			2
D1, yz												3					4 ) (						. 13.5)
D1, yz
D2, yz				-2								y 2
				-2

																										z 2
									2														2		6	z 2
		13.5						2 dy								y2			zdz 2 dz										6 y2				z2 dy
												2
									2			2											6		6	z 2

		2										1																					y				6 z 2
	2			z 3 / 2		y	2	2																													6 z 2
	2						2	2
	4		y2				dy	4		dz				y	6			y2				z2	6		z2		arcsin


		3										2
																															6		2
	0					2																													z		0
	0					2		6																											z		0
		8															8
			2			3 / 2 dy		2													/ 2												2
			2	y 2				2	6			z 2			dz							4cos4 tdt				6z					z 3 / 3		2
			2	y 2				2	6			z 2			dz							4cos4 tdt				6z					z 3 / 3
		3 0										2					3 0																6
		3 0						6				2					3 0