Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

	1 2 . 5 .
9 z 2 ,	0,	2 ,

(,, z) k( z) .

. (12.5)

							3		3	2
m	k (	z )d		k	(	z )	3	dxdz	3k dz	(			z)d
m	k (	z )d		k	(	z )		dxdz	3k dz	(			z)d
									3	0
3	2		x	2		3
			x	2

3k		z		dz 3k (2 2z)dz					3k(2 z 2 )		3	3	36k .
3k	2	z		dz 3k (2 2z)dz					3k(2 z 2 )		3	3	36k .
3	2		x	0		3
			x	0

12.4.

()

.			,
	,	,	. .
.	,

a a(P)			(Q)

(a,no )dq , no

(Q )

(L)

(a,o )dl , o ,

( L )

(L) , . .

141

a(P)

(L)

		A	(a, o )dl .			(12.6)
			( L )
1 2 . 6 .
1 2 . 6 .			,			F 4x6 i xyj
y x3	O(0;0)				B(1;1) .
.
.	X	Y		F
X (x, y)	4x6 , Y (x, y)	xy.				,
			(12.6)

A X (x, y)dx Y (x, y)dy .

	1	1
A 4x 6dx xydy	(4x 6 xx 33x 2)dx	7 x 6dx x7	10 1.
L	0	0

142

13.

13.1.

13.1.1., ,

,	,
.	,
	;

		. .
V				u(M),
,	V		u(M).
	,		;
	.
u(M),		V;		,
		,		u(M)
		.
u(M)			.	u(M) (
	)			,
	(			,
	,		. .),	,
		,	.
				,
		(
),	,
(		).		,
,	u(M)	.	u(M)	,
				143

u(M)

u (M ), u (M ), u (M ) .

x	y	z
		,

u(M)

grad u(M )

u(M)

grad u(M )

;

l , ,

l .

u(M 1 )

u(M )

lim

MM 1 | MM 1 | ,

M 1 M

MM 1

(

. 13.1).

. 13.1

u	(M ) gradu(M )		u	(M ) cos	u	(M ) cos	u	(M ) cos
		l

l	0		x		y		z

l gradu(M ),

l0 cos , cos , cos

l , cos , cos , cos

144

").

k .

u(M )

(M ) ,

grad u

u , . .

u(M) u M.

1. grad C1u1 (M ) C2 u2 (M ) C1 grad u1 (M ) C2 grad u2 (M )

1u1

2u 2

1 u1

2 u2 ;

2. grad u1 (M ) u2 (M ) u2 (M ) gradu1 (M ) u1 (M ) gradu2 (M ) u 1 u 2 u 2 u1 u1 u2 ;

grad

(M )

u2 (M ) grad u1 (M )

u1 (M ) grad u2 (M )

(M )

u 2

(M )

u1 (M ) u2

u1 u1 u2

;

(M )

u 2

grad F (u(M )

F (u) grad u(M )

F (u ) F (u ) u ,

( ) . u(M),

P V

u(P) C .

, , V,

, ;

	,				,
,	1,	2,	3	. .,
				.	,

. 0

145

. .

P V | u(P) u(P0 ).

13.1.2.

,	,
	,

. ,

, .

u(M ) u(M 0 )

. 13.2

, u(M) z, . . u(M) = u(, ).

, ;

u(, ) (. 13.2).

u(M)

u(M)= u(r), . .

x2 y 2

grad r

x 2

y 2

x 2

y 2

grad u(r) u(r) r . , r

, u(M)

, z .

	,		,
u(M)	r		.
	,
	,	r	x2 y 2 z 2
			146

u(M) = u(r).

, gradu(r)

u (r)

grad r

y 2

z 2

u(M)

, .

13.2.

13.2.1.

(M), , V

(M). ,


(M), Q(M), R(M),	(M ) P(M )		Q(M )			(M)

					R(M )k		.
		i		j
		i		j

, (M)

(M), Q(M), R(M). ,

. ,

, , . . a (M ) 0

M V , . . , Q, R .

(M)

( , , ),

;

(M)

V .

147

, , . . ,

13.2.2.

			(	)	P	Q	R (M )
					x	y	z
diva M	P	Q	R (M ) .		(M )	P(M )i Q(M ) j R(M )k .
	x	y	z
			:

div a (M ) :

																										P				Q			Q	.
																		k
											i		j						Pi		Qj Rk
					a
					a											z										x				y			z
									x			y				z										x				y			z
																,
																																		,
																	:
1.						(M)																,		div				0 ;
1.						(M)																,		div			a	0 ;
2.		div	1			1		2		2		1 div			1				2 div		2	(		1		1			2		2					1				2 );
2.		div	1	a		1		2	a	2		1 div		a	1				2 div	a	2	(		1	a	1			2	a	2	1			a	1	2		a	2 );
3.							u										,						div u		a			a	gradu					u div a				(

ua	a u u a ).															,					(M)																	,

ua au a grad u .

, , .

148

(Pu)

(Qu)

(Ru)

div u

div( (uP)i

(uQ) j (uR)k

u P P u

u Q Q u

u R R u

P Q R

P u

Q u

R u

gradu .

u div

(x3

cos(xyz))

xy2 z3

arctg

div

(x3

cos(xyz))

xy2 z3

3x 2

yz sin(xyz)

2xyz 3

x 2 y 2

z 2

(M)

(

) rot

( M)

rot

(M )

rot

(M )

149

rot

(M )

x y

P Q

rot

(M )

P Q

1 3 . 1 .

(x3 yz

cos(xyz))

xy2 z3

arctg

rot

xy 2 z 3

x3 yz cos( xyz)

xy 2 z 3

arctg

	arctg	xy
	arctg	z	x3 yz cos(xyz)

j

	x		z
	x		z

	xy 2 z3	x3 yz cos(xyz)	xz		3xy 2 z 2
k
						i
	x	y	x2 y 2
				z 2

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]