Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f x, y, z d

f x, y, x, y 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

	2	1		R 3	5
					8	R		.
2		cos 2	d cos	r 2 dr	8		2
2		cos 2	d cos	r 2 dr	5		2
0				0	5
0				0

10.7.

					-	L
( . . 10.2).					l.
	lk , k
L	lk , k	1, n	.
max lk .					L
f (N ), N	L .
				f (N )	L
		n
	S n		f ( N k )	lk .
		k 1
,				,	,	0,
			f (N )		L

		n
f (N )dl	lim	f (Nk ) lk .
L	0 i	1

L R2 , f (N ) f (x, y)

f (N )dl f (x, y)dl .

L L

L R3 , f (N ) f (x, y, z)

101

f (N )dl f (x, y, z)dl ,

L L

dl L.

. dl L.

1. L R2 y (x),

x [a,b] . , (x)

[a, b].

dl 1 ((x))2 dx .

	b
	b	(x) 2 dx .
f (x, y)dl	f (x, (x)) 1	(x) 2 dx .	(10.1)
L	a

, L x ( y), y [, d ], ( y)

[c,d],

	d
f (x, y)dl	f ( ( y), y) 1 ( ( y))2 dy .
L	c

2. L

x	x t ,
y	y t ,	t t1 ,t2 ,

102

x t , y t

t1 ,t2 .

dl (x(t))2 y(t)2

	t 2
f (x, y)dl	f (x(t), y(t)) (x (t))2 ( y (t))2 dt .	(10.2)
L	t1

L ,

x	x t ,
y	y t ,
z	z t ,	t t1 ,t2 ,

x t , y t , z t		t1 ,t2 ,
	t 2
f (x, y, z)dl	f (x(t), y(t), z(t)) (x (t))2 ( y (t))2 (z (t))2 dt .
L	t1

3. L () ,

[ , ],

( )

dl 2 2 d .

103

	f ( x, y)dl	f (	cos ,		sin		) 2			2 d .												(10.3)
	L
	1 0 . 8 .																	dl
																					,	L
																					,	L
																	L x			y
	A(0;-2)		B(4;0) (				. 10.21).
	.							x				y
		AB											1:
		AB						a					1:
								a			b
y
				x		y	1				y						x	2;

			4		2
	B		4		2					2
	B
0	x
0	4
-2	A					x	[0,4];		y						1	;
-2						x	[0,4];		y	2						;

	. 10.21
	. 10.21

												1		dx					5	dx.
			dl		1 y 2 dx			1				1							5
			dl		1 y 2 dx			1
										4								2
	(10.1)

	dl	4	5	dx				4	dx		4
							5			5 ln \| x 4 \|
L x y		0	2 x		x	2	5	0	x 4	5 ln \| x 4 \|	0
L x y		0	2 x		x	2		0	x 4


				2

			1 0 . 9 .					ydl	,
			1 0 . 9 .						,
							L x 3z
	t 2			t 3
	t 2			t 3
x t, y		, z			, t	0, 2 .
			3
	2
	2

5(ln8 ln 4) 5 ln 2.

104

. L:

		2t	2
					1 t 2 2 dt 1 t 2 dt .
dl	1		(t 2 )2 dt	1 2t 2 t 4 dt

		2
		2
			(10.2)

	ydl		t 2 (1		t 2 )		1				1 t 2		2
		2						2					2
		2						2
						dt			tdt
						dt			tdt
L x 3z		0		2(t t 3 )			2 0			2 2		0
1 0 . 1 0 .				2(t t 3 )			2 0			2 2		0

							dl ,			L
						L

(	. 10.22).
	.

1 . 2

a(1 cos )

	dl	a2 (1	cos	)2		(	a sin	)2 d

0	a	1 2cos			cos2		sin 2		d
0	2a
	. 10.22
	. 10.22	a	2	1		cos	d .
		a	2	1		cos	d .

(10.3)

		2			2

		dl	a(1 cos ) a 2 1 cos d	a 2a (1 cos )d
L	0			0

a2a ( sin ) 02 2a2a .

105

10.8.

R 3 (. . 10.4).

k , k 1, n , .

f (N ) f (x, y, z)

Sn f (Nk )k f (xk , yk , zk )k .

k 1

, f x, y, z

f N d f x, y, z d lim f xk , yk , zk k ,

0 k 1

, d

, . .

. 0xy ,

Dxy . z (x, y) .

f (x, y, z)d

Dxy

106

, d , n1 cos

0xy .
	z		z								1
n	z	,	z	, 1 ,	n	2	(0,0,1) ,	cos			1		,
n		,		, 1 ,	n		(0,0,1) ,	cos					,
1	x		y							z	2	2
	x		y								2	2
									1			z
									1	x		y
										x		y

		z 2	2
			z
d	1			dS .
		x
			y

y (x, z) Dxz

0xz ,

x ( y, z)

Dyz

0 yz ,

		x	2	x	2

f ( x, y, z)d	f ( ( y, z), y, z) 1				dydz .
		y		z
Dyz

107

1 0 . 1 1 .

y 2 d ,

R2 x2 y 2 (

. 10.23).

x2 y 2

y 2

-R

y 2

dxdy

y 2

. 10.23

Rdxdy

Dxy

y 2

(10.4)

			Rdxdy	R dxdy R R2 R3 .
R2 x2 y 2 d		R2 x2 y 2

			R2 x2 y 2
	Dxy			Dxy

108

11.

11.1. .

, (),

i, j, k

P(x, y, z)

(

) .

a( p) a(x, y, z) X (x, y, z) i

Y (x, y, z) j

(x, y, z)k ,

(11.1)

(),

(). X (x, y, z) , Y (x, y, z) , Z (x, y, z) a( p) .

( )			,

b( p) ,			( ).
,

, .

(L) ,

. (L) b( p)

( p) ,
(	. 11.1, ) (
,	).
	(L)

(Q)

, ,

;

109

. b( p)

(Q) n ( p) ,

( . 11.1,) ( (Q) ,

)	z		( p)	n ( p)

				z
		)
	p			P

	y	y
		y
0		0
x		x
		x
		. 11.1

11.2..

	( )	a( p) ,
p ( ) .	.
1.
1.	b( p)	(
	(	) = (L)
(	) = (Q)).

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]